Nesta dissertação, abordaremos os dois tipos de infinitos existentes: o infinito potencial e o infinito actual. Apresentaremos algumas situações, exemplos que caracterizam cada um desses dois tipos. Focaremo-nos no infinito actual, com o qual discutiremos alguns dos desafios encontrados na teoria criada por Cantor sobre este assunto. Mostraremos também sua importância e a diferença entre este e o infinito potencial. Com isso, buscamos fazer com que o professor compreenda adequadamente os fundamentos matemáticos necessários para que trabalhe, ensine e motive apropriadamente seus alunos no momento em que o infinito e conjuntos infinitos são discutidos em aula. Desta forma, buscamos esclarecer os termos usados e equívocos comuns cometidos por alunos e também professores, muitas vezes enganados ou confundidos pelo senso comum. / In this dissertation, we will discuss the two types of infinities: the potential infinity and the actual infinity. We will present some situations, examples that characterize each of these two types. We will focus on the actual infinity, with which we will discuss some of the challenges found in the theory created by Cantor on this subject. We will also show its importance and the difference between this and the potential infinity. Thus, we seek to make teachers properly understand the mathematical foundations necessary for them to work, teach and properly motivate their students at the time the infinity and infinite sets are discussed in class. In this way, we seek to clarify the terms used and common mistakes made by students and also teachers, so often misguided or confused by common sense.

Orientador: Francisco de Assis Magalhães Gomes Neto / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T22:50:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dias_CarlosHenrique_M.pdf: 2721795 bytes, checksum: 57d6019ecabf33034889a64675ccf707 (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Este trabalho tem por finalidade a determinação da fronteira eficiente de investimento através da otimização do modelo de média-variância com restrições de cardinalidade e limite inferior de investimento. Por tratar-se de um problema inteiro e não linear, cuja solução exata é de difícil obtenção, optamos por empregar um algoritmo genético, na linha desenvolvida por Chang et al. [3], que até hoje serve como referência para a determinação da fronteira eficiente de Pareto para problemas de otimização de investimentos. Entretanto, verificamos que o algoritmo proposto por Chang et al. apresenta uma distribuição não uniforme na geração de soluções aleatórias. Para contornar esse problema, introduzimos um novo esquema de geração de cromossomos, baseado na discretização do espaço, que permite a geração de soluções que satisfazem diretamente a restrição de montante total aplicado. Com essa nova abordagem, foi possível definir operadores de seleção, crossover e mutação bastante eficientes. Os resultados obtidos mostram que o novo algoritmo é mais robusto que aquele proposto por Chang et al / Abstract: In this work we consider the problem of determining of the efficient frontier of a portfolio using the mean-variance model subject to a cardinality constrain and to lower bounds on the amount invested in the selected assets. As this nonlinear integer programming problem is hard to solve exactly, we use a genetic algorithm, following the lines described by Chang et al. [3], still considered as a reference in the field. However, as the feasible solutions generated by the algorithm of Chang et al. are not uniformly distributed over the solution set, we introduce a new scheme for defining the chromosomes, based on the discretization of the feasible region, so that the amount invested always sum up to one for every solution obtained by the algorithm. This new approach allows us to define very efficient selection, crossover and mutation procedures. The numerical results obtained so far show that the new method is more robust than the one proposed by Chang et al / Mestrado / Otimização / Mestre em Matemática Aplicada

