Newton's method associated to a complex holomorphic function f is defined by the dynamical system Nf(z) = z – f(z) / f'(z). As a root-finding algorithm, a natural question is to understand the dynamics of Nf about its fixed points, as they correspond to the roots of the function f. In other words, we would like to understand the basins of attraction of Nf, i.e., the sets of points that converge to a root of f under the iteration of Nf. Basins of attraction are actually just one type of stable component or component of the Fatou set, defined as the set of points for which the family of iterates is defined and normal locally. The Julia set or set of chaos is its complement (taken on the Riemann sphere). The study of the topology of these two sets is key in Holomorphic Dynamics. In 1990, Mitsuhiro Shishikura proved that, for any non-constant polynomial P, the Julia set of NP is connected. In fact, he obtained this result as a consequence of a much more general theorem for rational functions: If the Julia set of a rational function R is disconnected, then R has at least two weakly repelling fixed points. With the final goal of proving the transcendental version of this theorem, in this Thesis we see that: If a transcendental meromorphic function f has either a multiply-connected attractive basin, or a multiply-connected parabolic basin, or a multiply-connected Fatou component with simply-connected image, then f has at least one weakly repelling fixed point. Our proof for this result is mainly based in two techniques: quasiconformal surgery and the study of the existence of virtually repelling fixed points. We conclude the Thesis with an idea of the strategy for the proof of the case of Herman rings, as well as some ideas for the case of Baker domains, which is left as a subject for a future project.

Durant el segle XX s'ha anat configurant el concepte d'aliança terapèutica en psicoteràpia com una relació interpersonal existent i necessària entre el client i el terapeuta. Avui dia totes les orientacions teòriques atorguen a l'aliança terapèutica un paper central en la relació terapèutica. A més, des de l’àmbit de la recerca empírica, la relació entre l'aliança terapèutica i l’eficàcia del tractament en psicoteràpia ha estat constatada en nombrosos estudis. Tot i que l'origen d'aquest concepte es troba en la corrent psicoanalítica, la rellevància de l'aliança terapèutica és molt diferent segons l'opinió de diversos autors d'aquesta orientació. Per a alguns autors l'aliança terapèutica no és rellevant i pot arribar a ser interferidora del tractament, ja que la transferència és la peça clau. En canvi, per a altres autors psicoanalítics l'aliança terapèutica té un paper important en qualsevol tipus de teràpia. Dediquem un ampli apartat del treball a fer una revisió sobre la conceptualització de l'aliança dels autors psicoanalítics més destacats en l’àmbit. Nosaltres considerem que l'aliança terapèutica ha de ser presa en consideració en qualsevol tractament d'orientació psicoanalítica, ja que si no és degudament treballada pot dificultar el treball analític i, per tant, s'han de destinar a la seva formació i manteniment tant tècniques interpretatives com no interpretatives quan es requereixin. L'aliança terapèutica és, des del nostre punt de vista, un element de la relació terapèutica diferent a la transferència (i la seva respectiva contratransferència) i la relació real, que descrivim exhaustivament en el treball. En psicoteràpia psicoanalítica de parella, a causa de la gran diversitat de mecanismes que operen en aquest tipus de teràpia conjunta, la formació i el desenvolupament de l'aliança adquireixen major dificultat. Dediquem una part important del treball a enumerar i descriure aquests factors que influeixen en l'aliança a psicoteràpia de parella, així com les dimensions de l'aliança terapèutica en aquest tipus de tractament seguint el model del Sistema d'Observació de l’Aliança Terapèutica en Intervenció Familiar (SOATIF). Analitzem l'aliança terapèutica que estableix el psicoterapeuta de la sèrie nord-americana In treatment amb la parella que assisteix a la seva consulta durant nou sessions mitjançant la versió observacional del SOATIF (SOATIF-o), així com els altres elements de la relació terapèutica amb els que l'aliança interacciona. Considerem que el material és útil coma eina d'entrenament per fer ús de l'instrument i com a material docent, ja que apareixen reflectits els aspectes més importants de la relació terapèutica entre l'analista i la parella. / Durante el siglo XX se ha ido configurando el concepto de alianza terapéutica en psicoterapia como una relación interpersonal existente y necesaria entre el cliente y el terapeuta. Hoy en día todas las orientaciones teóricas otorgan a la alianza terapéutica un papel central en la relación terapéutica. Además, desde el ámbito de la investigación empírica, la relación entre la a lianza terapéutica y la eficacia del tratamiento en psicoterapia ha