Gowers, dans son article sur les matrices quasi-aléatoires, étudie la question, posée par Babai et Sos, de l'existence d'une constante $c>0$ telle que tout groupe fini possède un sous-ensemble sans produit de taille supérieure ou égale a $c|G|$. En prouvant que, pour tout nombre premier $p$ assez grand, le groupe $PSL_2(\mathbb{F}_p)$ (d'ordre noté $n$) ne posséde aucun sous-ensemble sans produit de taille $c n^{8/9}$, il y répond par la négative. Nous allons considérer le probléme dans le cas des groupes compacts finis, et plus particuliérement des groupes profinis $SL_k(\mathbb{Z}_p)$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}_p)$. La premiére partie de cette thése est dédiée à l'obtention de bornes inférieures et supérieures exponentielles pour la mesure suprémale des ensembles sans produit. La preuve nécessite d'établir préalablement une borne inférieure sur la dimension des représentations non-triviales des groupes finis $SL_k(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$. Notre théoréme prolonge le travail de Landazuri et Seitz, qui considérent le degré minimal des représentations pour les groupes de Chevalley sur les corps finis, tout en offrant une preuve plus simple que la leur. La seconde partie de la thése à trait à la théorie algébrique des nombres. Un polynome monogéne $f$ est un polynome unitaire irréductible à coefficients entiers qui endengre un corps de nombres monogéne. Pour un nombre premier $q$ donné, nous allons montrer, en utilisant le théoréme de densité de Tchebotariov, que la densité des nombres premiers $p$ tels que $t^q -p$ soit monogéne est supérieure ou égale à $(q-1)/q$. Nous allons également démontrer que, quand $q=3$, la densité des nombres premiers $p$ tels que $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ soit non monogéne est supérieure ou égale à $1/9$. / Gowers in his paper on quasirandom groups studies a question of Babai and Sos asking whether there exists a constant $c > 0$ such that every finite group $G$ has a product-free subset of size at least $c|G|$. Answering the question negatively, he proves that for sufficiently large prime $p$, the group $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_p)$ has no product-free subset of size $\geq cn^{8/9}$, where $n$ is the order of $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_p)$. We will consider the problem for compact groups and in particular for the profinite groups $\SL_k(\mathh{Z}_p)$ and $\Sp_{2k}(\mathbb{Z}_p)$. In Part I of this thesis, we obtain lower and upper exponential bounds for the supremal measure of the product-free sets. The proof involves establishing a lower bound for the dimension of non-trivial representations of the finite groups $\SL_k(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$ and $\Sp_{2k}(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$. Indeed, our theorem extends and simplifies previous work of Landazuri and Seitz, where they consider the minimal degree of representations for Chevalley groups over a finite field. In Part II of this thesis, we move to algebraic number theory. A monogenic polynomial $f$ is a monic irreducible polynomial with integer coefficients which produces a monogenic number field. For a given prime $q$, using the Chebotarev density theorem, we will show the density of primes $p$, such that $t^q-p$ is monogenic, is greater than or equal to $(q-1)/q$. We will also prove that, when $q=3$, the density of primes $p$, which $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ is non-monogenic, is at least $1/9$.

Gowers, dans son article sur les matrices quasi-aléatoires, étudie la question, posée par Babai et Sos, de l'existence d'une constante $c>0$ telle que tout groupe fini possède un sous-ensemble sans produit de taille supérieure ou égale a $c|G|$. En prouvant que, pour tout nombre premier $p$ assez grand, le groupe $PSL_2(\mathbb{F}_p)$ (d'ordre noté $n$) ne posséde aucun sous-ensemble sans produit de taille $c n^{8/9}$, il y répond par la négative. Nous allons considérer le probléme dans le cas des groupes compacts finis, et plus particuliérement des groupes profinis $SL_k(\mathbb{Z}_p)$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}_p)$. La premiére partie de cette thése est dédiée à l'obtention de bornes inférieures et supérieures exponentielles pour la mesure suprémale des ensembles sans produit. La preuve nécessite d'établir préalablement une borne inférieure sur la dimension des représentations non-triviales des groupes finis $SL_k(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$ et $Sp_{2k}(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$. Notre théoréme prolonge le travail de Landazuri et Seitz, qui considérent le degré minimal des représentations pour les groupes de Chevalley sur les corps finis, tout en offrant une preuve plus simple que la leur. La seconde partie de la thése à trait à la théorie algébrique des nombres. Un polynome monogéne $f$ est un polynome unitaire irréductible à coefficients entiers qui endengre un corps de nombres monogéne. Pour un nombre premier $q$ donné, nous allons montrer, en utilisant le théoréme de densité de Tchebotariov, que la densité des nombres premiers $p$ tels que $t^q -p$ soit monogéne est supérieure ou égale à $(q-1)/q$. Nous allons également démontrer que, quand $q=3$, la densité des nombres premiers $p$ tels que $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ soit non monogéne est supérieure ou égale à $1/9$. / Gowers in his paper on quasirandom groups studies a question of Babai and Sos asking whether there exists a constant $c > 0$ such that every finite group $G$ has a product-free subset of size at least $c|G|$. Answering the question negatively, he proves that for sufficiently large prime $p$, the group $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_p)$ has no product-free subset of size $\geq cn^{8/9}$, where $n$ is the order of $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_p)$. We will consider the problem for compact groups and in particular for the profinite groups $\SL_k(\mathh{Z}_p)$ and $\Sp_{2k}(\mathbb{Z}_p)$. In Part I of this thesis, we obtain lower and upper exponential bounds for the supremal measure of the product-free sets. The proof involves establishing a lower bound for the dimension of non-trivial representations of the finite groups $\SL_k(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$ and $\Sp_{2k}(\mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}))$. Indeed, our theorem extends and simplifies previous work of Landazuri and Seitz, where they consider the minimal degree of representations for Chevalley groups over a finite field. In Part II of this thesis, we move to algebraic number theory. A monogenic polynomial $f$ is a monic irreducible polynomial with integer coefficients which produces a monogenic number field. For a given prime $q$, using the Chebotarev density theorem, we will show the density of primes $p$, such that $t^q-p$ is monogenic, is greater than or equal to $(q-1)/q$. We will also prove that, when $q=3$, the density of primes $p$, which $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$ is non-monogenic, is at least $1/9$.

