abstract: One explanation for membrane accommodation in response to a slowly rising current, and the phenomenon underlying the dynamics of elliptic bursting in nerves, is the mathematical problem of dynamic Hopf bifurcation. This problem has been studied extensively for linear (deterministic and stochastic) current ramps, nonlinear ramps, and elliptic bursting. These studies primarily investigated dynamic Hopf bifurcation in space-clamped excitable cells. In this study we introduce a new phenomenon associated with dynamic Hopf bifurcation. We show that for excitable spiny cables injected at one end with a slow current ramp, the generation of oscillations may occur an order one distance away from the current injection site. The phenomenon is significant since in the model the geometric and electrical parameters, as well as the ion channels, are uniformly distributed. In addition to demonstrating the phenomenon computationally, we analyze the problem using a singular perturbation method that provides a way to predict when and where the onset will occur in response to the input stimulus. We do not see this phenomenon for excitable cables in which the ion channels are embedded in the cable membrane itself, suggesting that it is essential for the channels to be isolated in the spines. / Dissertation/Thesis / Ph.D. Applied Mathematics 2012

abstract: With the power system being increasingly operated near its limits, there is an increasing need for a power-flow (PF) solution devoid of convergence issues. Traditional iterative methods are extremely initial-estimate dependent and not guaranteed to converge to the required solution. Holomorphic Embedding (HE) is a novel non-iterative procedure for solving the PF problem. While the theory behind a restricted version of the method is well rooted in complex analysis, holomorphic functions and algebraic curves, the practical implementation of the method requires going beyond the published details and involves numerical issues related to Taylor's series expansion, Padé approximants, convolution and solving linear matrix equations. The HE power flow was developed by a non-electrical engineer with language that is foreign to most engineers. One purpose of this document to describe the approach using electric-power engineering parlance and provide an understanding rooted in electric power concepts. This understanding of the methodology is gained by applying the approach to a two-bus dc PF problem and then gradually from moving from this simple two-bus dc PF problem to the general ac PF case. Software to implement the HE method was developed using MATLAB and numerical tests were carried out on small and medium sized systems to validate the approach. Implementation of different analytic continuation techniques is included and their relevance in applications such as evaluating the voltage solution and estimating the bifurcation point (BP) is discussed. The ability of the HE method to trace the PV curve of the system is identified. / Dissertation/Thesis / Masters Thesis Electrical Engineering 2014

A bactéria Zymomonas mobilis atraiu considerável interesse nas últimas décadas devido ao seu metabolismo único e a suas eficientes características fermentativas na produção de etanol através de açúcares simples. Além disso, dependendo do substrato utilizado outros produtos podem ser obtidos como ácido lático, ácido acético, ácido fórmico, acetona, levana, e sorbitol. Na literatura, a Z. mobilis tem sido proposta como microrganismo mais promissor que a convencional levedura Sacharomyces cerevisiae para a produção industrial de etanol. Na fermentação em modo contínuo o microrganismo apresenta oscilações (i.e., bifurcações Hopf) em baixas taxas de diluição (Df < 0,1/h). Diversos modelos têm sido propostos para descrever a dinâmica oscilatória do cultivo contínuo de Z. mobilis. Entre tais está o modelo de Jöbses et al. (1986) que foi ajustado experimentalmente em baixas taxas de diluição (Df < 0,1/h) e concentrações médias de substrato alimentado (Cso = 150 kg/m³). Recentemente, o modelo foi extrapolado por Elnashaine et al. (2006) que encontrou uma região operacional muito mais rentável a altas taxas de diluição (Df < 2,0/h) e concentração de substrato (Cso = 200 kg/m³). Embora o modelo de Jöbses não tenha sido validado nesta região, nossa contribuição assumirá que esta extrapolação é aceitável e então uma estratégia de controle foi proposta para manter o sistema trabalhando nesta região