La convergence de la formule de Trotter en norme d'opérateur a été établie depuis 1990 avec différentes conditions pour des générateurs auto-adjoints dans un espace de Hilbert. Cette thèse étudie au contraire des semi-groupes holomorphes dont les générateurs ne sont pas auto-adjoints. Dans le premier ensemble de résultats, il s'agit d'estimations d'erreur en norme d'opérateur pour la formule de Trotter : je considère des perturbations accrétives dans un espace de Banach général, puis dans un espace de Hilbert. Dans la deuxième partie, j'étends certains résultats de convergence de la formule de Trotter au cas de générateurs m-sectoriels et pour la norme d'opérateur ou la norme de la trace. Enfin la dernière partie consiste en une généralisation de la théorie de Chernoff au cas de l'approximation des semi-groupes holomorphes en norme d'opérateur. Cette partie est fondée en particulier sur la notion nouvelle de contraction quasi-sectorielle, le résultat principal montre le lien entre la convergence généralisée (ou convergence au sens de la norme de la résolvante) des générateurs m-sectoriels et l'approximation en norme d'opérateur des semi-groupes holomorphes contractants par des puissances de contractions quasi-sectorielles.

On propose quatre familles de méthodes itératives pour le raffinement d'éléments propres approches d'un opérateur compact dans un espace de Banach complexe. Ces méthodes sont de type Newton et le calcul de l'inverse de la dérivée de l'opérateur non linéaire dont on calcule un zéro est fait à l'aide de techniques fondées sur le principe de correction du résidu. Selon la précision de ce calcul, on peut atteindre une convergence quadratique, superlinéaire ou linéaire. On pressente des applications aux opérateurs intégraux à noyau continu ou faiblement singulier. Les discrétisations considérées sont les approximations de Galerkin, projection et Sloan avec ou sans quadrature - et les approximations de Fredholm et Nystroem. On donne des exemples numériques