In this thesis, we study an isolated vortex in an s-wave superconductor by solving the Bogoliubov-de Gennes equations self-consistently on a disc. We calculate the order parameter and supercurrent profiles, as well as the distribution of quasiparticle states. In contrast to quasi-classical treatments, the ratio Δ∞/EF between the order parameter and the Fermi energy is not assumed negligible. We study a regime where this ratio is on the order of 10-1, relevant to high-temperature superconductors. In this regime, we find a Friedel-like oscillation in the order parameter profile at low temperatures. This oscillation is attributed to an increased level spacing of the quasiparticle states, causing a decrease of the number of states present inside the superconducting energy gap. The results are in good agreement with previously published works. In future studies, the method used in this thesis will be generalized to d-wave superconductors. / I detta examensarbete studeras en ensam virvel i en s-vågssupraledare genom att självkonsistent lösa Bogoliubov och de Gennes' ekvationer på en cylinderskiva. Vi beräknar ordningsparameter- och superströmsprofiler, samt fördelningen av kvasipartikeltillstånd. Till skillnad från i kvasiklassiska metoder så antas inte kvoten Δ∞/EF mellan ordningsparametern och Fermi-energin vara negligerbar. Vi studerar en regim där denna kvot är av storleksordningen 10-1, vilket är fallet i högtemperatur-supraledare. Vid låga temperaturer finner vi i denna regim en Friedelliknande oscillation i ordningsparameterprofilen. Denna oscillations förklaras genom att separationen mellan kvasipartikeltillstånd ökar, vilket får som effekt att färre tillstånd ryms innanför det supraledande energigapet. Våra resultat överensstämmer väl med tidigare publicerade artikler. I framtida studier kommer metoden vi använder i detta examensarbete att generaliseras till d-vågssupraledare.

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique et numérique du modèle de Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) pour les systèmes quantiques attractifs, qui est abondamment utilisé en physique nucléaire. Après avoir présenté le modèle et ses principales caractéristiques, nous expliquons comment le discrétiser et nous montrons des résultats de convergence. Nous examinons tout particulièrement l'algorithme de point fixe (parfois appelé Roothaan) et montrons qu'il converge ou alors oscille entre deux états dont aucun n'est solution du problème. Ceci généralise au cadre HFB des résultats de Cancès et Le Bris pour le modèle plus simple de Hartree-Fock dans le cas répulsif. Suivant ces mêmes auteurs, nous proposons un algorithme basé sur la contrainte relachée et pour lequel la convergence est garantie. Dans dernière partie de la thèse, nous illustrons le comportement de ces algorithmes par des simulations numériques pour plusieurs modèles. Dans un premier temps nous considérons un système purement gravitationnel où les particules interagissent avec le potentiel de Newton. Nos simulations montrent que la matrice d'appariement est toujours non nulle, un fait qui n'a pas encore pu être démontré rigoureusement. Nous étudions ensuite un modèle très simplifié pour la description de protons et neutrons dans le noyau atomique. / This work is devoted to the theoretical and numerical study of Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) theory for attractive quantum systems, which is one of the main methods in nuclear physics. We first present the model and its main properties, and then explain how to discretize it. We prove some convergence results, in particular for the simple fixed point algorithm (sometimes called Roothaan). We show that it converges, or oscillates between two states, none of them being a solution. This generalizes to the HFB case previous results of Cancès and Le Bris for the simpler Hartree-Fock model in the repulsive case. Following these authors, we also propose a relaxed constraint algorithm for which convergence is guaranteed. In the last part of the thesis, we illustrate the behavior of these algorithms by some numerical experiments. We first consider a system where the particles only interact through the Newton potential. Our numerical results show that the pairing matrix never vanishes, a fact that has not yet been proved rigorously. We then study a very simplified model for protons and neutrons in a nucleus.

The focus of this report is the derivation of the Bogoliubov-de Gennes equations for superconductors from a tight-binding model, restricting ourselves to the case of s-wave superconductors.