operacional. Para uma aplicação industrial bem sucedida da Z. mobilis, é necessário uma estratégia de controle eficiente e simples. Esse trabalho analisa o problema de controle e otimização de um biorreator contínuo de biosíntese de etanol pela bactéria modelado por Jöbses et al. (1986). Esse sistema apresenta multiplicidade de equilíbrios em determinadas condições operacionais. A idéia é manter o processo próximo à região de maior produtividade, localizada nas proximidades de um conjunto de bifurcações sela (onde o sistema torna-se instável). Baseado em uma análise sistemática da controlabilidade do sistema usando o índicie não-linear RPN percebe-se que é possível controlar o processo usando um controlador linear. Finalmente o trabalho aborda algumas características importantes no sistema de controle como a utilização de uma transformada nas ações do controlador com vistas a manter o biorreator no ótimo operacional. / Zymomonas mobilis has attracted considerable interest over the past decades pursuant to its unique metabolism and ability to rapidly and efficiently produce ethanol from simple sugars. In addition to ethanol depending on the substrate other fermentation products can occur, such as lactic acid, acetic acid, formic acid, acetone, and sorbitol. In the literature, Zymomonas mobilis has been proposed as a more promising microorganism than conventional yeast Saccharomyces cerevisiae for industrial production of ethanol. The major drawback of this microorganism is that it exhibits sustained oscillations (i.e., Hopf bifurcation) for low dilution rates (i.e., ,Df <=0.1 h-1) when grown in continuous mode. This leads to decreased ethanol productivity and less efficient use of available substrate. Various models have been proposed to describe the oscillatory dynamics of continuous Zymomonas mobilis cultures. One of them is the Jöbses et al. (1986) model that was fitted to experimental data with low dilution rate (i.e.,Df <= 0.1 h-1) and middle inlet substrate concentration (i.e., Cso~=150 kg/m³). Later, it was extrapolated outside of this operating region by Elnashaie et al. (2006), who have found a much more profitable operating region at higher dilution rates (Df~= 2.0 h -¹) and inlet concentrations (Cso~= 200 kg/m³). Notwithstanding the Jöbses's models has not been validated at this region, our contribution will assume that this extrapolation is acceptable and we will propose a control strategy to maintain the system working at this more profitable operating region. For a successful application of any industrial Z. mobilis facility, it is necessary to have an efficient and simple control strategy. This work analyzes the control and optimization problem of a continuous Z. mobilis bioreactor modeled by Jöbses et al. (1986). This system has steady state multiplicity in part of the operating range. The idea is to maintain the process close to the manifold border where is achievable the highest ethanol production. Based on a systematically analysis of the operational controllability using the nonlinear RPN indices it is identified that the process can be controlled using a linear controller. Finally in this work is proposed a variable transformation that makes easy to maintain the bioreactor close to the optimum.

Nesta tese utilizamos o Modelo de Bose-Hubbard (MBH) generalizado para duas espécies bosonicas para investigar a estabilidade dinâmica da fase superfluida de uma mistura binaria de átomos bosonicos ultra-frios confinados em uma rede optica periódica anelar com M sítios. Na primeira parte consideramos a Hamiltoniana do MBH sem a presença do tunelamento inter-especies. Deduzimos e resolvemos as equações de Gross-Pitaevskii para os estados de equilíbrio do MBH e mostramos que são misturas binarias de condensados nos quais os átomos de cada espécie ocupam um estado de quase-momento q bem definido. As excitações elementares foram determinadas resolvendo as equações de Bogoliubov-de Gennes o que foi possível graças a estrutura de acoplamento dos quase-momentos que reduziu a Hamiltoniana Efetiva a uma soma direta de um dubleto e quadrupletos. Através da analise do comportamento das energias de excitação como função dos parâmetros de controle do sistema, investigamos a estabilidade dinâmica de dois casos de misturas de condensados onde, em um caso, os átomos de cada espécie ocupam o mesmo estado de quase-momento, qA = qB e, no outro, quase-momentos opostos, qA = qB. Em ambos os casos as condições de estabilidade