Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas / En el presente trabajo se estudiará un sistema de reacción-difusión que modela la interacción de dos especies habitando una región, las cuales siguen ciertas estrategias de movimiento y compiten por una distribución de recursos común. Este sistema corresponde a una variante del modelo Lotka-Volterra competitivo y con difusión. En ecología se dice que una especie admite distribución ideal free, si en cada ubicación la densidad de la especie es proporcional a la cantidad de recursos disponibles. Cosner, Cantrell y Lou, entre otros autores, han estudiado sistemas de reacción-difusión que admiten distribuciones ideal free. En particular, probaron que bajo ciertas condiciones, este tipo de estrategia resulta óptima, en el sentido que una especie adoptando esta estrategia no podrá ser invadida por una pequeña población que use una estrategia diferente. En esta memoria, se extiende el trabajo de los autores mencionados, incluyendo términos de competencia interespecífica. El objetivo es estudiar las relaciones entre la estrategia de movimiento y los términos de competencia, en el comportamiento asintótico de las soluciones, en particular la convergencia a equilibrios y existencia de estados de coexistencia. Dentro de los resultados obtenidos, se describirá el caso donde ambas especies siguen la estrategia ideal free, para diferentes valores de los parámetros del sistema. Por otro lado, se demostrará un resultado de no coexistencia, en el caso general de estrategias de movimiento. Además, se analizará un resultado de múltiple coexistencia, en el caso que solamente una especie admite la estrategia ideal free. Para obtener dichos resultados, se utilizará la teoría de los sistemas dinámicos monótonos, que será fundamental para determinar convergencia a los equilibrios. Además será importante la teoría de ecuaciones elípticas y parabólicas, donde destaca las técnicas basadas en sub/supersoluciones y los resultados espectrales de operadores elípticos. Para los resultados de múltiple coexistencia, se utilizará la teoría de bifurcaciones y argumentos relaciones con perturbaciones singulares para estudiar casos límite.

El tema principal de esta tesis es estudiar la dinámica de poblaciones basados en procesos de ramificación discretos, en particular se estudiaron los procesos de Bienaymé-Galton-Watson (BGW). El problema de extinción o crecimiento a infinito de la población se analizó condicionando a las trayectorias no extintas, lo que en el límite genera distribuciones cuasi-estacionarias, los límites de Yaglom y la construcción del Q-proceso. Se estudió la descomposición teórica de la población, entre partículas que se extinguen casi-seguramente y partículas con línea de descendencia infinita, encontrándose una fuerte relación analítica entre las distribuciones de ambos tipos. Posteriormente, para dar una interpretación probabilista de esta descomposición, se construyó una simulación de la dinámica mortal-inmortal, basados en los procesos de ramificación multi-tipos y se encontraron condiciones para su convergencia.

Magíster en Ciencias, Mención Física / El principal objetivo de esta tesis es estudiar diversos fenómenos generados a partir del forzamiento de alta frecuencia. Entre estos destacan: la resonancia paramétrica efectiva inducida por el forzamiento de alta frecuencia, la inestabilidad espacial en un sistema unidimensional de osciladores acoplados, el fenómeno bloqueo-desbloqueo entre ondas estacionarias y su extensión a sistemas que presenten patrones monoestables con advección. Para cumplir con los objetivos se utilizaron diferentes técnicas de la física no lineal. Las más relevantes son: la condición de solubilidad o alternativa de Fredholm, el método de ecuaciones de amplitud, la estrategia de formas normales y una estrategia de multi-escalas propuesta por Kapitza. Así mismo, fue de gran valor recurrir a la bibliografía actual sobre fenómenos como la resonancia en el límite de baja inyección y disipación de energía, la generación de sistemas efectivos y la dinámica de frentes. En el caso de un sistema sin acoplamiento espacial, se mostró que un forzamiento de alta frecuencia puede inducir un oscilador efectivo. Este puede resonar con el forzamiento externo y la resonancia existir para diferentes niveles de disipación de energía. A este fenómeno se le denominó resonancia paramétrica efectiva (EPR por su siglas en inglés), el cual pudo ser verificado experimentalmente por medio de un péndulo de rodamiento. A lo largo de esta tesis, se obtuvo la curva de inestabilidad generada por la EPR, confirmada con simulaciones numéricas. En un sistema unidimensional de osciladores acoplados, se probó la aparición de una inestabilidad espacial para un forzamiento de alta frecuencia. La curva de inestabilidad fue obtenida mediante una estrategia de expansión modal truncada. Se caracterizó el crecimiento de las ondas estacionarias exhibidas después de la bifurcación. Ambos resultados fueron comprobados numéricamente. Por otra parte, se observó la existencia de biestabilidad entre ondas estacionarias para una cadena de péndulos. Fue posible comprobar la existencia de una región de anclaje o bloqueo del frente que conecta ambos estados. En un modelo prototipo, se caracterizó la región de bloqueo, la velocidad del frente cerca de la bifurcación y la existencia de ondas localizadas. Se verificaron numéricamente estos resultados en ambos sistemas. También se observó el fenómeno de bloqueo en patrones monoestables con advección. Esto se realizó en un modelo prototipo de patrones, logrando entender el origen del fenómeno. El acoplamiento entre el patrón y las variaciones de su envolvente, generadas por los bordes o por el cambio de los parámetros en el espacio, es el que genera anclaje. Las predicciones teóricas y los resultados numéricos fueron comprobados experimentalmente en un sistema óptico con retroinyección.