Nesta dissertação, abordaremos os dois tipos de infinitos existentes: o infinito potencial e o infinito actual. Apresentaremos algumas situações, exemplos que caracterizam cada um desses dois tipos. Focaremo-nos no infinito actual, com o qual discutiremos alguns dos desafios encontrados na teoria criada por Cantor sobre este assunto. Mostraremos também sua importância e a diferença entre este e o infinito potencial. Com isso, buscamos fazer com que o professor compreenda adequadamente os fundamentos matemáticos necessários para que trabalhe, ensine e motive apropriadamente seus alunos no momento em que o infinito e conjuntos infinitos são discutidos em aula. Desta forma, buscamos esclarecer os termos usados e equívocos comuns cometidos por alunos e também professores, muitas vezes enganados ou confundidos pelo senso comum. / In this dissertation, we will discuss the two types of infinities: the potential infinity and the actual infinity. We will present some situations, examples that characterize each of these two types. We will focus on the actual infinity, with which we will discuss some of the challenges found in the theory created by Cantor on this subject. We will also show its importance and the difference between this and the potential infinity. Thus, we seek to make teachers properly understand the mathematical foundations necessary for them to work, teach and properly motivate their students at the time the infinity and infinite sets are discussed in class. In this way, we seek to clarify the terms used and common mistakes made by students and also teachers, so often misguided or confused by common sense.

Orientador: Marcelo Reicher Soares / Resumo: O objetivo desse trabalho é apresentar, de forma rigorosa, como a matemática aborda o conceito de infinito e propor uma sequência de atividades para que o professor possa explorar esse tema com seus alunos de forma inovadora e estimulante. Muito do que é compreendido acerca do infinito se deve às ideias desenvolvidas por Georg Cantor, que estabeleceu a teoria dos números cardinais transfinitos, gerando uma série de resultados surpreendentes, que serão apresentados ao longo dessa dissertação. Cantor descobriu que existem diversos tipos de infinito e definiu critérios para classificá-los e compará-los. Para compreender esta teoria, é fundamental recordar os conceitos básicos da teoria de conjuntos e funções. Além disso, serão apresentados formalmente os números naturais através dos axiomas de Peano, bem como suas operações e propriedades. A partir deste, será construído o conjunto dos números inteiros, racionais e reais. Dessa forma, será possível definir formalmente a noção de conjunto finito e infinito, bem como a noção de conjuntos enumeráveis, e não-enumeráveis, e estabelecer critérios para comparar a cardinalidade de tais conjuntos. O trabalho é finalizado com a apresentação de uma proposta didática voltada para os alunos de ensino médio, sustentado no relato de duas experiências de sua aplicação. O tema é abordado utilizando atividades diferenciadas e fundamentadas no cotidiano, visando com isto contribuir para que os alunos apresentem um maior interesse e uma participaçã... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: The aim of this work is to present in a rigorous way how mathematics approaches the concept of the in nite and to propose a sequence of activities so that the teacher can explore this theme with his students in an innovative and stimulating way. Much of what is understood about infinite is due to the ideas developed by Georg Cantor who established the theory of transfinite cardinal numbers generating a series of surprising results that will be presented throughout this dissertation. Cantor found that there are several types of infinite and defined criteria for classifying and comparing them. To understand this theory it is essential to remember the basic concepts of set and function theory. In addition natural numbers will be formally presented through Peano axioms as well as their operations and properties. From the natural numbers the sets of integers, rationals and reals will be constructed. Then it will be possible to formally de ne the notions of finite and infinite sets as well as the notions of countable and uncountable sets and establish criteria for comparing the cardinality of such sets. The work is concluded with the presentation of a didactic proposal aimed at high school students supported by the report of two experiences of its application. The theme is presented through difierent activities, based on daily life, aiming to contribute to the students to show more interest and participate more actively in the classes. / Mestre

Orientador: Francisco de Assis Magalhães Gomes Neto / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-12T16:09:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Villela_PedroFerraz_M.pdf: 727069 bytes, checksum: d87d64ae49bfc1a53017a463cf10b453 (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: Neste trabalho, propomos um método exato para a resolução de problemas de programação quadrática que envolvem restrições de cardinalidade. Como aplicação, empregamos o método para a obtenção da fronteira eficiente de um problema (bi-objetivo) de otimização de carteiras de investimento. Nosso algoritmo é baseado no método Branch-and-Bound. A chave de seu sucesso, entretanto, reside no uso do método de Lemke, que é aplicado para a resolução dos subproblemas associados aos nós da árvore gerada pelo Branch-and-Bound. Ao longo do texto, algumas heurísticas também são introduzidas, com o propósito de acelerar a convergência do método. Os resultados computacionais obtidos comprovam que o algoritmo proposto é eficiente. / Abstract: In this work, we propose an exact method for the resolution of quadratic programming problems involving cardinality restrictions. As an application, the algorithm is used to generate the effective Pareto frontier of a (bi-objective) portfolio optimization problem. This algorithm is based on the Branch-and-Bound method. The key to its success, however, resides in the application of Lemke's method to the resolution of the subproblems associated to the nodes of the tree generated by the Branch-and-Bound algorithm. Throughout the text, some heuristics are also introduced as a way to accelerate the performance of the method. The computational results acquired show that the proposed algorithm is efficient. / Mestrado / Otimização / Mestre em Matemática Aplicada