dependem do quase-momento q estar nos quartos centrais ou laterais da primeira zona de Brillouin. No caso qA = qB vemos que a forma do diagrama de estabilidade independe do quase-momento do condensado. Por outro lado, o mesmo não ocorre nos condensados contra-propagantes qA = qB. Esta diferença fica mais acentuada no limite termodinâmico onde os diagramas de estabilidade no centro e nas extremidades da primeira zona de Brillouin ficam idênticos nos dois casos. Já nas bordas que separam os quartos centrais e laterais o comportamento ´e diferente pois a presença de uma interação interespécies por menor que seja desestabiliza completamente a mistura com qA = qB. Em todos estes casos ficou evidente o papel desestabilizador da interação interespécies. Na segunda parte consideramos o efeito de um termo de tunelamento inter-especies. As soluções das equações de Gross-Pitaevskii revelam uma estrutura biestável de estados de equilíbrio essencial para a ocorrência de bifurcação no sistema e, portanto, a presença de catástrofe. Investigamos se a catástrofe e acessível a uma observação experimental. De acordo com nosso critério, esta observação e impossível se o plano de bifurcação for a fronteira de um domínio de instabilidade dinâmica. Através da analise da estabilidade dinâmica dos estados de equilíbrio vimos que para um sistema invariante por inversão de cor essa resposta depende apenas da razão entre as intensidades de tunelamento intra e inter-especies de modo que se JAB/J > 1 a observação e impossível e se JAB/J < 1 é possível, supondo existir uma rota adiabática ate a bifurcação. / In this thesis we used the two-component Bose-Hubbard Model (BHM) to investigate the dynamical stability of the superfluid phase of a binary mixture of ultra-cold bosonic atoms confined in a ring-shaped periodic optical lattice with M sites. In the first part we considered the BHM Hamiltonian without the presence of interspecies tunnelling. We deduced and solved the Gross-Pitaevskii equations for the equilibrium states of the BHM and showed that they are binary mixtures of condensates where the atoms of each species occupy a state of well defined quasi-momentum q. The elementary excitations were determined solving the Bogoliubov-de-Gennes equations which was possible thanks to the coupling structure of the quasi-momenta that reduced the Effective Hamiltonian to a direct sum of a doublet and quadriplets. Through the analysis of the behavior of the excitation energies as a function of the control parameters of the system, we investigated the dynamical stability of two cases of mixtures of condensates where, in one case, the atoms of each specie occupy the same state of quasi-momentum, qA = qB, and, in the other, opposite quasi-momentum, qA = qB. In both cases the stability conditions depend of the quasi-momentum q to be in the central or lateral quarters of the first Brillouin zone. In the case qA = qB, we see that the form of the stability diagram is not dependent of the quasi-momentum of the condensate. However, the same does not occur in the counter-propagating condensates qA = qB. This difference is accentuated in the thermodynamic limit where the stability diagrams in the center and in the extremities of the first Brillouin zone are identical in both cases. In the borders that separate the central and lateral quarters the behavior is different because the presence of a slightly non vanishing inter-species interaction completely destabilize the mixture with qA = qB. In all these cases it was evident the destabilizing role of the inter-species interaction. In the second part we considered the effect of a inter-species tunnelling term. The solutions of the Gross-Pitaevskii equations reveal a bi-stable structure of equilibrium states that is essential for the occurrence of the bifurcation in the system and, therefore, the presence of catastrophe. We investigated if the catastrophe is accessible to a experimental observation. According to our criteria, this observation is impossible if the bifurcation plane is the frontier of a dynamical instability domain. Through the analysis of the dynamical stability of the equilibrium states we saw that for a system invariant by color inversion this answer depends only on the ratio between the intra and inter-species tunnelling intensities in a way that if JAB/J > 1 the observation is impossible and if JAB/J < 1 it is possible, supposing that it exists an adiabatic route until the bifurcation.