Las ecuaciones diferenciales con retardo son utilizadas frecuentemente para modelar problemas en física, ingeniería o biolog´ıa entre otros. Estas ecuaciones son un ejemplo de ecuaciones diferenciales funcionales y la complejidad que presentan sus soluciones es mucho mayor que la observada en ecuaciones diferenciales ordinarias, incluso para ecuaciones de primer orden. Por la dependencia temporal con el retardo, una solución queda determinada a partir de una función inicial definida en un intervalo de tiempo, el problema que resulta es infinito-dimensional. Muchas herramientas teóricas conocidas para el estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias se adaptan o generalizan para el estudio de ecuaciones diferenciales con retardo. Es especialmente interesante, tanto desde el punto de vista teórico como práctico, el estudio de soluciones oscilatorias en este tipo de ecuaciones. A lo largo de esta tesis desarrollamos metodologías que nos permite calcular soluciones periódicas y determinar su comportamiento dinámico. La primer metodología presentada en esta tesis combina la utilización del método de análisis homotópico y un método de colocación para calcular la estabilidad de los ciclos periódicos existentes. Las ventajas que presenta este procedimiento y las distintas adaptaciones que hemos realizado a los métodos, nos permiten describir escenarios dinámicos interesantes en distintas ecuaciones con retardo. En primer lugar, analizamos una ecuación de van der Pol realimentada con retardo, observamos distintas bifurcaciones y resonancias en las que intervienen uno o varios ciclos periódicos. Por otra parte, utilizamos el método de análisis homotópico como herramienta teórica para probar la existencia de ramas de bifurcaciones de Hopf isocrónicas. Otro método que permite el estudio de soluciones oscilatorias en ecuaciones diferenciales con y sin retardo, es la metodología en frecuencia. En esta tesis presentamos una metodología iterativa en frecuencia que generaliza los resultados existentes y permite, utilizando teoría de singularidades, describir distintos escenarios dinámicos relacionados con bifurcaciones de Hopf generalizadas. Por último, usamos el método en frecuencia para estudiar sistemas discretos, demostramos la existencia de bifurcaciones de gran interés y determinamos en forma analítica la interacción de las mismas. / Delay differential equations are often used to model problems in physics, engineering and biology among others. These equations are examples of functional differential equations and their solutions have a much higher complexity than that observed in ordinary differential equations, even for first order equations. By the time dependence with the delay, a solution is determined from an initial function defined in an interval of time, the problem then it is infinite-dimensional. Many theoretical tools developed for the study of ordinary differential equations are adapted or generalized to analyze delay differential equations. It is particularly interesting from both theoretical and practical point of view, the study of oscillatory solutions in this type of equations. Throughout this thesis we develop methodologies that allow us to calculate periodic solutions and determine its dynamic behavior. The first methodology presented in this thesis combines the use of homotopy analysis method and a collocation method for calculating the stability of existing periodic cycles. The advantages of this procedure and the adaptations we have made to the methods, permit us to describe interesting dynamic scenarios in different equations with delay. First, we analyzed a van der Pol equation with time–delay feedback, we observed different bifurcations and resonances, which involved one or more periodic cycles. Also, we use the homotopy analysis method as a theoretical tool to prove the existence of branches of isochronous Hopf bifurcations. Another method used in the study of oscillatory solutions in differential equations with or without delay, is the frequency–domain approach. In this thesis we present a frequency–domain iterative methodology that generalizes existing results and, if it is combined with the use of singularity theory, allows us to describe various dynamic scenarios related to generalized Hopf bifurcations. Finally, we use the frequency– domain approach to analyze discrete systems with delay, we show the existence of bifurcations of great interest and we determine analytically the interaction of these bifurcations.