Submitted by Leonardo Cavalcante (leo.ocavalcante@gmail.com) on 2018-04-30T14:54:08Z No. of bitstreams: 1 Arquivototal.pdf: 981715 bytes, checksum: 76897646d0930b35e6a38674ac2d9ec2 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-04-30T14:54:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Arquivototal.pdf: 981715 bytes, checksum: 76897646d0930b35e6a38674ac2d9ec2 (MD5) Previous issue date: 2017-03-03 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / The spin-1=2 and spin-1 Ising models, as well as the spin-1 Blume-Capel model have been studied in one-, two-, and three-dimensional lattices. A variational method based on Bogoliubov inequality for the free-energy has been employed. The trial Hamiltonians consist of clusters of free spins, pairs of spins, and a combination of free spins and pairs of spins. For the three approximations, the thermodynamic quantities of interest have been calculated, together with the critical transition temperature and the behavior close to the transition, in the latter case in order to compute the corresponding critical exponents. The results have been compared to each other as well with exact results, when available, or results coming from more reliable approximate methods. It has been noted that as more interactions are taken into account in the trial Hamiltonian, better results are obtained for the transition temperature, although the critical exponents are always the mean eld like ones. / Os modelos de Ising de spin-1=2 e spin-1, e o de Blume-Capel de spin-1 foram estudados em redes de uma, duas e três dimensões. Foi empregado o método variacional baseado na desigualdade de Bogoliubov para a energia livre. Os hamiltonianos tentativa utilizados consistem em blocos de spins livres, de pares de spins, e da combinacão de spins livres mais pares de spins. Para as três aproximacões, foram obtidas as quantidades termodinâmicas de interesse, bem como a temperatura crítica e o comportamento perto da transição, neste ultimo caso para se obter os respectivos expoentes críticos. Os resultados foram comparados entre si, bem como com os resultados exatos, quando dispon veis, ou provenientes de outras aproxima c~oes mais elaboradas. Veri ca-se que a medida que se incorpora mais intera c~oes nos hamiltonianos tentativa, melhores resultados s~ao obtidos para a temperatura de transi c~ao, embora os expoentes cr ticos continuem sempre sendo os mesmo de campo médio usual. Palavras-Chave: Modelo de Ising,Blume-Capel,desigualdade de Bogoliubov, campo médio.

Resumo: O método de segunda quantificação é utilizado para construir o operador espalhamento S no espaço de Fock, no contexto de Thermofield Dynamics (TFD), para o campo de Dirac sujeito a um potencial eletromagnético externo dependente do tempo. Esta descrição é baseada na abordagem construtiva do espaço de Fock, a qual é aplicada ao sistema original e a seu dual. Seguindo a prescrição de TFD, o operador S é utilizado para avaliar o processo de produção de pares elétron-pósitron à temperatura finita, e uma análise do limiar de produção é feita a partir do cálculo da probabilidade total de transição. / Abstract: The second quantization methods is used to build the scattering operator S in Fock space, in the contex of Thermofield Dynamics (TFD), for the Dirac field subject to an external time-dependent electromagnetic potential. This description is based on the constructive approach to the Fock space, wich is applied to the original system and to its dual. Following TFD prescription, the operator S is used to estimate the process of electron-positron pair production at finite temperature, and an analysis of the production threshold is done based on the calculation of the total transition probability. / Orientador: Jeferson de Lima Tomazelli / Coorientador: Bruto Max Pimentel Escobar / Banca: José David Mangueira Vianna / Banca: Ademir Eugênio de Santana / Banca: Fernando Luiz de Campos Carvalho / Banca: Maria Cristina Batoni Abdalla / Doutor

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:32:10Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2002-08Bitstream added on 2014-06-13T19:21:27Z : No. of bitstreams: 1 placido_hq_dr_ift.pdf: 696431 bytes, checksum: 6ab3e4a3aecfcc9e8f376ba3a9ba8dde (MD5) / O método de segunda quantificação é utilizado para construir o operador espalhamento S no espaço de Fock, no contexto de Thermofield Dynamics (TFD), para o campo de Dirac sujeito a um potencial eletromagnético externo dependente do tempo. Esta descrição é baseada na abordagem construtiva do espaço de Fock, a qual é aplicada ao sistema original e a seu dual. Seguindo a prescrição de TFD, o operador S é utilizado para avaliar o processo de produção de pares elétron-pósitron à temperatura finita, e uma análise do limiar de produção é feita a partir do cálculo da probabilidade total de transição. / The second quantization methods is used to build the scattering operator S in Fock space, in the contex of Thermofield Dynamics (TFD), for the Dirac field subject to an external time-dependent electromagnetic potential. This description is based on the constructive approach to the Fock space, wich is applied to the original system and to its dual. Following TFD prescription, the operator S is used to estimate the process of electron-positron pair production at finite temperature, and an analysis of the production threshold is done based on the calculation of the total transition probability.

Recent developments in the study of Majorana fermions through braid theory have shown that there exists a set of interchanges that allow for the realization of true quantum computation. Alongside these developments there have been studies of topological superconductivity which show the existence of states that exhibit non-Abelian exchange statistics. Motivated by these developments we study the differences between Abelian and non-Abelian topological phase in the vortex state through the Bogoliubov de-Gennes (BdG) formalism. Due to our interests in low-energy states we first implement computationally efficient algorithms for calculating the mean fields and computing eigenpairs in an arbitrary energy window. We have shown that these algorithms adequately reproduce results obtained from a variety of other techniques and show that these algorithms retain spatial inhomogeneity information. Our results show topological superconductivity and vortex states can coexist; providing a means to realize zero-energy bound states, the number of which corresponds to the topological phase. With the use of our methods we present results contrasting the differences between Abelian and non-Abelian topological phase. Our calculations show that an increase in Zeeman field affects numerous parameters within topological superconductors. It causes the order parameter to become more sensitive to temperature variations in addition to a reduced rate of recovery to the bulk value from a vortex core. The increased field suppresses spin-up local density of states (LDOS) in close proximity to the vortex core for low-energy states. Further, it narrows the spectral gap at the lattice centre. Both energy spectrum and LDOS calculations confirm that trivial topological phase have no zero-energy bound states, Abelian phases have an even number, while non-Abelian phases have an odd number.