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The South Atlantic has a relevant role on the AMOC variability as it includes two main conduits of its upper-ocean return flow: the NBUC and the IWBC that carry, mainly, the SACW and the AAIW and are originated from the bifurcation of the SEC. One of the hypotheses of this work is that analyzing the bifurcation variability it is possible to get an index of the AMOC changes. Another hypothesis is that in a global warming scenario, changes in the hydrological cycle would drive modifications in the water masses that are part of the AMOC, and thus, contribute to its variability. Four global model results were used, with different forcing and spatial resolution. Results show that changes in the bifurcation are linked to modications in the currents both caused by variations in the wind stress curl. Good correlations were found between the SEC bifurcation at the surface and the AMOC. The NBUC seems to be the link between them. Shallowing of the SACW core is related to an increase of the salinity on neutral surfaces. The AAIW is occupying less space in the water column due to an increasing of the salinity in the neutral surfaces at 11°S, while the opposite happens at 27°S / The South Atlantic has a relevant role on the AMOC variability as it includes two main conduits of its upper-ocean return flow: the NBUC and the IWBC that carry, mainly, the SACW and the AAIW and are originated from the bifurcation of the SEC. One of the hypotheses of this work is that analyzing the bifurcation variability it is possible to get an index of the AMOC changes. Another hypothesis is that in a global warming scenario, changes in the hydrological cycle would drive modifications in the water masses that are part of the AMOC, and thus, contribute to its variability. Four global model results were used, with different forcing and spatial resolution. Results show that changes in the bifurcation are linked to modications in the currents both caused by variations in the wind stress curl. Good correlations were found between the SEC bifurcation at the surface and the AMOC. The NBUC seems to be the link between them. Shallowing of the SACW core is related to an increase of the salinity on neutral surfaces. The AAIW is occupying less space in the water column due to an increasing of the salinity in the neutral surfaces at 11°S, while the opposite happens at 27°S

Neste trabalho obtemos que o espaço dos invariantes locais do tipo Vassiliev de primeira ordem de aplicações estáveis de 3-variedade fechada orientada em \' R POT. 4\' é 4-dimensional. Damos uma interpretação geométrica para 2 dos 4 geradores deste espaço, a saber, \'I IND. Q\' o número de pontos quádruplos e \'I IND. C / P\' o número de pares de pontos do tipo crosscap/plano, da imagem de uma aplicação estável. Ao reduzir o espaço das aplicações para o das imersões esáaveis, obtemos que o espaço dos invariantes locais de imersões estáveis é 3-dimensional. Os invariantes que obtemos são: \'I IND. Q\' o número de pares de pontos quádruplos da imagem de uma imersão estável e dois índices de interseção \'I IND. I\'`+ e \'I IND. l\' introduzidos por V. Goryunov em [15]. Como início de um estudo que almejamos realizar sobre a geometria de uma m-variedade em \'R POT. m+1\' com singularidades, obtemos os tipos de contatos genéricos da suspensão do crosscap (única singularidade estavel de \'R POT. 3\' em \'R POT. 4\' ) com hiperplanos de \'R POT.4\' / In this work we obtain that the space of first order local Vassiliev type invariants of stable maps of oriented 3-manifolds in \'R POT. 4\' is 4-dimensional. We give a geometric interpretation for two of the four generators of this space, namely, \'I IND. Q\' the number of quadruple points and \'I IND. C / P\' the number of pairs of points of crosscap/plane type, of the image of a stable map. In the case of stable immersions, we obtain that the space of local invariants of stable immersions is 3-dimensional. The invariants that we obtain are: \'I IND. Q\' the number of pairs of quadruple points of the image of a stable immersion and the positive and negative linking invariants \'I IND. I`+ and I\'I IND., l\' introduced by V. Goryunov in [15]. As a beging of a study that we want to realise about the geometry of a m-manifold in \'R POT. m+1\' with singularities, we obtain the generic contacts of the suspension of crosscap (the only stable singularity from \'R POT. 3\' to \'R POT. 4\') with hyperplanes of \'R POT. 4\'

Neste trabalho, estudamos as Singularidades das folheações mutuamente ortogonais, numa variedade orientada M^3 de dimensão 3, cujas folhas são as curvas integrais dos campos de direções de curvatura principal associadas a uma imersão : M^3 R^4. Damos aqui continuidade às contribuições de R. Garcia referente ao estudo das singularidades genéricas das folheações principais. Apresentamos as configurações principais numa vizinhança dos pontos parcialmente umbílicos de codimensão 1, ou seja, as singularidades das folheações principais que aparecem genericamente em famílias a 1 parâmetro de hipersuperfícies imersas em R^4, e os diagramas de bifurcação pertinentes. Enfraquecendo a condição de genericidade, da maneira mais simples possível, encontramos oito tipos genéricos: D_1^ 1, D^1_ 2, D^1_ 3, D^1_, D^1_{1h,p}, D^1_{1h,n}, D^1_p e D^1_c , definidos ao longo do trabalho. Nesta tese consubstanciamos matematicamente a seguinte conclusão: As singularidades das folheações principais, que aparecem genericamente em famílias a 1 parâmetro de hipersuperfícies imersas em R^4, são os pontos parcialmente umbílicos D_1^ 1, D^1_ 2, D^1_ 3, D^1_, D^1_{1h,p}, D^1_{1h,n}, D^1_ e D^1_ , cujas definições e propriedades serão apresentados aqui. A parte central desta tese é estabelecer, analítica e geometricamente, a configuração principal destes pontos incluindo seus diagramas de bifurcação. / In this work we study the mutually ortogonal foliations, in oriented three dimensional manifolds M^3, whose leaves are the integral curves of the principal curvature direction fields associated to immersions : M^3 R^4. We focus on behavior of these foliation around singularities. Here we extend the contributions of R. Garcia concerning the study of generic singularities. To this end we establish the principal configurations in a neighborhood of partially umbilic points of codimension one. These are the singularities which appear generically in one parameter families of hypersurfaces and give their bifurcation diagrams. We express the condition of genericity by minimally weakening those given by R. Garcia and by adding instead new higher order ones. This procedure leads to the novel generic types: D^1_1, D^1_2, D^1_3, D^1_, D^1_{1h,p}, D^1_{1h,n}, D^1_p and D^1_c , studied in this work. The central part of this thesis is to establish, analitically and geometrically, the local principal configurations at these points, including their bifurcations diagrams.

