The standard Black-Scholes model is under the assumption of geometric Brownian motion, and the log-returns for Black-Scholes model are independent and Gaussian. However, most of the recent literature on the statistical properties of the log-returns makes this hypothesis not always consistent. One of the ongoing research topics is to nd a better nancial pricing model instead of the Black-Scholes model. In the present work, we concentrate on two typical 1-D option pricing models under the general exponential L evy processes, namely the nite moment log-stable (FMLS) model and the the Carr-Geman-Madan-Yor-eta (CGMYe) model, and we also propose a multivariate CGMYe model. Both the frameworks, and the numerical estimations and simulations are studied in this thesis. In the future work, we shall continue to study the fractional partial di erential equations (FPDEs) of the nancial models, and seek for the e cient numerical algorithms of the American pricing problems. Keywords: fractional partial di erential equation; option pricing models; exponential L evy process; approximate solution.

Orientador: Rosemary Adriana Chiérici Marcantonio / Banca: Silvana Regina Perez Orrico / Banca: Joni Augusto Cirelli / Banca: Rui Vicente Opperman / Banca: Fábio André dos Santos / Resumo: O objetivo deste estudo foi avaliar clinicamente a influência do cálculo subgengival nas medidas de profundidade de sondagem com sonda manual e eletrônica de força controlada. Para tanto, foram avaliados 614 sítios com cálculo subgengival visível em radiografias periapicais e detectáveis clinicamente através do índice de cálculo de Greene e Vermillion, 1967. Os exames foram realizados por um profissional calibrado que avaliou o índice de sangramento gengival à sondagem e realizou a sondagem com os dois tipos de sondas em seis áreas de cada dente: mesio-vestibular, vestibular, disto-vestibular, mesio-lingual, lingual e disto-lingual, com o auxílio de um stent oclusal. As sondagens foram realizadas em dois instantes. Inicial: com a presença do cálculo subgengival, imediato: imediatamente após a remoção do cálculo subgengival. Para a análise dos dados obtidos, as profundidades de sondagens foram estratificadas em rasa (=3mm), média (4-6mm) e profunda (= 7mm). Através do teste de Wilcoxon à 5%, observou-se que as medidas de profundidades de sondagens médias (4.78mm para o momento inicial e 4.56mm para o momento imediato) e profundas (7.60mm para o momento inicial e 6.79 mm para o momento imediato) para a sonda eletrônica de força controlada apresentaram diferenças significativas entre os diferentes momentos, porém, o mesmo não ocorreu quando foi utilizada a sonda manual. Da mesma forma, quando o teste t foi empregado para avaliar a influência do sangramento à sondagem sobre as diferenças da sondagem manual e computadorizada, este não apresentou-se como um fator influenciador. Conclusão: O cálculo subgengival interfere na sondagem realizada com a sonda computadorizada, não ocorrendo o mesmo com a sonda manual. / Abstract: The present investigation assessed the influence of subgingival calculus on clinical probing measurements with manual and constant force electronic probe. The study evaluated 614 sites with visible subgingival calculus, evidenced by radiographic and clinical modified index (Greene & Vermillion, 1967). The evaluation was performed by a calibrated dental examiner, who evaluate gingival bleeding index and probing depth with manual and computarized probe, in six sites per tooth: mesio-buccal, middle-buccal, disto-buccal, mesio-lingual, middle-lingual and disto-lingual with individually acrylic stents. The probing depths measurements were performed in two moments. Inicial: In presence of subgingival calculus, immediate: immediately after removal of subgingival calculus. To data analysis, the probing depths measurements were classified in: shallow depths (=3mm), moderate (4-6mm) and deep (=7mm) and submmited to statistical analysis (Wilcoxon 5%). The results show that moderate measurement (4.78mm at inicial moment and 4.56mm for immediate), and deep measurements (7.60mm at inicial moment and 6.79 for immediate) with a computerized probe were statistically differentes significative for two moments, however, the same difference did not occurre when manual probe was used. Smilary, when the test t assessed the influence of gingival bleeding index to detect differences between computarizade and manual probe, this not represent a source of error in this measurement. Conclusion: The subgingival calculus influenced the probing depth measurements when a computarized probe was used, although that didnþt occurre with manual probe. / Doutor