Submitted by Kamila Costa (kamilavasconceloscosta@gmail.com) on 2015-08-27T12:52:40Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Rogério J de M Júnior.pdf: 1412276 bytes, checksum: 362c58043c52c9e05db80b80055fe0f2 (MD5) Ficha.pdf: 6202 bytes, checksum: 7bc34b7b59769c34edf90b86a7983117 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2015-08-28T20:05:14Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Rogério J de M Júnior.pdf: 1412276 bytes, checksum: 362c58043c52c9e05db80b80055fe0f2 (MD5) Ficha.pdf: 6202 bytes, checksum: 7bc34b7b59769c34edf90b86a7983117 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2015-08-28T20:24:20Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Rogério J de M Júnior.pdf: 1412276 bytes, checksum: 362c58043c52c9e05db80b80055fe0f2 (MD5) Ficha.pdf: 6202 bytes, checksum: 7bc34b7b59769c34edf90b86a7983117 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-08-28T20:24:20Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Rogério J de M Júnior.pdf: 1412276 bytes, checksum: 362c58043c52c9e05db80b80055fe0f2 (MD5) Ficha.pdf: 6202 bytes, checksum: 7bc34b7b59769c34edf90b86a7983117 (MD5) Previous issue date: 2015-05-15 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this dissertation we discuss briefly some issues quickly treated during the undergraduate course such as countable and uncountable sets, cardinality and other related subjects. We will present a brief historical review of the facts that gave rise to these problems, as well as people who have developed knowledge on these issues. The purpose of this report is succinctly present a direction to the Basic Education teachers for their classes, giving the opportunity to teachers to have more confidence when working with numerical sets and functions on these sets. It will also be used as a motivational element to the theoretical approach, or this associated with the problems that gave rise to such issues, both for teachers, and for students and scholars interested, because these are curious and intriguing subjects for those which enjoy studying mathematics of such subjects that are, of some kind, advanced or abstract. Among others, we can assign the comparison of cardinality of infinite sets, demonstrating that sets of racional numbers and the algebraic numbers are countable, and the real numbers and the transcendental numbers are uncountable, and besides, we show the cardinality of other interesting sets that are of great value to research in modern mathematics. Thus we think we are contributing to the improvement of teachers and students of Basic Education. / Neste trabalho abordaremos alguns assuntos tratados brevemente durante o curso de graduação tais como enumerabilidade e não enumerabilidade de conjuntos, cardinalidade e outros assuntos correlatos. Apresentaremos um pequeno aparato histórico que deram origem a esses problemas, assim como as pessoas que lançaram conhecimento sobre tais temas. O objetivo é apresentar sucintamente aos professores do ensino básico suporte para as aulas, dando a oportunidade do professor ter mais segurança quando trabalhar com conjuntos numéricos. Também servirá como elemento motivacional tanto para professores como para os alunos interessados, pois trata de assuntos curiosos e atiçadores para quem gosta de estudar matemática, como comparar a cardinalidade de conjuntos infinitos, a infinidade de números transcendentes e sua dificuldade de determiná-los e outros assuntos que são de grande riqueza de pesquisa na matemática moderna. Dessa forma pensamos estar contribuindo para o aperfeiçoamento de professores e alunos do ensino básico.