Dans cette thèse, on s'est attaché d'une part à d'écrire le défaut de compacité de l'injection de Sobolev critique dans les différentes classes d'espaces d'Orlicz, et d'autre part à étudier l'équation de Klein-Gordon avec une non-linéarité exponentielle. Ce travail se divise en trois parties. L'objectif de la première partie est de caractériser le défaut de compacité de l'injection de Sobolev de $H^2_{rad}(R^4)$ dans l'espace d'Orlicz $mathcal{L}(R^4)$.Le but de la deuxième partie est double : tout d'abord, on a décrit le défaut de compacité de l'injection de Sobolev de $H^1(R^2)$ dans les différentes classes d'espaces d'Orlicz, ensuite on a étudié une famille d'équations de Klein-Gordon non linéaires à croissance exponentielle. Cette étude inclut à la fois les problèmes d'existence globale, de complétude asymptotique et d'étude qualitative pour le problème de Cauchy associé. La troisième partie est dédiée à l'analyse des solutions de l'équation de Klein-Gordon 2D issues d'une suite de données de Cauchy bornée dans $H^1_{rad}(R^2)times L^2_{rad}(R^2)$. Basée sur les décompositions en profils, cette analyse a été conduite dans le cadre de la norme d'Orlicz / In this thesis, we focused on the one hand on the description of the lack of compactness of the critical Sobolev embedding into different classes of Orlicz spaces, and on the other hand on the study of the nonlinear Klein-Gordon equation with exponential nonlinearity. This work is divided into three parts. The aim of the first part is to characterize the lack of compactness of the Sobolev embedding of $H^2_{rad}(R^4)$ into the Orlicz space $mathcal{L}(R^4)$.The aim of the second part is twofold: firstly, we describe the lack of compactness of the Sobolev embedding of $H^1(R^2)$ into different classes of Orlicz spaces, secondly we investigate a family of nonlinear Klein-Gordon equations with exponential nonlinearity. This study includes both the global existence problem, the asymptotic completeness and the qualitative study for the associated Cauchy problem. The third part is dedicated to the analysis of the solutions to the 2D Klein-Gordon equation associated to a sequence of bounded Cauchy data in $H^1_{rad}(R^2)times L^2_{rad}(R^2)$. Based on the profile decompositions, this analysis was conducted in the framework of Orlicz norm

Le traitement des données massives, communément connu sous l’appellation “Big Data”, constitue l’un des principaux défis scientifiques de la communauté STIC.Plusieurs domaines, à savoir économique, industriel ou scientifique, produisent des données hétérogènes acquises selon des protocoles technologiques multi-modales. Traiter indépendamment chaque ensemble de données mesurées est clairement une approche réductrice et insatisfaisante. En faisant cela, des “relations cachées” ou des inter-corrélations entre les données peuvent être totalement ignorées.Les représentations tensorielles ont reçu une attention particulière dans ce sens en raison de leur capacité à extraire de données hétérogènes et volumineuses une information physiquement interprétable confinée à un sous-espace de dimension réduite. Dans ce cas, les données peuvent être organisées selon un tableau à D dimensions, aussi appelé tenseur d’ordre D.Dans ce contexte, le but de ce travail et que certaines propriétés soient présentes : (i) avoir des algorithmes de factorisation stables (ne souffrant pas de probème de convergence), (ii) avoir un faible coût de stockage (c’est-à-dire que le nombre de paramètres libres doit être linéaire en D), et (iii) avoir un formalisme sous forme de graphe permettant une visualisation mentale simple mais rigoureuse des décompositions tensorielles de tenseurs d’ordre élevé, soit pour D > 3.Par conséquent, nous nous appuyons sur la décomposition en train de tenseurs (TT) pour élaborer de nouveaux algorithmes de factorisation TT, et des nouvelles équivalences en termes de modélisation tensorielle, permettant une nouvelle stratégie de réduction de dimensionnalité et d'optimisation de critère des moindres carrés couplés pour l'estimation des paramètres d'intérêts nommé JIRAFE.Ces travaux d'ordre méthodologique ont eu des applications dans le contexte de l'analyse spectrale multidimensionelle et des systèmes de télécommunications à relais. / Massive and heterogeneous data processing and analysis have been clearly identified by the scientific community as key problems in several application areas. It was popularized under the generic terms of "data science" or "big data". Processing large volumes of data, extracting their hidden patterns, while preforming prediction and inference tasks has become crucial in economy, industry and science.Treating independently each set of measured data is clearly a reductiveapproach. By doing that, "hidden relationships" or inter-correlations between thedatasets may be totally missed. Tensor decompositions have received a particular attention recently due to their capability to handle a variety of mining tasks applied to massive datasets, being a pertinent framework taking into account the heterogeneity and multi-modality of the data. In this case, data can be arranged as a D-dimensional array, also referred to as a D-order tensor.In this context, the purpose of this work is that the following properties are present: (i) having a stable factorization algorithms (not suffering from convergence problems), (ii) having a low storage cost (i.e., the number of free parameters must be linear in D), and (iii) having a formalism in the form of a graph allowing a simple but rigorous mental visualization of tensor decompositions of tensors of high order, i.e., for D> 3.Therefore, we rely on the tensor train decomposition (TT) to develop new TT factorization algorithms, and new equivalences in terms of tensor modeling, allowing a new strategy of dimensionality reduction and criterion optimization of coupled least squares for the estimation of parameters named JIRAFE.This methodological work has had applications in the context of multidimensional spectral analysis and relay telecommunications systems.

Les travaux de la thèse portent sur la résolution des équations de Stokes, d'abord avec des conditions au bord portant sur la composante normale du champ de vitesse et la composante tangentielle du tourbillon, ensuite avec des conditions au bord portant sur la pression et la composante tangentielle du champ de vitesse. Dans chaque cas nous démontrons l'existence, l'unicité et la régularité de la solution. Nous traitons aussi le cas de solutions très faibles, par dualité. Le cadre fonctionnel que nous avons choisi est celui des espaces de Banach du type H(div) et H(rot) ou l'intersection des deux, basés sur l'espace Lp , avec 1 < p < ∞. En particulier, on se place dans des domaines non simplement connexes, avec des frontières non connexes. Nous nous intéressons en premier lieu à l'obtention d'inégalités de Sobolev pour des champs de vecteurs u ∈ Lp (Ω). Dans un second temps, nous établissons des résultats d'existence pour les potentiels vecteurs avec diverses conditions aux limites. Ceci nous permet d'abord d'effectuer des décompositions de type Helmholtz et ensuite de démontrer des conditions Inf − Sup lorsque la forme bilinéaire est un produit de rotationnels. Ces conditions aux limites font que l'équation de la pression est indépendante des autres variables. C'est la raison pour laquelle nous sommes naturellement conduit à étudier les problèmes elliptiques qui se traduisent par les systèmes de Stokes sans la pression. La résolution de ces problèmes se fait au moyen des Conditions Inf − Sup qui jouent un rôle clef pour établir l'existence et l'unicité de solutions. Nous donnons une applications aux systèmes de Navier-Stokes, où on obtient l'existence d'une solution en effectuant un point fi xe autour du problème d'Oseen. Enfi n, deux méthodes numériques sont proposées pour approcher le problème de Stokes. Nous analysons d'abord une méthode de Nitsche et puis une méthode de Galerkin discontinu. Quelques résultats numériques de convergence sont décrits qui sont parfaitement cohérents avec l'analyse.