El presente trabajo trata sobre un estudio experimental de la dinámica de una capa granular delgada cuasi unidimensional, fluidizada vía un flujo gaseoso modulado periódicamente en el tiempo, con énfasis en las transiciones dinámicas que ocurren en la capa y los efectos que tiene el ruido sobre ellas. Para ello se construyó una celda de vidrio tipo Hele-Shaw con un material poroso dispuesto horizontalmente sobre la cual se depositó una capa de granos. Por la parte inferior de la celda se inyectó un flujo gaseoso, cuya modulaci ón fue controlada por una válvula que responde a una señal de voltaje. Al variar el grosor de la capa de granos, la amplitud, tiempo de duración y la frecuencia de la modulación, se encuentra un cambio de comportamiento entre un estado homogéneo, correspondiente al vuelo principalmente vertical de los granos, a una estructura periódica espacialmente ordenada. Esta estructura muestra una longitud de onda bien definida, y debido a la naturaleza de la modulación es subarmónica. A una frecuencia fija se estudió el diagrama de fases para diferentes grosores al variar la amplitud y la duración de la modulación. Se observan zonas donde la transición es de segundo orden (bifurcación supercrítica), y otras zonas donde es de primer orden (bifurcación subcríıtica). Se propone un mecanismo tentativo para la sustentación de la estructura en el tiempo y se compara con diversas aproximaciones teóricas. Se realiza una caracterización cuantitativa de las transiciones descritas vía un parámetro de orden. Finalmente, se muestran fenómenos propios de dinámicas con ruido observados en la capa.

Este trabajo es un estudio sobre una transición de onda de gravedad que ocurre en un flujo en régimen turbulento. Esta bifurcación fue descubierta recientemente y hay muchas preguntas abiertas respecto de ella. En particular, no se conoce el mecanismo de la inestabilidad ni se tiene claridad respecto del rol de la turbulencia en ella. En el capítulo 1, además de describirse el fenómeno estudiado, se presentan brevemente los aspectos conocidos de la mecánica de fluidos que son más pertinentes al estudio realizado. Posteriormente se plantean los objetivos. En el segundo capítulo se da una descripción detallada del montaje tipo Taylor-Couette desarrollado durante este trabajo. También se explican los protocolos de medición utilizados. En el capítulo 3 se presentan los resultados experimentales obtenidos. El hallazgo más importante es el hecho de que el número de Froude es, dentro de los parámetros adimensionales considerados, el que mejor describe la bifurcación. Esto resulta evidente al comparar los diagramas de bifurcación de este experimento con el previamente existente. Por otro lado se obtiene la dependencia de las frecuencias propias de algunos modos fundamentales. En esa dependencia es posible observar que la zona en que se desarrolla la inestabilidad coincide con el encuentro de las frecuencias de dos modos propios de superficie. Finalmente, es importante mencionar que se registraron efectos asociados al desgaste del montaje que, junto con algunas diferencias entre estos resultados y los datos experimentales previos, se pueden interpretar como producto de la influencia de ruido en la transición, ruido asociado tanto a las fluctuaciones turbulentas como a las vibraciones mecánicas del montaje. Este aspecto requiere mayor caracterización que permita aislar de mejor manera el rol de la turbulencia. En el capítulo 4 se realiza un análisis teórico que busca determinar la dependencia con la intensidad del flujo de los modos propios de onda de gravedad de la superficie libre. Esto busca determinar la aparición de alguna inestabilidad lineal en los modos a medida que incrementa la intensidad del flujo. Pese a no poderse determinar la estabilidad de los modos, los resultados para la dependencia de las frecuencias propias presentan un buen ajuste a las medidas. Finalmente, en el capítulo 5 se presentan las conclusiones. Entre ellas se menciona una posibilidad respecto de cuál puede ser el mecanismo. Ese mecanismo estaría determinado por la colisión de las frecuencias de dos modos, lo que se sugiere tanto de los resultados experimentales como de los teóricos. Adicionalmente se proponen algunos aspectos que podrían abordar investigaciones futuras.