In this thesis we look into Emmy Noether's life and works. An overview of Emmy Noether's life gives context to understanding her approach to mathematics which produced seminal works. In Invariante Varationsprobleme, Noether proved the connection between symmetry and conservation laws; Noether's theorem is the foundations of modern physics. In Idealtheorie in Ringberichen, she proved the ascending chain condition on ideals in an abstract setting; this work started the "algebrization of mathematics" in 20th century. Noether continued to produce phenomenal works and influenced numerous branches of mathematics. By understanding Emmy Noether's life and her works, one achieves a greater understanding to the foundations of 20th century mathematics.

Orientador: Eliris Cristina Rizziolli / Banca: Henrique Lazari / Banca: Aldício José Miranda / Resumo: Neste trabalho estudamos tópicos de cálculo diferencial para funções de várias variáveis a valor real, utilizando como ferramenta o programa livre MAXIMA / Abstract: We study some topics of the differential calculus using the software as a tool MAXIMA / Mestre

Orientador: Renata Zotin Gomes de Oliveira / Banca: Suzinei Aparecida Siqueira Marconato / Banca: Maria Beatriz Ferreira Leite / Resumo: O principal objetivo deste trabalho é o estudo da teoria do Cálculo de Variações com ênfase na Equação de Euler, que trata de uma condição necessária para uma função ser extremo de um funcional. Existe uma grande variedade de problemas, mas neste trabalho trataremos de problemas com fronteiras fixas, tempo final livre, estado final livre, funcional dependente de mais de uma função e problemas com alguns tipos de restrições. Dois problemas do Cálculo de uma variável e um exemplo de controle ótimo são estudados para ilustrar a aplicabilidade do Cálculo Variacional / Abstract: The main purpose of this work is the study of the theory of the Calculus of Variations, with emphasis on the Euler equation, that is a necessary condition for a function to be an extreme of a functional. There are a large variety of problems but we will consider the problem of xed boundary, free nal time, free nal state, functionals that contain several independent functions and problems with some constraints. Two problems of the Calculus of one variable and an example of optimal control problem are studied to illustrate the applicability of Variational Calculus / Mestre

Orientadora: Rosa Lúcia Sverzut Baroni / Banca: Marta Cilene Gadotti / Banca: Carlos Roberto de Moraes / Banca: Denise de Mattos / Banca: Maria Laura Magalhães Gomes / Resumo: Neste trabalho traduzimos e analisamos a tese de doutorado de Henri Lebesgue Inté- grale, Longueur, Aire. Publicada em 1902, é nela que Lebesgue apresenta a teoria da medida e integração que levam o seu nome. A tradução, que pretende ser o mais fiel pos- sível ao original, foi feita seguindo a metodologia de Vinay e Darbelnet (1977). A análise foi respaldada pelo referencial teórico da hermenêutica das profundidades proposta por Thompson (2011). O nosso objetivo geral é disponibilizar uma fonte original mais aces- sível para pesquisas em história da matemática bem como facilitar seu uso como recuso pedagógico na educação matemática; trazendo, assim, contribuições para essas áreas do conhecimento / Résumé: Ce thèse porte sur une traduction et analyse de la thèse de doctorat d'Henri Lebesgue Intégrale, Longueur, Aire. Il s'agit d'une thèse parue en 1902 dans laquelle Lebesgue présente la théorie de la mesure et d'intégration ayant son nom. La traduction, de toute fidélité possible à son original, a pour base la méthodologie de Vinay et Darbelnet (1977). L'analyse se développe à partir du référentiel théorique de l'herméneutique des profondeurs plus spécifiquement, Thompson (2011). Notre intention est de rendre plus accessible une source originale en langue étrangère, le portugais du Brésil dans ce cas, pour contribuer avec les études en Histoire Mathématique mais aussi en avoir comme un outil pédagogique pour l'enseignement des mathématiques / Abstract: This thesis deals with the translation and analysis of Henri Lebesgue doctoral thesis, Integrale, Longueur, Aire. Published in 1902, this thesis presents the Lebesgue measure theory and integration named after him. The translation, intended to be as faithful to the original as possible, is based on Vinay and Darbelnet's (1977) methodology. The analysis is developed from the theoretical reference of the deep hermeneutics, more specifically, Thompson (2011). Our intention is to make available an original source in Portuguese to help with Brazilian studies in History of Mathematics and also ease its use as na educational tool for math teaching / Doutor

