Résumé : Les propriétés thermiques des matériaux utilisées pour la construction des murs latéraux d’une cuve d’électrolyse de l’aluminium captent l’attention depuis les deux dernières décennies. Une bonne prédiction du comportement thermique dynamique des cellues Hall-Heroult, y compris une estimation précise des pertes d'énergie et de l'emplacement du gel sur le coté, est rendue possible lorsque les matériaux de coté sont bien caractérisés en fonction de la température. L'objectif de ce travail consiste à mesurer la diffusivité thermique, la capacité calorifique et la conductivité thermique du carbure de silicium, des matériaux carbones du coté (graphitique et graphitise) et de la cryolite à l’aide de techniques de caractérisation transitoires. La diffusivité thermique et la capacité de calorifique sont mesurées en utilisant respectivement un diffusivimètre thermique et un calorimètre à balayage différentiel. La conductivité thermique est calculée en supposant une masse volumique constante. La marge d'erreur sur la precision de chaque propriété thermique a également été calculée pour un nombre fini d'ensembles de données. Une conflation empirique a été élaborée pour chacune des propriétés pour décrire la relation avec la température en termes mathématiques. La caractérisation thermique de la chaleur latente dégagée lors de la fonte de la gelée de coté est également effectuée. Enfin, sur la base des calculs effectués avec un modele 2-D numérique, l'effet des erreurs de mesure entachant les différentes propriétés thermiques des matériaux du coté sur le comportement dynamique d'un réacteur à changement de phase de type laboratoire est également présenté. Les résultats obtenus montrent l’intérêt de nouvelles études sur les propriétés thermiques des matériaux utilisés dans les cellules d’électrolyse de l'aluminium pour découvrir l’influence de l'environnement thermique intérieur de la cellule, pour estimer les pertes de chaleur et l'effet des additifs sur l’emplacement du front de solidification. // Abstract : The thermal properties of the sidewall lining materials are capturing attention since the last two decades. Good prediction of the dynamic thermal behaviour of Hall Heroult cells, including precise estimation of energy losses and location of the side ledge formed by the solidification of electrolytic bath, is made possible when the sidelining materials are well characterized in function of temperature. The present work aim at measuring the thermal diffusivity, heat capacity and thermal conductivity of silicon carbide (SiC), graphitic and graphitized carbon materials and cryolite (NasAlFe) based on transient characterization techniques. The thermal diffusivity and the heat capacity are measured by using state-of-the-art transient laser flash analyzer and differential scanning calorimeter respectively. The thermal conductivity is calculated by assuming a constant density. The range of precision error for each thermal property is also calculated for a finite number of data sets. Empirical correlation has been drawn for each of the properties to describe the relation with temperature in mathematical terms. Thermal characterization of the latent heat evolved during the melting of ledge is also carried out. Finally, based on the calculations conducted with a 2-D numerical model, the effect of the precision errors of temperature varying thermal properties of the sidewall materials and ledge on the dynamic behaviour of a laboratory scale phase change reactor is also presented. The results, so obtained, encourage further studies on the thermal properties of materials used in the aluminium reduction cell to find out the thermal environment inside the cell, heat loss estimation and effect of the additives on the location of ledge.

Les contraintes environnementales de plus en plus fortes ainsi que les problèmes grandissants de la disponibilité des ressources énergétiques obligent le secteur de l'énergie non seulement à une évolution importante de ses technologies mais aussi à leurs utilisations plus rationnelles. Ce mémoire présente la synthèse de mes initiatives de recherches menées sur le stockage et le transport de l'énergie par chaleur latente essentiellement dans le domaine du froid. Les Matériaux à Changement de Phase solide-liquide sont utilisés afin de stocker l'énergie de manière efficace en bénéficiant de la chaleur latente de changement d'état. Après la caractérisation thermophysique des matériaux utilisés et l'étude de la maîtrise de la surfusion, un procédé utilisant l'encapsulation du MCP est analysé montrant son intérêt. Quelques études complémentaires plus fondamentales ont permis de mieux comprendre les phénomènes couplés de thermique et d'hydrodynamique rencontrés avec les MCP. Le changement d'état est aussi utilisé pour transporter l'énergie. Les fluides frigoporteurs diphasiques sont utilisés dans les systèmes à refroidissement indirect. Des études sur les parties génération, stockage et transport ont été menées sur des coulis de glace constitués d'un mélange de cristaux de glace dans une solution aqueuse. Ces fluides frigoporteurs secondaires offrent des avantages intéressants pour le transport d'énergie et l'amélioration des transferts dans des échangeurs de chaleur, en particulier grâce à la chaleur latente de fusion de la glace. Une meilleure gestion de l'utilisation de ces technologies est indispensable. Des analyses thermodynamiques basées non seulement sur les notions énergétiques mais aussi exergétiques permettent une optimisation intéressante du fonctionnement des procédés.