sido constatada en numerosos estudios. Pese a que el origen de este concepto se encuentra en la corriente psicoanalítica, la relevancia de la alianza terapéutica es muy diferente según la opinión de diversos autores de esta orientación. Para algunos autores la alianza terapéutica no es relevante y puede llegar a ser interferidora del tratamiento, ya que la transferencia es la pieza clave. En cambio, para otros autores psicoanalíticos la alianza terapéutica tiene un papel importante en cualquier tipo de terapia. Dedicamos un amplio apartado del trabajo a hacer una revisión obre la conceptualización de la a lianza de los autores psicoanalíticos más destacados en el ámbito. Nosotros consideramos que la alianza terapéutica debe ser tomada en consideración en cualquier trata miento de orientación psicoanalítica, ya que si no es debidamente trabajada puede dificultar el trabajo analítico y, por tanto, deben destinarse a su formación y mantenimiento tanto técnicas interpretativas como no interpretativas cuando se requieran. La alianza terapéutica es, desde nuestro punto de vista, un elemento de la relación terapéutica diferente a la transferencia (y su respectiva contratransferencia) y a la relación rea l, que describimos exhaustivamente en el trabajo. En psicoterapia psicoanalítica de pareja, a causa de la gran diversidad de mecanismos que operan en este tipo de terapia conjunta, la formación y el desarrollo de la alianza adquieren mayor dificultad. Dedicamos una parte importante del trabajo a enumerar y describir estos factores que influyen en la alianza en psicoterapia de pareja, así como las dimensiones de la alianza terapéutica en este tipo de tratamiento siguiendo el modelo del Sistema de Observación de la A lianza Terapéutica en Intervención Familiar (SOATIF). Analizamos mediante la versión observacional del SOATIF (SOATIF-o) la alianza terapéutica que establece el psicoterapeuta de la serie norteamericana In treatment con la pareja que acude a su consulta durante nueve sesiones, así como los otros elementos de la relación terapéutica con los que la a lianza interacciona. Consideramos que el material es útil como herramienta de entrenamiento para hacer uso del instrumento y como material docente, ya que a parecen reflejados los aspectos más importantes de la relación terapéutica entre el analista y la pareja. / During the twentieth century the concept of therapeutic alliance in psychotherapy has been shaped as an existing and necessary interpersonal relationship between the client and the therapist. Nowadays, all theoretical orientations have given to the therapeutic alliance a central role in the therapeutic relationship. Furthermore, empirical research has proved the relationship between the therapeutic alliance and the treatment efficacy in psychotherapy in numerous studies. Although the concept of the therapeutic alliance has its origin in the psychoanalytic theory, the relevance of the alliance is very different in the opinion of several authors of this orientation. For some authors, the therapeutic alliance is not relevant and can interfere in the psychoanalytic treatment, since the transference is the key element. On the other side, for other psychoanalytic authors the therapeutic alliance plays an important role in any kind of therapy. A large section of our work is devoted to do a review on the conceptualization of the alliance of the most prominent authors in the psychoanalytic field. We believe that the therapeutic alliance should be taken into consideration in any psychoanalytically oriented treatment, because if it is not properly treated, it can jeopardize the analytic work and, therefore, interpretive and non- interpretive interventions must be used when required. The therapeutic alliance is, from our point of view, an element of the therapeutic relationship different from the transference (and its respective counter-transference) and the real relationship, described both in detail in our work. In couple psychoanalytic psychotherapy, because of the great diversity of mechanism s that operate in this type of conjoint treatment, the formation and the development of the alliance become more difficult. A significant part of this work is devoted to list and describe the factors that influence the alliance as well as the dimensions of the therapeutic alliance in this type of treatment based on the System for Observing Family Therapy Alliances (SOFTA). The therapeutic alliance established by the psychotherapist and a couple who undergoes a treatment for nine sessions in the North American TV series In Treatment i s analyzed with the observational version of the SOFTA (SOFTA-o), as well as the other elements of the therapeutic relationship that interact with the alliance. We believe that the material is useful as a training tool for using the instrument and as teaching material, since the most important aspects of the therapeutic relationship between the analyst and the couple are represented.