O uso adequado de ambientes computacionais pode representar um aumento de qualidade e conforto no processo de ensino-aprendizagem de algumas disciplinas. Percebeu-se, através de pesquisa, a inexistência de ferramentas voltadas para o ensino-aprendizagem de cálculo proposicional que atendessem aos critérios estabelecidos para um ambiente de suporte ao aluno (ASA). Como consequência do resultado da pesquisa, este trabalho introduz o conceito e os requisitos básicos de um ASA, concebe e implementa uma ferramenta ASA voltada para o ensino-aprendizagem de cálculo proposicional, acompanhada de um plano de ensino opcional, e os coloca à disposição da comunidade acadêmica. Apresenta também estudos de casos sobre apresentações e usos da ferramenta em vários estágios de desenvolvimento, além da descrição de cada módulo e dos métodos e regras disponibilizados pela ferramenta. Pretende-se que a ferramenta ASA-CalcPro e o plano de ensino sugerido, sejam uma contribuição social positiva e um estímulo ao ensino-aprendizagem de cálculo proposicional. / The adequate use of computational environments can increase the quality and comfort of the teaching-learning process for some of the academic disciplines. A review of the literature reveals the lack of existing tools for the teaching-learning of the propositional calculus that conform to the criteria established for the student support environment (ambiente de suporte ao aluno (ASA)). As a consequence of this conclusion, the current thesis introduces the concept of, and the basic requirements for, an ASA, conceives and implements an ASA tool for the teaching-learning of the propositional calculus, together with an optional teaching plan, and puts both at the disposition of the academic community. The thesis also presents case studies of presentations and uses of the tool at various stages of its development, as well as a description of each module and of the methods and rules made available for use by the tool. It is hoped that the ASA-CalcPro tool and the suggested plan of study will make a positive social contribution and will be a stimulant for the teaching-learning of the propositional calculus.

O uso adequado de ambientes computacionais pode representar um aumento de qualidade e conforto no processo de ensino-aprendizagem de algumas disciplinas. Percebeu-se, através de pesquisa, a inexistência de ferramentas voltadas para o ensino-aprendizagem de cálculo proposicional que atendessem aos critérios estabelecidos para um ambiente de suporte ao aluno (ASA). Como consequência do resultado da pesquisa, este trabalho introduz o conceito e os requisitos básicos de um ASA, concebe e implementa uma ferramenta ASA voltada para o ensino-aprendizagem de cálculo proposicional, acompanhada de um plano de ensino opcional, e os coloca à disposição da comunidade acadêmica. Apresenta também estudos de casos sobre apresentações e usos da ferramenta em vários estágios de desenvolvimento, além da descrição de cada módulo e dos métodos e regras disponibilizados pela ferramenta. Pretende-se que a ferramenta ASA-CalcPro e o plano de ensino sugerido, sejam uma contribuição social positiva e um estímulo ao ensino-aprendizagem de cálculo proposicional. / The adequate use of computational environments can increase the quality and comfort of the teaching-learning process for some of the academic disciplines. A review of the literature reveals the lack of existing tools for the teaching-learning of the propositional calculus that conform to the criteria established for the student support environment (ambiente de suporte ao aluno (ASA)). As a consequence of this conclusion, the current thesis introduces the concept of, and the basic requirements for, an ASA, conceives and implements an ASA tool for the teaching-learning of the propositional calculus, together with an optional teaching plan, and puts both at the disposition of the academic community. The thesis also presents case studies of presentations and uses of the tool at various stages of its development, as well as a description of each module and of the methods and rules made available for use by the tool. It is hoped that the ASA-CalcPro tool and the suggested plan of study will make a positive social contribution and will be a stimulant for the teaching-learning of the propositional calculus.