Le processus d’évapotranspiration (ETR) reste actuellement difficile à évaluer. L’objectif poursuivi par cette recherche est de proposer une méthode suffisamment robuste pour pouvoir être appliquée à l’échelle pluriannuelle tout en permettant un suivi à pas de temps fin au cours de la journée. En s’appuyant sur l’état de l’art, l’étude s’intéresse successivement au cas idéalisé des surfaces homogènes puis à celui des surfaces hétérogènes. Depuis quelques années, l’IRM a entrepris d’automatiser son réseau de stations synoptiques. Un sous-ensemble de stations a été choisi afin d’être doté d’un équipement plus complet comprenant un mât météorologique destiné à effectuer des mesures de la température et de la vitesse du vent à plusieurs niveaux. Ces nouvelles données sont exploitées dans la méthode préconisée. Celle-ci combine la théorie de Monin-Obukhov et l’évaluation du bilan énergétique de surface pour calculer les flux turbulents de chaleur sensible et de chaleur latente ainsi que le flux d’ETR. La télédétection offre quant à elle la possibilité d’observer de vastes territoires. Un modèle diagnostique est proposé pour estimer les flux turbulents de surface et l’ETR sur l’ensemble de la Belgique. Il s’agit d’une variante simplifiée du schéma « Isba » de transfert sol-végétation-atmosphère. Des flux radiatifs déduits d’images du satellite Meteosat sont exploités en entrée. La résolution spatiale est celle du capteur infra-rouge utilisé jusque Meteosat-7 (5*9 km). L’application est réalisée sur la période 1994-2003 avec un pas de temps horaire ce qui représente une première dans le domaine. Des comparaisons sont effectuées avec les résultats obtenus aux stations automatiques de l’IRM et avec des données récentes des stations belges du réseau Fluxnet. Les résultats sont très satisfaisants. Le travail s’achève sur des perspectives de développements futurs, la recherche en la matière étant encore en pleine évolution.

Les cyclones tropicaux, gigantesques machines thermiques redistribuent l'énergie entre les régions chaude et froide du globe. Cette énergie (chaleur latente) provient surtout des processus de condensation. La connaissance de la chaleur latente devrait améliorer la prévision de l'évolution de ses systèmes dévastateurs détectables par satellite. TRMM lancé en 1997, permet la restitution des contenus en hydrométéores grâce à des mesures couplées radar/radiomètre (PR/TMI). Cette thèse porte sur la restitution de la chaleur latente. On a donc développé un algorithme original de type bayésien utilisant des bases de données, construites à partir des mesures du PR. Cette méthode, appliquée au cyclone Bret (1999) a été validée par comparaison avec des résultats de mesures aéroportées et sol. On reproduit assez bien sur ce cas une structure énergétique propre à différents stade de son évolution. Une étude statistique pourrait ainsi permettre un diagnostic de l'évolution.

