L’endommagement induit par micro-fissuration et la déformation plastique sont deux principaux mécanismes de dissipation des matériaux rocheux. Ils sont liés à la modification de micro-structure et influencés par les compositions minéralogiques. Dans cette étude, nous présentons quelques nouvelles contributions à la modélisation micro-mécanique de l’endommagement et du comportement plastique. La première partie est consacrée à la détermination du comportement élastique-plastique d’une classe de matériaux quasi-ductiles, composés d’une matrice plastique dépendant de la contrainte moyenne dans laquelle sont distribués des inclusions et des pores. Nous proposons un nouveau modèle micro-mécanique basé sur une approche variationnelle incrémentale. Comme différence majeure par rapport à la plupart des modèles en champs moyens, le champ local de déformation plastique non-uniforme est pris en compte. Par ailleurs, une loi d’écoulement plastique non-associée est utilisée pour la matrice solide afin de mieux décrire la transition de la compressibilité à la dilatance volumique de ces matériaux. Le modèle variationnel incrémental est formulé à l’aide de la théorie de bi-potentiel. La performance du modèle est vérifiée à travers des comparaisons avec des solutions numériques de références issues des calculs directs par éléments finis. Le modèle proposé est ensuite utilisé à des matériaux argileux et poreux pour illustrer son efficacité. Dans la deuxième partie, nous abordons la modélisation micro-mécanique de l’endommagement induit des matériaux fragiles caractérisés par une matrice solide élastique contenant une distribution aléatoire de micro-fissures. L’accent est mis sur des micro-fissures avec frottement fermées sous contraintes de compression. Le modèle est formulé à l’aide d’une technique d’homogénéisation linéaire et en proposant une loi de glissement frottant à l’échelle locale. Le modèle proposé est d’abord validé par rapport à des essais en laboratoire en supposant une distribution diffuse de micro-fissures. Ensuite, nous proposons une extension du modèle en considérant la transition de l’endommagement diffus à la fissuration localisée. Celle-ci est décrite comme une conséquence de la coalescence de micro-fissures. Après la localisation, la dissipation est entièrement pilotée par la fissure localisée. Un modèle de glissement avec frottement est alors développé pour la fissure localisée d’une manière consistante avec le modèle d’endommagement diffus. Le modèle complet décrivant la transition de l’endommagement diffus à la fissuration localisée est validé par rapport à des données expérimentales. / Damage due to micro-cracking and plastic deformation are two main dissipation processes in most rock-like materials. They are related to the evolution of micro-structure and influenced by mineralogical compositions. In this study, we present some new contributions on the micro-mechanical modeling of damage and plastic behavior of rock-like materials based on linear and non-linear homogenization techniques. The first part is devoted to the estimation of macroscopic plastic behavior of a class of quasi-ductile materials, composed of a pressure-dependent plastic solid matrix in which various inclusions and (or) pores are embedded. We propose a new incremental variational model. Unlike most mean-field methods previously developed, the non-uniform local strain field in the solid matrix is taken into account. Moreover, in order to take into account the transition from volumetric compressibility to dilatancy of those materials, a non-associated plastic flow rule is adopted. The incremental variational model is formulated by using a bi-potential theory for the determination of the incremental potential of plastic matrix. The accuracy of the proposed model is assessed by a series of comparisons with reference solutions obtained from full-field finite element simulations. The proposed model is then applied to several rock-like materials with rigid inclusions or pores. In the second part, we focus on the modeling of induced damage in brittle materials which are represented by an elastic solid matrix weakened by randomly distributed microcracks. The emphasis is put on the case of closed cracks under a large range of compressive stress. The damage evolution is due to the initiation and propagation of micro-cracks while the plastic deformation is directly related to the frictional sliding along micro-cracks. The two dissipation processes are physically coupled. A specific friction model is formulated. The efficiency of the proposed model is verified against experimental data on typical granites. Furthermore, the model is extended to study the transition from diffuse damage to localized cracking. The localized cracking is considered as a consequence of coalescence of diffuse micro-cracks. After the onset of a localized crack, the energy dissipation of material is entirely driven by the frictional sliding and propagation of the localized crack. And a specific frictional damage model is developed for the localized crack in consistence with the diffuse damage model. The proposed model is also verified against laboratory tests.

