Submitted by Lucelia Lucena (lucelia.lucena@ufpe.br) on 2015-03-09T19:08:53Z No. of bitstreams: 2 DISSERTAÇÃO Laécio Araújo Costa.pdf: 3437666 bytes, checksum: 478f05a3dafea12ef059cfeefd8a8c32 (MD5) license_rdf: 1232 bytes, checksum: 66e71c371cc565284e70f40736c94386 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-03-09T19:08:53Z (GMT). No. of bitstreams: 2 DISSERTAÇÃO Laécio Araújo Costa.pdf: 3437666 bytes, checksum: 478f05a3dafea12ef059cfeefd8a8c32 (MD5) license_rdf: 1232 bytes, checksum: 66e71c371cc565284e70f40736c94386 (MD5) Previous issue date: 2014-06-06 / FACEPE / Nesta era digital, organizações produzem um grande volume de dados, e armazenar estes dados de forma que se garanta a sua segurança, privacidade, confidencialidade e integridade é uma necessidade ainda maior quando se está conectado à rede mundial de computadores. Além do serviço de armazenamento, as organizações e usuários necessitam recuperar informações úteis a partir de diversas bases de dados (processo de mineração de dados) ou efetuar buscas de dados armazenados na nuvem. Desta forma, os usuários recorrem às técnicas criptográficas para tornar difícil o acesso por pessoas não autorizadas às informações em texto claro e garantir a segurança dos dados armazenados e processados. No processo natural de mineração de dados, os algoritmos mineradores necessitam ter acesso aos dados em seu estado original a fim de extrair as informações úteis a partir das várias bases de dados distribuídas, processo este que não preserva as propriedades como a segurança, a privacidade e o sigilo dos dados sensíveis. Com o objetivo de preservar tais propriedades é necessário executar operações com os dados em seu estado codificado protegendo as informações em todo o processo minerador. Assim, técnicas de Encriptação Completamente Homomórfica (ECH) poderão ser utilizadas na mineração de dados com esta perspectiva: preservar a segurança, a privacidade e o sigilo das informações. A privacidade homomórfica foi concebida por Rivest, Adleman e Dertouzous em 1978, a qual ficou obscura por mais de 30 anos. Somente em meados de 2009, foi que Craig Gentry conseguiu comprovar que é possível computar arbitrariamente dados codificados com a encriptação homomórfica baseado em reticulados ideais. Desta forma, o esquema proposto por Gentry foi concebido como o propulsor da ECH permitindo a computação arbitraria com o texto codificado e obter um resultado codificado que corresponde à sequência de operações realizadas no texto original. A aplicação da encriptação completamente homomórfica na mineração de dados poderá resolver problemas como a preservação do sigilo, da privacidade e da segurança dos dados durante todo o processo minerador. Assim, este trabalho objetiva identificar e selecionar os estudos relevantes que propõem algum tipo de mecanismo aplicado no processo minerador e que seja baseado na Encriptação Completamente Homomórfica. Essa seleção visa verificar se a ECH é prática, eficiente e computacionalmente viável quando aplicada na mineração de dados com o objetivo de preservar a privacidade, o sigilo e a segurança das informações. Após a análise dos estudos, conclui-se que há esforços em desenvolver protocolos para o processo minerador com base na ECH, mas que os atuais esquemas de ECH ainda não são práticos para que possam ser aplicados no processo de mineração com eficiência. No entanto, criptógrafos estão dedicando esforços visando melhorar as propostas atuais da ECH, tornando-os computacionalmente viáveis.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Esta tesis esta dividida en seis partes. La primera parte está dedicada a probar propiedades de Hadamard y teoremas del tipo de Liouville para soluciones viscosas de ecuaciones diferenciales parciales elípticas completamente no lineales con término gradiente \begin{equation}\label{eq06-10-13 1} \mathcal{M}^{-}(|x|,D^2u)+\sigma(|x|)|Du|+f(x,u)\leq 0,\quad \ x\in\Omega, \end{equation} donde $\Omega=\mathbb{R}^N$ o un dominio exterior, las funciones $\sigma:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ y $f:\Omega\times (0,\infty)\to (0,\infty)$ son continuas las cuales satisfacen algunas condiciones extras. En la segunda parte se estudia la existencia de soluciones que explotan en la frontera para ecuaciones elípticas fraccionarias semilineales \begin{equation}\label{eq06-10-13 2} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}u(x)=h(x),\quad & x\in\Omega,\\[2mm] \phantom{ (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}} u(x)=0,\quad & x\in\bar\Omega^c,\\[2mm] \phantom{ (-\Delta)^{\alpha} \ } \lim_{x\in\Omega, x\to\partial\Omega}u(x)=+\infty, \end{array} \end{equation} donde $p>1$, $\Omega$ es un dominio abierto acotado $C^2$ de $\mathbb{R}^N(N\geq2)$, el operador $(-\Delta)^{\alpha}$ con $\alpha\in(0,1)$ es el Laplaciano fraccionario y $h:\Omega\to\R$ es una función continua la cual satisface algunas condiciones extras. Por otra parte, analizamos la unicidad y el comportamiento asimptótico de soluciones al problema (\ref{eq06-10-13 2}). El objetivo principal de la tercera parte es investigar soluciones positivas para ecuaciones elípticas fraccionarias \begin{equation}\label{eq06-10-13 3} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}u(x)=0,\quad & x\in\Omega\setminus\mathcal{C},\\[2mm] \phantom{ (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}} u(x)=0,\quad & x\in\Omega^c,\\[2mm] \phantom{ (-\Delta) \ } \lim_{x\in\Omega\setminus\mathcal{C}, \ x\to\mathcal{C}}u(x)=+\infty, \end{array} \end{equation} donde $p>1$ y $\Omega$ es un dominio abierto acotado $C^2$ de $\mathbb{R}^N(N\geq2)$, $\mathcal{C}\subset \Omega$ es el frontera de dominio $G$ que es $C^2$ y satisface $\bar G\subset\Omega$. Consideramos la existencia de soluciones positivas para el problema (\ref{eq06-10-13 3}). Mas aún, analizamos la unicidad, el comportamiento asimptótico y la no existencia al problema (\ref{eq06-10-13 3}). En la cuarta parte, estudiamos la existencia de soluciones débiles de (F) $ (-\Delta)^\alpha u+g(u)=\nu $ en un dominio $\Omega$ abierto acotado $C^2$ de $\R^N (N\ge2)$ el cual se desvanece en $\Omega^c$, donde $\alpha\in(0,1)$, $\nu$ es una medida de Radon y $g$ es una función no decreciente satisfaciendo algunas hipótesis extras. Cuando $g$ satisface una condición de integrabilidad subcrítica, probamos la existencia y unicidad de una solución débil para el problema (F) para cualquier medida. En el caso donde $\nu$ es una masa de Dirac, caracterizamos el comportamiento asimptótico de soluciones a (F). Asimismo, cuando $g(r)=|r|^{k-1}r$ con $k$ supercrítico, mostramos que una condición de absoluta continuidad de la medida con respecto a alguna capacidad de Bessel es una condición necesaria y suficiente para que (F) sea resuelta. El propósito de la quinta parte es investigar soluciones singulares débiles y fuertes de ecuaciones elípticas fraccionarias semilineales. Sean $p\in(0,\frac{N}{N-2\alpha})$, $\alpha\in(0,1)$, $k>0$ y $\Omega\subset \R^N(N\geq2)$ un dominio abierto acotado $C^2$ conteniendo a $0$ y $\delta_0$ la masa de Dirac en $0$, estudiamos que la solución débil de $(E)_k$ $ (-\Delta)^\alpha u+u^p=k\delta_0 $ en $\Omega$ la cual se desvanece en $\Omega^c$ es una solución débil singular de $(E^*)$ $ (-\Delta)^\alpha u+u^p=0 $ en $\Omega\setminus\{0\}$ con el mismo dato externo. Por otra parte, estudiamos el límite de soluciones débiles de $(E)_k$ cuando $k\to\infty$. Para $p\in(0, 1+\frac{2\alpha}{N}]$, el límite es infinito en $\Omega$. Para $p\in(1+\frac{2\alpha}N,\frac{N}{N-2\alpha})$, el límite es una solución fuertemente singular de $(E^*)$. Finalmente, en la sexta parte estudiamos la ecuación elíptica fraccionaria semilineal (E1) $(-\Delta)^\alpha u+\epsilon g(|\nabla u|)=\nu $ en un dominio $\Omega$ abierto acotado $C^2$ de $\R^N (N\ge2)$, el cual se desvanece en $\Omega^c$, donde $\epsilon=\pm1$, $\alpha\in(1/2,1)$, $\nu$ es una medida de Radon y $g:\R_+\mapsto\R_+$ es una funci\'on continua. Probamos la existencia de soluciones débiles para el problema (E1) cuando $g$ es subcrítico. Además, el comportamiento asimptótico y la unicidad de soluciones son descritas cuando $\epsilon=1$, $\nu$ es una masa de Dirac y $g(s)=s^p$ con $p\in(0,\frac)$.

Cette thèse est divisée en six parties. La première partie est consacrée à l'étude de propriétés de Hadamard et à l'obtention de théorèmes de Liouville pour des solutions de viscosité d'équations aux dérivées partielles elliptiques complètement non-linéaires avec des termes de gradient, ... / This thesis is divided into six parts. The first part is devoted to prove Hadamard properties and Liouville type theorems for viscosity solutions of fully nonlinear elliptic partial differential equations with gradient term ...