Au cours des deux dernières décennies, le contexte économique a changé de manière significative en raison de la hausse des prix de l'énergie. Le bâtiment étant devenu le principal secteur consommateur d'énergie, la réduction de celle-ci est devenue un objectif économique, sociétal et environnemental. Ce sujet mobilise de nombreux travaux de recherche. Les Matériaux à Changement de Phase (MCP) représentent une solution innovante qui pourrait contribuer à améliorer la performance énergétique des bâtiments. Ils sont principalement utilisés pour la régulation de température, et leur forte capacité de stockage est un moyen de réduire la consommation d'énergie. Notre étude vise à caractériser, via une approche expérimentale et numérique, le comportement d'un PCM (l’Octadécane). Pour cela, nous avons développé et mis en œuvre un modèle numérique qui corrobore les résultats expérimentaux, et ainsi améliore la prédiction de la performance du MCP considéré.Dans ce travail, notre principale préoccupation est de mettre en évidence les erreurs ou simplifications présentes dans le modèle numérique traditionnel pouvant entraîner un écart global par rapport au comportement réel du MCP. Ces différences conduisent à une estimation erronée des temps de fusion et de la quantité d'énergie stockée. L'amélioration significative de notre modèle est la prise en compte de la convection naturelle, de la surfusion, et l'utilisation des courbes réelles d'enthalpie du MCP considéré. La relation température-enthalpie réelle tient compte de la présence d'une fraction d'impuretés solubles dans le matériau. L’originalité de ce travail est de traiter ces phénomènes physiques via la méthode de Boltzmann réseau (connue sous l'acronyme LBM) avec des fonctions de distribution doubles couplée à une formulation enthalpique. Une telle approche permet de passer outre la non-linéarité des équations régissant l'écoulement et le transfert de chaleur. Sa simplicité de mise en œuvre et son caractère local permettent d'affiner le modèle. Ainsi, on peut couvrir les problèmes de changement de phase, y compris ceux pouvant avoir lieu dans des matrices poreuses ou fibreuses. Ce dernier point a été couvert dans cette thèse.Enfin, il s'est avéré que l'approche numérique adoptée ici pour traiter les problèmes de changement de phase corrobore à la fois nos résultats expérimentaux et ceux disponibles dans la littérature. / Over the past two decades, the economic context has changed significantly due to the rise in energy prices. The building sector has become the main consumer of energy. Thereby, reducing the latter is now an economic, societal and environmental necessity. Accordingly, this topic mobilizes many researches. Phase Change Materials (PCMs) represent an innovative solution, which could improve buildings' energy performance. They are primarily used for temperature regulation, and their high storage capacity can reduce energy consumption.Our study aims at characterizing, via a complementary approach of experimental and numerical simulation, the behavior of a PCM (n-Octadecane). For this, we have developed and implemented a numerical model that corroborates the experimental results, and hence improves the prediction of the PCM performance.In this work, our main concern is to highlight the common errors or simplifications taken in the traditional numerical model, which can result in an overall discrepancy compared to the actual behavior of PCMs. Those discrepancies lead to wrong estimation of the fusion times and amount of energy stored. The major improvement of our model is the consideration of the natural convection, the supercooling, and the use of real enthalpy curves of the considered PCM. The actual temperature-enthalpy relationship takes into account the presence of a fraction of soluble impurities in the material. The originality of this work is to handle these physical phenomena via a lattice Boltzmann method (known by the acronym LBM), which leans on double distribution functions and coupled with the enthalpy formulation. Such an approach overcomes the non-linearity in the governing equations of fluid flow and heat transfer. Its simplicity and local character allow adding complexity to the model. Thereby, one can cover up the phase change problems, including those, which may occur in heterogeneous matrices. This last point has been also covered in this thesis.Finally, it turned out that the approach implemented here for phase change problems supports both, our experimental results and those available in the literature.

Les alliages à mémoire de forme (AMF) sont des matériaux qui possèdent des propriétés mécaniques étonnantes : super élasticité, mémoire de forme proprement dite, grande capacité d'amortissement. Ces différentes propriétés thermomécaniques existent en fait généralement pour un même AMF, mais pour des températures d'utilisation différentes. La composition chimique d'un AMF est un paramètre clé de son comportement macroscopique. L'objectif de ce mémoire est l'étude des mécanismes microstructuraux qui sont à l'origine des propriétés thermomécaniques des AMF. Celles-ci prennent leur source dans un phénomène physique de changement de phase solide-solide nommé " transformation martensitique ". La phase mère (austénite) possède une structure cristalline cubique centrée pour tous les AMF connus. La transformation martensitique a pour effet de rompre cette symétrie. Elle donne naissance à de nouvelles structures cristallines qui sont fonctions principalement de la composition chimique de l'AMF. Le présent travail traite de la compréhension de l'organisation spatiale des phases austénite et (variantes de) martensite existant dans les AMF : les microstructures martensitiques. Dans une première partie de la thèse, une évolution de la notion de compatibilité cristallographique d'une microstructure est proposée. Une microstructure peut être non-compatible à contrainte nulle et pour autant exister dans le matériau sans créer " trop " d'irréversibilités mécaniques. Ceci permet de conserver la réversibilité de la transformation de phase et au final d'assurer la mémoire de forme. Le qualifcatif de microstructure " presque-compatible " est proposé. La seconde partie de la thèse se propose d'observer expérimentalement des microstructures martensitiques obtenues sous chargement mécanique dans un monocristal d'AMF en Cu-Al-Be. Deux techniques de mesure de champs sont couplées dans ce but : la thermographie infrarouge, qui délivre des champs de températures, et la méthode de la grille qui permet d'accéder aux champs de déformations. Des microstructures martensitiques sont révélées et analysées.