Made available in DSpace on 2014-06-12T22:58:24Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo1450_1.pdf: 5592906 bytes, checksum: ee249cf0e24173d03ea680507f31d56d (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2009 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / O Atlântico tropical compreendido entre 20ºN e 20ºS apresenta-se hoje como chave para o entendimento das mudanças climáticas na Terra. Duas regiões despertam particular interesse: A banda equatorial do Atlântico onde o sistema de correntes interage com forçantes térmicos superficiais e ressurgência de Ekman, como a área sudoeste do Atlântico tropical (05°S-25°S / 20°W-47°W), onde parte da Corrente Sul Equatorial (CSE) penetra pela borda leste e contribui com muitas das correntes de fronteira oeste ao longo da plataforma continental brasileira. Entretanto, a variabilidade da dinâmica nestas regiões, que se mostra importante por sua contribuição sobre o clima da região nordeste do Brasil, apresenta-se pouco estudada. O presente trabalho investigou estes importantes sistemas do Atlântico tropical utilizando o ROMS (Regional Ocean Model System). A primeira área de estudo compreendida entre 20°S-20°N e 42°W 15°E, com resolução horizontal de 1/6º e 30 camadas sigma (que acompanham o terreno). Variações sazonais do transporte zonal, estrutura das correntes e distribuição da TSM (Março e Agosto) obtidos numericamente foram avaliados e comparados com dados: de literatura, experimentais do PIRATA e observados por satélite. Os resultados desta simulação mostram que o modelo é capaz de reproduzir os principais aspectos da Subcorrente Equatorial (SE), Contra-corrente Norte Equatorial (CNE), Corrente do Golfo (CG) e os ramos central e norte dos sistemas de Corrente Sul Equatorial (cCSE/nCSE), em diferentes seções ao longo do equador. A comparação entre a estrutura térmica nos primeiros 500 m simulada e do Programa PIRATA mostra uma Camada de Mistura (MLD) bem reproduzida, particularmente, a ressurgência que induz uma MLD mais rasa verificada nas boias mais à leste durante o inverno austral até o final da primavera austral. A evolução sazonal do sistema Piscina Quente do Atlântico Sul (SAWP) Língua Fria (Cold Tongue) foi bem representado, que é importante para futuras previsões de variabilidade climática sobre as fronteiras continentais da parte sudoeste do Atlântico tropical. Do lado sudoeste do Atlântico tropical (05°S-25°S / 20°W-47°W), O ROMS (Regional Ocean Model System) foi utilizado pela primeira vez nesta área para simular a circulação oceânica utilizando uma malha de resolução horizontal de 1/12º com 40 camadas sigma, que acompanham o terreno, para resolução vertical. Para avaliação preliminar da configuração do ROMS adotada foram analisadas as distribuições superficiais e verticais de temperatura, além de calculadas as evoluções sazonais da camada bem misturada e dos balanços, atmosféricos e oceânicos, envolvendo a troca de calor dentro da camada bem misturada. A ordem de grandeza das componentes oceânicas (principalmente a difusão vertical e a advecção horizontal) é da mesma ordem de grandeza dos forçantes atmosféricos e quase sempre opostos entre si, com alguma diferença de fase e transporte dentro das camadas mais superficiais. Resultados de variabilidade interanual foram comparados com os primeiros dois anos de perfis de temperatura observados advindos dos três fundeios do programa PIRATA-SWE (Projeto PIRATA, Extensão Sudoeste). A estrutura térmica simulada nas camadas mais superficiais do oceano está em concordância com os resultados obtidos in situ. Resultados de simulação apontam para uma larga e relativamente fraca CSE, composta por uma sequência de núcleos não bem definidos e próximos a superfície. O transporte que flui para oeste da CSE nos primeiros 400 m de profundidade ao longo da seção que atravessa as boias PIRATA-SWE, calculado para simulação do ROMS entre 2005-2007, apresenta