As dificuldades existentes com o ensino do Cálculo Diferencial e Integral nos cursos iniciais da Universidade constituíram a grande motivação para este trabalho. À luz do referencial teórico da rede de conhecimentos e significados, buscou-se a compreensão dessas dificuldades a partir dos livros didáticos, por constituírem um instrumento sempre presente no trabalho do professor na sala de aula. Uma vez que conhecer é conhecer o significado, o enfoque principal residiu na negociação dos significados, para esclarecer em que medida a abordagem do Cálculo realizada é uma simples revelação ou uma construção significativa. A análise dos livros didáticos selecionados baseou-se em um modelo construído a partir do referencial teórico proposto e mostrou que a dificuldade não reside na falta de bons livros. A diversidade dos percursos nos livros analisados se traduz numa maior ou menor adequação à construção/negociação de significados no Cálculo. No trabalho discute-se o papel fundamental do professor na sala de aula, tendo como potencial aliado o computador, como instrumento facilitador, que abre novos horizontes, possibilita o estabelecimento de múltiplas relações e a negociação de significados. / The existing difficulties of teaching Calculus in the beginner’s courses at the University were the main motivation for this work. In the light of the theoretical referential of the net of knowledge and meanings, one looked for the understanding of these difficulties from textbooks, for they are always present in the work of teachers in classrooms. Since knowing is knowing the meaning, the main focus of this work became the negotiation of meanings, in order to make clear in which measure the chosen approach to the Calculus is a simple revelation or a significant construction. The analysis of the selected textbooks according to a model that was constructed from the proposed theoretical referential, showed that the difficulty is not in the absence of good books. The diversity of paths in the examined books translates into a greater or smaller adequacy to the construction/negotiation of meanings in Calculus. In this work, one discusses the fundamental role of the teacher in the classroom, having as a potential ally the computer, as an instrument to facilitate work, which opens new horizons, makes possible the setting of multiple relationships and the negotiation of meanings.

O Cálculo Diferencial e Integral é o ramo da matemática no qual um dos objetivos é o estudo do movimento e da variação. Desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, esse ramo dedica-se ao estudo de taxas de variação de grandezas, como a inclinação de uma reta tangente a uma curva em um dos seus pontos, e a acumulação de quantidades, como a área sob uma curva e o volume de um sólido. Por ser utilizado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências pura e aplicada e, dada a sua aplicabilidade nas mais diversas áreas do conhecimento, é considerado um dos conteúdos mais importantes trabalhado nos cursos superiores. Todavia, no Ensino médio, quando aparece nos livros didáticos, vem embasado no ensino clássico de limites das funções. No presente trabalho, foi apresentada uma proposta que não utilizará o conceito de limite, mas outros conceitos que figuram, mais frequentemente no Ensino Médio, para se discutir uma possível abordagem do ensino de derivadas, aplicado às cônicas. / The differential and integral calculus is a Mathematical field which aims the study of movement and variation. Developed from Algebra and geometry, this field is applied to the study of magnitude variation taxes, like the inclination of a tangent line to a curve in one of its points, and the accumulation of quantities, like the area underneath a curve and the volume of a solid. Because its used as an aid tool in several fields of pure and applied sciences and, due to its applicability in many varied areas of knowledge, its considered one of the most important worked contents in higher education. However, in High School, when it comes in didactic material, its grounded in the classic limit of functions. In this present work, it was presented a proposal which will not use the concept of limit, but others concepts that appear, more often in High School, to discuss a possible approach of derivatives teaching, applied to conics.