Las redes y los sistemas no suaves constituyen uno de los tópicos más recientes y estudiados en la teorÍa de los sistemas dinÁmicos. Distintos desarrollos y problemas surgidos de disciplinas como la fÍsica, la biologÍa, la informática y la electrónica, han generado la necesidad de expandir las clásicas herramientas utilizadas para los sistemas suaves a estos nuevos objetos. Por ello, los conceptos y herramientas de la teoría clásica de sistema dinámicos resultan sistemáticamente generalizados a este nuevo contexto, aunque las particularidades propias de la dinámicas colectivas y/o discontinuas provocan que esta generalización no sea directa. A lo largo de esta tesis nos concentramos en el análisis de la dinámica de un tipo específico de redes y de cierto tipo específico de sistemas no suaves. Por un lado damos cuenta de un tipo particular de redes no suaves denominadas threshold linear networks (TLN). Recurriendo a desarrollos formales y a la simulación numérica, investigamos el fenómeno de sincronía en estas redes, así como ciertas bifurcaciones globales que tienen lugar (dadas por la aparición/desaparición de conexiones heteróclinas y homóclinas). Logramos establecer resultados que dan condiciones suficientes para tales comportamientos, y mediante simulación, reportamos nuevos fenómenos asociados a estas redes. Por otro lado, motivados por el estudio de dinámicas fuertemente discontinuas, recurrimos a ejemplos concretos (algunos clásicos y otros más novedosos), enfocándonos en particular en aquellos que son de tipo híbrido. Mediante simulaciones numéricas exhibimos las distintas dinámicas caóticas que estos sistemas poseen, y damos cuenta de las similitudes y diferencias que tienen lugar al compararlos con los sistemas clásicos. Además presentamos la generalización al caso no suave de dos herramientas utilizadas para estudiar los sistemas dinámicos y la sincronía de redes: el exponente maximal de Lyapunov y la master stability function (MSF). Primero comentamos dos metodologías utilizadas para estimar el exponente maximal de Lyapunov, que son el método de Stefanski y el método de la matriz de salto, y las ejemplificamos aplicándolas a sistemas caóticos no suaves. Luego aportamos una generalización de la MSF, aplicable a un tipo de redes (propuestas por nosotros) caracterizadas por poseer un fuerte comportamiento discontinuo: las redes híbridas. Damos un ejemplo original de este tipo de red y realizamos la evaluación de su MSF. Además discutimos la posibilidad de generalizar esta herramienta a casos de acoplamiento no lineal y damos una respuesta negativa a tal situación. Por último, estudiamos el caso de una red de dos osciladores conectados de manera lineal a trozos y discutimos su adaptabilidad, que es posible en este caso particular. / Networks and non-smooth systems are one of the most recent topics studied in the theory of dynamical systems. Different developments and problems arising from disciplines such as physics, biology, computer science and electronics, have generated the need to expand the classic tools used for smooth systems to these new objects. Therefore, the concepts and tools of the classical theory of dynamical systems are systematically generalized to this new context, although the peculiarities of the collective and/or discontinuous dynamics cause that this generalization is not direct. Throughout this thesis we concentrate on the analysis of the dynamics of a specific type of networks and of a specific type of non-smooth systems. On the one hand we analyze a particular type of non-smooth networks called threshold linear networks (TLN). Using formal developments and numerical simulation, we investigate the phenomenon of synchrony in these networks, as well as certain global bifurcations that take place (given by the appearance/disappearance of heteroclinic and homoclinic connections). We managed to establish results that give sufficient conditions for such behaviors, and through simulation, we report new phenomena associated with these networks. On the other hand, motivated by the study of strongly discontinuous dynamics, we resort to concrete examples (some classic and others more novel), focusing in particular on those that are of hybrid type. Through numerical simulations we show the different chaotic dynamics that these systems have, and we realize the similarities and differences that take place when compared with classical smooth systems. We also present the generalization to the non-smooth case of two tools used to study dynamical systems and network synchrony: the maximal exponent of Lyapunov and the master stability function (MSF). First we discuss two methodologies used to estimate the maximal exponent of Lyapunov, which are the Stefanski method and the saltation matrix method, and we exemplify them by applying them to non-smooth chaotic systems. Then, we provide a generalization of the MSF, applicable to a type of networks (proposed by us) characterized by having a strong discontinuous behavior: the hybrid networks. We give an original example of this type of network and perform the evaluation of its MSF. We also discuss the possibility of generalizing this tool to non-linear coupling cases and we give a negative response to this situation. Finally, we study the case of a network of two oscillators connected in a piecewise linear way and we discuss their adaptability, which is possible in this particular case.