La circulation atmosphérique en Afrique de l'Ouest est caractérisée par des vents de sud-ouest (mousson) pendant la saison humide et par des vents de nord-est (harmattan) pendant la saison sèche. Cette alternance des saisons est due aux variations de pression liée à l'état des surfaces (rugosité, albédo, végétation) en réaction au forçage solaire. Ces mêmes états de surface génèrent une variabilité de flux turbulents de surface et des circulations secondaires qui rendent complexes les analyses des mesures effectuées sur place en vue de documenter les interactions surface-atmosphère. La modélisation fine échelle (LES) couramment utilisée dans l'étude de la couche limite atmosphérique est requise pour pouvoir palier à ces difficultés en raison de sa capacité à prendre en compte les flux turbulents en 3D et sur topographie complexe. Notre site d'étude est le bassin versant d'ARA située au Nord du Bénin dans un contexte Soudanien avec des propriétés de surface variables. Une analyse climatique est effectuée sur la base des observations de radiosondage, de radar UHF et de stations au sol afin d'extraire des données composites représentatives des saisons sèche et humide. Ces données composites ont servi par la suite à forcer le modèle Méso-NH dans sa version LES. Pour pouvoir caractériser les échelles de longueur des flux turbulents de surface relatives aux saisons sèche et humide, les données standard de forçage de surface de Méso-NH que sont le relief GTOPO30 (1km de résolution) et la végétation ECOCLIMAP (1km de résolution) ont été respectivement remplacer par le SRTM (90m de résolution) et les données de SPOT/HRV (20m de résolution) reéchantillonné à 90m de résolution. A l'aide d'outils statistiques comme la variographie 2D et le suivi Lagrangien, il ressort que la variabilité spatiale de la chaleur sensible H est gouvernée par le couple vent-relief tandis que celle de la chaleur latente E est difficile à mettre en lien sur végétation hétérogène (SPOT/HRV) en saison sèche. En saison humide, la variabilité spatiale du champ H dépend du vent tandis que celle du champ E dépend de la végétation. Cette étude révèle dans tous les cas que les échelles caractéristiques de ces deux champs diffèrent dans les mêmes conditions de forçage de surface et atmosphérique.

La circulation atmosphérique en Afrique de l'Ouest est caractérisée par des vents de sud-ouest (mousson) pendant la saison humide et par des vents de nord-est (harmattan) pendant la saison sèche. Cette alternance des saisons est due aux variations de pression liée à l'état des surfaces (rugosité, albédo, végétation) en réaction au forçage solaire. Ces mêmes états de surface génèrent une variabilité de flux turbulents de surface et des circulations secondaires qui rendent complexes les analyses des mesures effectuées sur place en vue de documenter les interactions surface-atmosphère. La modélisation fine échelle (LES) couramment utilisée dans l'étude de la couche limite atmosphérique est requise pour pouvoir palier à ces difficultés en raison de sa capacité à prendre en compte les flux turbulents en 3D et sur topographie complexe. Notre site d'étude est le bassin versant d'ARA située au Nord du Bénin dans un contexte Soudanien avec des propriétés de surface variables. Une analyse climatique est effectuée sur la base des observations de radiosondage, de radar UHF et de stations au sol afin d'extraire des données composites représentatives des saisons sèche et humide. Ces données composites ont servi par la suite à forcer le modèle Méso-NH dans sa version LES. Pour pouvoir caractériser les échelles de longueur des flux turbulents de surface relatives aux saisons sèche et humide, les données standard de forçage de surface de Méso-NH que sont le relief GTOPO30 (1km de résolution) et la végétation ECOCLIMAP (1km de résolution) ont été respectivement remplacer par le SRTM (90m de résolution) et les données de SPOT/HRV (20m de résolution) reéchantillonné à 90m de résolution. A l'aide d'outils statistiques comme la variographie 2D et le suivi Lagrangien, il ressort que la variabilité spatiale de la chaleur sensible H est gouvernée par le couple vent-relief tandis que celle de la chaleur latente E est difficile à mettre en lien sur végétation hétérogène (SPOT/HRV) en saison sèche. En saison humide, la variabilité spatiale du champ H dépend du vent tandis que celle du champ E dépend de la végétation. Cette étude révèle dans tous les cas que les échelles caractéristiques de ces deux champs diffèrent dans les mêmes conditions de forçage de surface et atmosphérique. / West Africa atmosphere circulation is characterized by south-westerly wind (monsoon regime) during the wet season and north-easterly wind (harmattan regime) during the dry season. This alternation of wind regime is due to surface pressure variability linked to surface