Le travail présenté dans ce mémoire de thèse consiste au développement d'un modèle Hartree-Fock-Bogoliubov relativiste en symétrie axiale. Pour la première fois, un modèle de type champ moyen autocohérent relativiste incorporant explicitement les contributions d'échange est à même de décrire les noyaux atomiques déformés et superfluides. Le choix d'une formulation covariante n'est en aucun cas lié au besoin d'une cinématique nucléaire relativiste mais à l'exploitation des symétries de Lorentz. En particulier, le maintien d'une distinction entre scalaire de Lorentz et composante temporelle des 4-vecteurs est source d'efficacité et de simplification en ce qui concerne la description des systèmes nucléaires. Dans ce cadre, les nucléons sont considérés comme des particules ponctuelles représentées par un spineur de Dirac. Leur interaction dans le milieu nucléaire est decrit en terme d'échange de mésons effectifs. La dynamique de ces degrés de liberté est spécifiée par une densité lagrangienne phénoménologique, caractérisée par huit paramètres libres contraints par l'ajustement sur la masse de noyaux sphériques ainsi que par la reproduction de propriétés de la matière nucléaire. Une fonctionnelle de la densité pour l'énergie s'obtient à partir de la densité lagrangienne traitée dans l'approximation Hartree-Fock-Bogoliubov. En particulier, la prise en compte explicite des termes d'échange permet l'introduction du pion, qui ne contribue que par son terme de Fock à l'échelle du champ moyen. La minimisation de la fonctionnelle de la densité pour l'énergie conduit aux équations Hartree-Fock-Bogoliubov relativistes considérées en symétrie axiale. Ces dernières sont résolues dans une base d'oscillateur harmonique déformé. Le modèle ainsi développé est utilisé pour décrire l'état fondamental des isotopes de carbone, néon et magnésium.

Ce mémoire présente plusieurs contributions quant à l'analyse mathématique de l'équation de Gross-Pitaevskii et du modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock. Au sujet de l'équation de Gross-Pitaevskii, l'analyse commence par la construction variationnelle des ondes progressives minimisantes. La preuve de la stabilité orbitale du soliton noir en dimension un, et la description de la limite transsonique des ondes progressives minimisantes vers les états fondamentaux de l'équation de Kadomtsev-Petviashvili en dimension deux, viennent compléter cette construction. L'analyse s'achève par la dérivation rigoureuse du régime ondes longues vers l'équation de Korteweg-de Vries en dimension un. Quant au modèle de Bogoliubov-Dirac-Fock, il s'agit de construire les états fondamentaux du modèle réduit, puis de préciser le processus de renormalisation de leur charge, lequel autorise le calcul d'un développement asymptotique de la densité de charges du vide polarisé, qui est cohérent avec les développements perturbatifs de l'électrodynamique quantique.

Nous étudions la transition de phase survenant dans le gaz de Bose pour des systèmes sans invariance par translation. Bien qu'il soit prouvé depuis les années 60 que la condensation de Bose Einstein (CBE) est absente des systèmes invariants par translation en dimension 1 ou 2, on peut néanmoins déclencher cette transition de phase dans des gaz de Bose en faible dimension en ajoutant un potentiel externe approprié (et par conséquent, en perdant l'invariance par translation). Cependant, le condensat ainsi obtenu se trouve dans des états localisés, alors que la CBE est généralement comprise comme l'occupation macroscopique d'états cinétiques étendus. Il n'est pas à priori évident que cette transition de phase obtenue grace à la localisation est de la même nature que celle reliée au concept habituel de CBE. Dans cette thèse, nous considérons deux classes de systèmes localisés. La première est une famille de modèles aléatoires, pour lesquels le gaz de Bose est contenu dans un milieu désordonné, ce que nous modélisons par un potentiel externe aléatoire. La deuxième est constituée de modèles incluant un potentiel externe faible (d'échelle). Nous commençons par un rappel des conditions nécessaires sur ces potentiels pour obtenir une condensation dans les états localisés. Nous montrons sous certaines hypothèses très générales que dans ces modèles, la CBE au sens habituel est aussi présente, dans un sens généralisé. Cela signifie que les particules sont condensées dans des états cinétiques ayant une énergie arbitrairement faible. Pour le gaz de Bose sans interactions, nous pouvons en plus prouver que les densités des deux condensats sont en fait égales. Nous approfondissons ensuite notre étude de la CBE, en demandant si il est possible d'obtenir une condensation sur un seul état cinétique. Nous montrons qu'en dépit de l'existence à la fois d'une transition de phase et de la CBE généralisée, aucune condensation ne survient sur un seul état cinétique. En particulier, la fameuse condensation sur l'état fondamental est absente pour ces modèles localisés. Finalement, nous établissons une généralisation possible de l'approximation de nombres complexes de Bogoliubov pour prendre en compte les propriétés très particulières de la CBE en présence de localisation, et nous discutons la faon d'interpréter le resultat du problème variationnel correspondant.