En esta tesis se presenta un estudio de oscilaciones en sistemas no lineales generales que cumplen ciertas condiciones de diferenciabilidad. Para ello se parte, en una primera etapa, de verificar los postulados del teorema de bifurcación de Hopf que da las condiciones para detectar la presencia de soluciones periódicas en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias sujeto a la variación de un parámetro n del mismo. A tal efecto, se utiliza una propuesta fuertemente enraizada en la Teoría de Control Moderna que ofrece una interesante y didáctica presentación gráfica. Con estos primeros resultados exploramos una generalización del teorema de bifurcación de Hopf, permitiéndole mayor flexibilidad a sus hipótesis. En otras palabras, dos de las tres hipótesis originales podrán no cumplirse dando lugar a una gama variada de diagramas de bifurcaciones locales, esto es, representaciones entre el estado estacionario y la rama de soluciones periódicas cuando varia el parámetro de bifurcación mu. Es asi como, avanzando en una jerarquía de tales puntos singulares, es decir donde fallan los postulados del teorema, se cae inevitablemente en una perturbación multiparamétrica cuando se intentan recuperar los diagramas de bifurcaciones o, en otras palabras, cuando se intenta recuperar la dinámica oscilatoria del sistema. Con la propuesta formalmente enunciada se estudian las llamadas degeneraciones del teorema de bifurcación de Hopf. Para las mismas se han previsto dos alternativas de análisis. La primera consiste en plantear las condiciones de definición y de no-degeneración con nuestra formulación y aplicar los resultados de la teoría de singularidades para obtener los diagramas de bifurcaciones locales. La segunda, en cambio, permite directamente construir los diagramas locales en el espacio de los parámetros originales del sistema aplicando técnicas numéricas. En este trabajo mostramos ambas formas de análisis, especialmente en los últimos capítulos. Con tal fin, hemos implementado diferentes órdenes de aproximaciones para recuperar la dinámica oscilatoria del sistema. Estas aproximaciones Incluyen, en orden ascendiente, mayor información del sistema no lineal en forma similar a la clásica expansión en series de Taylor. Las contribuciones originales más importantes radican en: 1) La formulación de las condiciones de definición y de no-degeneración utilizando las técnicas en el llamado dominio frecuencia; 2) La extensión del método gráfico existente para hallar la amplitud y frecuencia de las oscilaciones de tal manera de incluir naturalmente a las bifurcaciones degeneradas de Hopf; 3) La continuación de las ramas de soluciones periódicas bifurcadas utilizando técnicas numéricas junto con diferentes aproximaciones de balance armónico ,y 4) La comparación de resultados numéricos entre la formulación propuesta y el programa más completo y preciso de continuación de soluciones periódicas hasta el presente, el conocido código AUTO.

Ingeniero Civil Matemático / La presente memoria busca ser un aporte en el estudio matemático de las ecuaciones de Pitcher, cuya finalidad es predecir la dinámica delictual asociada a robos residenciales. Los supuestos involucrados en su formulación muestran que este modelo constituye una aproximación en el análisis de esta realidad, lejos aún de reflejar a cabalidad su naturaleza. En el modelo están involucradas dos variables. La primera hace referencia a la atractividad de la región, mientras la segunda es la densidad de población criminal presente en el medio. La interacción entre ambas es gobernada por un sistema de ecuaciones diferenciales parabólicas del tipo reacción-difusión, que incluyen términos no lineales. Pitcher también propone incluir como una tercera variable al efecto disuasivo que produce la presencia de una fuerza policial en el medio, pero tal situación no se considerará debido a los alcances de este trabajo. Entender como se comportan las soluciones asociadas a las ecuaciones de Pitcher es fundamental por varios motivos, entre los cuales está situar los focos delictivos (hot spots) dentro de una región. Por ello, dotando al problema de condiciones de borde Neumann, la motivación central de esta memoria es contribuir a un estudio riguroso de la existencia de soluciones no constantes en el caso estacionario. El primer capítulo consta de una revisión y análisis de los modelos de Short et al., Pitcher, y Jones, Brantingham y Chayes, donde se establecen sus principales similitudes y diferencias. A continuación, en el segundo capítulo se presentan y demuestran los dos resultados centrales obtenidos en este trabajo: la existencia de ramas de bifurcación, que dependen tanto de los valores propios simples y positivos del operador $-\lap$ como de los parámetros del problema; y la estabilidad de tales ramas. Ambos resultados se derivan del uso de la teoría de bifurcaciones desarrollada por Shi y Wang y los teoremas clásicos de estabilidad de Crandall y Rabinowitz, y en conjunto proveen mayor información respecto al uso de inestabilidades de Turing en el caso no estacionario. Finalmente, se incluyen algunas simulaciones numéricas que, usando el método de elementos finitos y un algoritmo de punto fijo alternante, permiten visualizar el origen de tales ramas.