um volume médio transportado de 14,9 Sv, com um máximo observado em JFM (15,7 Sv) e um mínimo durante MJJ (13.8 Sv). Os resultados de simulação indicam que em 2005-2007 o transporte para oeste da CSE foi modulado pela variabilidade da componente zonal do vento. Três seções zonais, posicionadas do continente até a posição da boia PIRATA, confirmam transporte mais intenso da Sub-corrente do Norte do Brasil (SNB), fluindo para norte, e uma diminuição no transporte da Corrente do Brasil (CB),que flui para sul, durante maio de 2006 e maio de 2007, quando a bifurcação do ramo sul da CSE alcança sua posição mais ao sul. Por outro lado, o máximo escoamento da CB foi registrado durante janeiro de 2006, janeiro de 2007 e março de 2007, com um mínimo da SNB fluindo para norte em dezembro de 2005 e outubro/dezembro 2006, correspondendo ao período em que a bifurcação do ramo sul da CSE alcança sua posição mais ao norte (OND). A Elevação da Superfície do Mar (ESM) e a Energia Cinética turbulenta (ECT) superficial calculada a partir das simulações e dos produtos AVISO Rio05 apontam na superfície para os mais altos níveis de energia de meso-escala ao longo do ramo central da CSE e da SNB/CB. Resultados de modelagem ecológica usando o modelo NPZD acoplado com o ROMS confirmam esta região como uma área oligotrófica. Resultados do modelo ecológico são comparados com SeaWifs dataset e a dinâmica e a produção primária são localmente discutidos. Estes resultados preliminares disponibilizam mais informações diante da complexidade da região de divergência da SCE e encoraja-nos a conduzir estudos mais detalhados a respeito da dinâmica e do transporte de massa nessa região utilizando o ROMS. Este trabalho também apresenta a necessidade de continuação, ampliação e extensão vertical para o sistema de observação PIRATA-SWE, especialmente com medidas de salinidade em mais níveis de profundidade, além da instalação de medidores de correntes

Matrix population models are discrete in both time and state-space, where a matrix with density-dependent entries is used to project a population vector of a stage-structured population from one time to the next. Such models are useful for modeling populations with discrete categorizations (e.g. developmental cycles, communities of multiple species, differing sizes, etc.). We present a general matrix model of two interacting populations where one (the resident) has a stable cycle, and we analyze when the other population (the invader) can successfully invade. Specifically, we study the local bifurcations of coexistence cycles as the resident cycle destabilizes, where a cycle of length 1 corresponds to an equilibrium. We make no assumptions on the types of interactions between the populations or on the population structure of the resident; we consider when the invader's projection matrix is primitive or imprimitive and 2x2. The simplest biological scenarios for such structures are an iteroparous invader and a two-stage semelparous invader. When the invader has a primitive projection matrix, coexistence cycles (of the same period as the resident cycle) bifurcate from the resident-cycle. When the invader has an imprimitive two-stage projection matrix, two types of coexistence cycles bifurcate from the resident-cycle: cycles of the same period and cycles of double the period. In both the primitive and imprimitive cases, we provide diagnostic quantities to determine the direction of bifurcation and the stability of the bifurcating cycles. Because we only perform a local stability analysis, the only successful invasion provided by our results is through stable coexistence cycles. As we show in some simple examples, however, the invader may persist when the coexistence cycles are unstable through competitive exclusion where the branch of bifurcating cycles connects to a branch of invader attractors and creates a multi-attractor scenario known as a strong Allee effect.