Dans le cadre de la micromécanique des milieux poreux ductiles, l’Analyse Limite a été appliquée avec succès par Gurson (1977) à l’étude de la résistance des métaux dont la matrice obéit au modèle de Von Mises. Bien que de grand intérêt, les extensions récentes de cette approche, par divers auteurs, aux matériaux poreux ductiles à matrice plastiquement compressible (polymères, bétons et roches) ne permet pas de traiter le cas de nombreux géomatériaux pour lesquels la règle d’écoulement plastique de la matrice présente un caractère non associé. L’objectif principal de cette thèse est de combler cette lacune en proposant un cadre d’étude des milieux poreux ductiles à lois non associées. A cette fin, on s’appuie sur l’Analyse Limite étendue, basée sur la théorie du bipotentiel, une fonction de deux variables duales (contrainte et vitesse de déformation plastique), séparément convexe et représentant physiquement la dissipation. A titre de contribution préliminaire, nous proposons d’abord une méthode variationnelle en contraintes (approche statique) des milieux poreux avec règle d’écoulement associé. Puis nous développons, pour les milieux poreux ductiles à matrice non associée, une méthodologie variationnelle générale, basée sur le choix judicieux de deux champs d'essai, ceux de contrainte et de vitesse. Celle-ci débouche sur la formulation d’une bifonctionnelle macroscopique dont dérive le critère et la règle d’écoulement macroscopiques recherchés… L’ensemble des résultats obtenus a été validé par confrontation à des résultats de nombreuses simulations numériques (par Eléments finis) réalisées lors de cette thèse. / In the framework of the micromechanics of ductile porous media, Limit Analysis theory was successfully applied by Gurson (1977) to the study of metals for which the matrix obeys von Mises criterion. Despite their great interest, the recent extensions by several authors of this approach to ductile porous materials with plastically compressible matrix (polymers, concretes and rocks) do not allow to investigate the mechanical behavior of geomaterials having matrix obeying to a non associated plastic flow rule.The main objective of this thesis is to fill this gap by providing a new framework for the study of ductile porous media with non-associated laws. This is done by means of the extended limit analysis based on the theory of bipotential, a dual function of two variables ( stress and plastic strain rate ), separately convex and representing the mechanical dissipation. As a preliminary contribution, we first proposed a stress variational method ( static approach ) of porous media with an associated flow rule. Then, we develop, for ductile porous media with a non-associated matrix, a general variational method based on an appropriate choice of two trial fields, namely the stress and velocity ones. This leads to the formulation of a macroscopic bifunctional from which the macroscopic criterion and the flow rule are derived. The results are validated by comparison with numerical data obtained from Finite Elements computations carried out during this thesis.

L'introduction de l'écrouissage dans l'étude de l'adaptation élastoplastique est abordée ici, en particulier lorsque celle-ci impose de se placer en plasticité non associée. Le cadre des matériaux standards généralisés (MSG) n'étant plus adapté dans ce dernier cas, une approche alternative, fournie par le concept de matériaux standards implicites (MSI), est alors utilisée. En particulier, on présente dans ce travail l'étude d'exemples caractéristiques en adaptation élastoplastique par le modèle des MSI, soit par l'approche du bipotentiel. <br /> Un premier exemple concernant une éprouvette sous traction constante et torsion alternée est traité en utilisant la méthode pas à pas puis dans le cadre des MSI. La confrontation des résultats porte aussi bien sur le facteur d'adaptation que sur les contraintes internes. La comparaison entre les prédictions du calcul incrémental et celles de la solution analytique puis de la programmation mathématique, construites par l'approche du bipotentiel, montre une très bonne concordance. <br />La deuxième partie de l'étude est consacrée aux structures de type coques minces. Après avoir constaté que l'implémentation du problème de borne statique dans le cas de l'écrouissage cinématique linéaire limité nécessite d'imposer explicitement la limitation des contraintes internes pour que les résultats soient mécaniquement acceptables, il est montré que le cadre des MSI permet de construire un problème de borne cinématique. Son implémentation donne un encadrement très précis du facteur d'adaptation entre les facteurs cinématique et statique. Enfin, une règle d'écrouissage cinématique non linéaire et un bipotentiel sont construits pour les coques minces.