heterogeneities. Surface heterogeneities generate surface flux variability, secondary circulation and make complex analysis when trying to document surface-atmosphere feedbacks. LES modelling usually used for boundary-layer studies due to its potential to take into account 3D turbulence over complex topography, is used here to overcome these difficulties. Our site of interest is located in north of Benin characterized by Soudanian climate and heterogeneous surface properties. Climate analysis are first performed with radiosoundings, UHF radar, and EC station data in order to extract composite profile representing dry and wet season.. These composite profiles are then used to force atmosphere part of the Méso-NH LES model. To characterize turbulent fluxes length scales relative to dry and wet season, standard surface forcing data with Méso-NH like GTOPO30 orography (1km ) and ECOCLIMAP vegetation (1km) are respectively replaced by SRTM (90m) and SPOT/HRV vegetation data (20m) resampled to 90m. Along with statistical tools like 2D variography and Lagrangian, we notice that during dry season on heterogeneous vegetation, sensible heat flux H is more driven by wind and orography while we not able to discuss the latent heat flux E case. During wet season with the same surface forcing, it appears that H is driven by wind while E is more dependent to vegetation variability. Our study concludes in all case that H and E are not characterized by the same length scale.

Ce travail concerne une étude numérique des performances thermiques d’un séchoir- serre équipé d’une unité de stockage de chaleur solaire dans des matériaux à changement de phase (MCPs). L'unité de stockage de chaleur solaire, placée sous le sol de la serre, est composée d’une couche de MCPs (paraffine) disposée entre une plaque en acier et une couche de béton. L'écoulement de l'air asséchant se déroule par convection forcée et le produit disposé sur les claies du séchoir est la banane (Bananas Musa ABB CV. Kluai "Namwa"). Les équations de transfert de chaleur dans la serre, basées sur la méthode nodale, sont déduites d'un bilan thermique établi pour les différents composants du séchoir-serre. Les transferts de chaleur dans les couches de MCPs et de béton sont décrits respectivement par le modèle enthalpique et l'équation de la conduction. Le modèle de cinétique de séchage de la banane est celui d’Oswin modifié. Les équations de transferts sont résolues par une méthode implicite aux différences finies et les algorithmes de Gauss et de Thomas. Nous analysons l'influence du débit d'air asséchant et de l’irradiation solaire sur les distributions spatio-temporelles des températures des composants de la serre et de l'unité de stockage, la durée de séchage, les efficacités thermiques du séchoir-serre et de l'unité de stockage d'énergie. Cette modélisation est complétée par des simulations du fonctionnement du séchoir serre-unité de stockage de chaleur en utilisant la notion de journée type et les données météorologiques de Nakorn Pathom (Thaïlande) et par une analyse de faisabilité technico-économique. Les résultats montrent notamment que l’unité de stockage de chaleur contribue à la réduction de la durée de séchage et augmente les performances thermiques du séchoir et l’unité de stockage. / This work is about a numerical study of the thermal behavior of a solar greenhouse dryer and a heat storage unit in phase change materials (PCMs). The heat storage unit containing of PCMs (paraffin) is disposed between a metal plate and a concrete layer and placed under the floor of the greenhouse. The air drying flows along the greenhouse by forced convection and the products placed on the dryer's rack is bananas (Bananas Musa ABB CV Kluai "Namwa"). The heat transfer equations in the greenhouse are based on the nodal method and deduced from a thermal balance on the different components of the solar greenhouse dryer. The heat transfers in the PCMs and the concrete slab are described by the enthalpy method and the conduction equation, respectively. The banana drying kinetic is described by the model modified of Oswin. Transfer equations are solved using an implicit finite difference method associated to Gauss and Thomas algorithms. We analyze the effects of the air drying volumetric flow rate and the solar irradiance on the temperature distribution of the greenhouse dryer and the heat storage unit, the drying time, the solar greenhouse dryer and heat storage unit efficiencies. This modeling is complemented by simulations of the solar greenhouse dryer with the heat storage unit using the day type and the meteorological data of Nakorn Pathom (Thailand) and by an economic analysis. The results show that the heat storage unit provides the reduction of the drying time and increases the thermal performances of the solar greenhouse dryer and the heat storage unit.