Dans la première partie de cette thèse, on s'intéresse à la suite NX(p) [mod p] où X est un schéma séparé réduit de type fini sur Z,et pour tout p premier, NX(p) est le nombre de Fp-points de la réduction modulo p de X.Sous certaines hypothèses sur la géométrie de X, on donne une condition simple pour garantir que cette suite diffèreen une densité positive de coordonnées de la suite identiquement nulle,ou plus généralement de suites dont les coordonnées sont obtenues par réduction modulo p d'un nombre fini d'entiers.Dans le cas où X parcourt une famille de courbes hyperelliptiques, on donne une borne en moyenne sur le plus petit premier p pour lequel NX (p) [mod p] n'est pas dans un certain ensemble de valeurs fixées.La seconde partie est dédiée à des généralisations de la notion de biais de Chebyshev.On se donne une fonction L vérifiant certaines propriétés analytiquesgénéralisant celles vérifiées par les fonctions L de Dirichlet.On s'intéresse à la suite des coefficients de Fourier a_p pour p premier.Plus précisément on étudie le signe de la fonction sommatoire des coefficients de Fourier de la fonction L.On montre sous des conditions classiques que cette fonction admet une distribution logarithmique limite.Sous des hypothèses supplémentaires on obtient de bonnes propriétés telles que la régularité, la symétrie et des informations sur le support de cette distribution. / In the first part of this Thesis, we study the sequence NX (p) [mod p] where X is a reduced separated scheme of finite type over Z,and NX (p) is the number of Fp-points of the reduction modulo p of X, for every prime p. Under some hypotheses on the geometry of X, we give a simple condition to ensure that this sequence is distinctat a positive proportion of indices from the zero sequence,or generalizations obtained by reduction modulo p of finitely many integers.We give a bound on average over a family of hyperelliptic curves for the least prime p such that NX (p) [mod p] avoids the reductionmodulo p of finitely many fixed integers.The second part deals with generalizations of Chebyshev’s bias.We consider an L-function satisfying some analytic properties that generalize those satisfied by Dirichlet L-functions.We study the sequence of coefficients a_p as p runs through the set of prime numbers.Precisely, we study the sign of the summatory function of the Fourier coefficients of the L-function.Under some classical conditions, we show that this function admits a limiting logarithmic distribution.Under stronger hypotheses, we prove regularity, symmetry and get information about the support of this distribution.

Cette thèse étudie le problème de minoration de la hauteur canonique sur les courbeselliptiques. Son résultat diophantien principal utilise des méthodes d’intersectionarithmétique pour retrouver un résultat de Laurent, qui démontrait la conjecturede Lehmer pour les courbes elliptiques à multiplications complexes à un exposant" près, tout en explicitant complètement sa dépendance en divers paramètres liésà la courbe elliptique ; une telle démarche peut être motivée par la conjecture deLang, qui présage une minoration possible de la hauteur canonique proportionnelle,essentiellement, à la hauteur de Faltings de la courbe.Notre dissertation commence toutefois par une partie dédiée à l’explicitation duthéorème de densité de Chebotarev, qui reprend les grandes lignes d’un travail deLagarias et Odlyzko, et s’avère être cruciale dans notre approche du problème deLehmer elliptique. On obtient également des majorations des zéros de Siegel et de lanorme du plus petit idéal premier entrant en jeu dans le théorème de Chebotarev. / In this thesis we consider the problem of lower bounds for the canonical height onelliptic curves, aiming for the conjecture of Lehmer. Our main diophantine result isan explicit version of a theorem of Laurent (who proved this conjecture for ellipticcurves with CM up to a " exponent) using arithmetic intersection, enlightening thedependence with parameters linked to the elliptic curve ; such a result can be motivatedby the conjecture of Lang, hoping for a lower bound proportional to, roughly,the Faltings height of the curve.Nevertheless, our dissertation begins with a part dedicated to a completely explicitversion of the density theorem of Chebotarev, along the lines of a previous workdue to Lagarias and Odlyzko, which will be crucial to investigate the elliptic Lehmerproblem. We also obtain upper bounds for Siegel zeros, and for the smallest primeideal whose Frobenius is in a fixed conjugacy class.