En plasticité associée c’est-à-dire avec la loi de normalité, la solution analytique de Prandtl-Hill donne la charge limite exacte d’un poinçon sur un massif semi-infini de fondation avec le critère de Mohr-Coulomb. Or, il est reconnu expérimentalement que les sols ont un comportement plastique non associé, ce qui signifie qu’en réalité la valeur de la charge limite n’est qu’une estimation.On se propose dans ce travail de combler ce manque en abordant le problème de la capacité portante d’une fondation superficielle lorsque la loi de plasticité est non associée. Sur la base des simulations numériques et d’une extension de l’analyse limite aux matériaux à lois non associées par l’approche du bipotentiel, de Saxcé (1992), on propose une solution analytique approchée par une méthode variationnelle et on la compare à la formule de Drescher et Detournay (1993) et aux résultats numériques. / In associated plasticity, i.e. with the normality law, Prandtl-Hill analytical solution gives the exact limit load of a punch on a semi-infinite massive of foundation with Mohr-Coulomb model. However, it is experimentally recognized that geomaterial shave a non-associated behavior, what means that in reality the value of the limit load is only an estimation.In this work, it is proposed to fill this lack in addressing the problem of the bearing capacity of a shallow foundation, when the low of plasticity is no-associated. On the basis of numerical simulations and an extension of the limit analysis method to materials with non-associated laws by the bipotential approach, de Saxcé (1992), we proposed an approximated analytical solution by a variational method and we compared to Drescher-Detournay formula (1993) and numerical results.

La modélisation des problèmes de contact pose de sérieuses difficultés : conceptuelles, mathématiques et informatiques bien plus complexes que celles qui proviennent de la mécanique des structures linéaire classique. Motivés par le rôle fondamental que joue le contact dans les applications en calcul de structures, nous nous intéressons aux problèmes de contact unilatéral et frottement (statique et dynamique) en petites déformations. Cette thèse est consacrée à l'étude de certaines formulations et méthodes pour résoudre ce problème et se décompose en deux grandes parties. La première partie est consacrée à la présentation de la discrétisation hybride du problème de contact unilatéral avec frottement de Coulomb. Une formulation avec projection est étudiée et un résultat d'existence et d'unicité est donné pour le problème discret. Différentes méthodes de résolution sont présentées (Newton, méthode itérative, points fixes, Uzawa) et comparées en termes de nombre d'itérations et en termes de robustesse par rapport au coefficient de frottement. La deuxième partie concerne le problème de contact élastodynamique. Plusieurs schémas classiques d'intégration en temps (la θ-méthode, schéma de Newmark, point milieu) sont présentés dans cette partie. On donne aussi de nouvelles stratégies (schéma de Paoli et Schatzman, schéma avec la loi de contact équivalente, schéma avec la matrice de masse équivalente) pour venir à bout des difficultés rencontrées avec les schémas précédents. Cette dernière méthode nous permet de conserver l'énergie du problème et de montrer un résultat d'existence d'une solution lipschitzienne pour le problème de contact élastodynamique discret. Ces résultats sont validés par des simulations numériques.

Notre travail s'inscrit dans le cadre de l'étude du comportement<br />des milieux granulaires. Dans un premier temps, nous présentons<br />une méthode numérique par Eléments Discrets de type Dynamique des<br />Contacts, qui modélise en 2D le mouvement d'un ensemble de corps<br />rigides, entrant en collision entre eux et avec des parois, et<br />sujets à des forces de frottement lors de ces chocs. L'utilisation<br />du bipotentiel de contact conduit à un algorithme local basé sur<br />un schéma prédicteur-correcteur par projection sur le cône de<br />frottement et à un critère de convergence fondé sur un indicateur<br />d'erreur relative en loi de comportement. La prise en compte<br />exacte des conditions de Signorini et de Coulomb nous oblige à<br />considérer les phénomènes de chocs multiples. Dans ce cadre, nous<br />utilisons le formalisme de la mécanique non-régulière. Nous<br />aboutissons à un algorithme comportant, à chaque itération, une<br />phase de résolution de l'équation de la dynamique, fournissant une<br />nouvelle approximation de la vitesse, et une phase d'utilisation<br />de l'algorithme local, fournissant une nouvelle valeur de<br />l'impulsion. Les simulations numériques tant quasi-statiques que<br />dynamiques mettent en évidence la convergence et la robustesse de<br />l'algorithme. <br />Dans un second temps, pour permettre le passage de l'échelle<br />microscopique à l'échelle macroscopique, nous établissons une<br />expression du tenseur des contraintes moyen, qui prend en compte<br />les efforts volumiques. Nous montrons sur un exemple analytique<br />simple d'un grain rigide cylindrique roulant sur un plan incliné,<br />que les effets dynamiques sont essentiels pour symétriser le<br />tenseur des contraintes moyen.