A présent, les bâtiments résidentiels et commerciaux sont en phase de devenir le secteur le plus consommateur d’énergie dans de nombreux pays, comme par exemple en France. Diverses recherches ont été menées de manière à réduire la consommation énergétiques des bâtiments et augmenter leur confort thermique. Parmi tous les différentes approches, la technologie du stockage de chaleur latent se distingue par une très bonne capacité à stocker la chaleur afin de réduire les écarts entre la disponibilité et la demande d’énergie. Dans le cadre de l’un de nos projets, nous avons l’intention d’intégrer au design des murs des bâtiments un type de brique transparente remplie de matériaux à changement de phase (MCP). Les MCP à l’intérieur de la brique sont soumis à des changements de phase liquide-solide. Cette thèse s’attaque à la problématique du processus de fusion au sein de la brique. Au cours de cette thèse, une méthode expérimentale non-intrusive a été développée afin d’améliorer les techniques expérimentales existantes. La vélocimétrie des images des particules (VIP) et la fluorescence induite par laser (FIL) ont été couplées pour étudier la convection naturelle et la distribution de la température. Puisqu’aucun thermocouple n’a été inséré au sein de la brique, le processus de la fusion a été considéré sans perturbation. Les résultats montrent que cette conception expérimentale a un avenir prometteur, même si elle reste à améliorer. Par la suite, nous présentons deux simulations numériques. Ces simulations se fondent sur la méthode de Boltzmann sur réseau à temps de relaxation multiple (LBM MRT), employée pour résoudre le champ de vitesse, et sur la méthode de différences finies, pour obtenir la distribution de la température. La méthode d’enthalpie a quant à elle été utilisée pour simuler le changement de phase. Les simulations en deux dimensions et trois dimensions ont toutes deux été réalisées avec succès. Point important, ces simulations numériques ont été développées en langage C pour tourner spécifiquement sur un processeur graphique (GPU), afin d’augmenter l’efficacité de la simulation en profitant de la capacité de calcul d’un GPU. Les résultats des simulations concordent bien avec les résultats de nos expériences et avec les résultats analytiques publiés. / The domestic and commercial buildings are currently becoming the major sector that consumes the biggest share of the energy in many countries, for example in France. Various researches have been carried out in order to reduce the energy consumption and increase the thermal comfort of builds. Among all the possible approaches, the latent heat storage technology distinguishes itself because of its excellent heat storage ability which can be used to efficiently reduce the discrepancy between the energy consumption and supply. In one of our project, we intend to integrate a type of transparent brick filled with phase change material (PCM) into the buildings' wall design. The PCM inside the brick undergoes the solid-liquid phase change. This dissertation addresses the important issues of the melting process inside the brick. In this dissertation, a non-intrusive experimental method was proposed to improve the existing experiment technique. The particle image velocimetry (PIV) and the laser-induced fluorescence (LIF) were coupled to investigate the natural convection and the temperature distribution. Because there was no thermocouple installed inside the brick, the melting process was thus considered to be less impacted. The results showed that this experimental design has a promising future, yet still needs to be improved. Two sets of efficient numerical simulations were also presented in this dissertation. The simulations were based on the thermal lattice Boltzmann method (TLBM), where the natural convection got solved by the LBM and the temperature equation was solved by the finite difference scheme. The enthalpy method was employed to simulate the phase change. Both the 2-dimensional and 3-dimensional configurations were successfully simulated. Moreover, the simulation programs were specifically developed - using the C language - to be run on the graphic processing unit (GPU), in order to increase the simulation efficiency. The simulation results demonstrated a good agreement with our experimental results and the published analytical results.