Ce travail porte principalement sur l'étude mathématique de méthodes numériques<br />pour l'homogénéisation de fonctionnelles intégrales utilisées en élasticité non linéaire. Ces mé-<br />thodes couplent, au niveau mésoscopique, un matériau hyperélastique hétérogène ou un réseau de<br />liens en interaction, avec, au niveau macroscopique, un modèle d'élasticité non linéaire. La loi de<br />constitution macroscopique est obtenue par la résolution de problèmes mésoscopiques, continus ou<br />discrets. Aux chapitres 1, 2 et 3 on introduit les modèles mécaniques et les outils mathématiques et<br />numériques utilisés par la suite. Aux chapitres 5, 6 et 7, on présente une méthode directe de réso-<br />lution numérique du comportement homogénéisé d'un matériau composite périodique en grandes<br />déformations et un cadre général pour l'analyse des méthodes d'homogénéisation numérique. On<br />démontre notamment la convergence de méthodes numériques classiques sous des hypothèses gé-<br />nérales ainsi qu'un résultat de correcteur numérique. On étend enfin les résultats au couplage avec<br />des méthodes de sur-échantillonnage. Aux chapitres 8, 9 et 10, nous considérons une modélisation<br />mésoscopique par un système discret. Nous étudions d'abord un problème de G-fermeture pour un<br />réseau de résistances. Au chapitre suivant nous démontrons un résultat de représentation intégrale<br />pour l'énergie d'un système de spins en interaction. Enfin, nous dérivons un modèle hyperélastique<br />continu à partir d'un réseau stochastique de points en interaction, et l'appliquons pour démontrer<br />la convergence de modèles discrets développés en mécanique. Dans une dernière partie, chapitre 11,<br />nous présentons une nouvelle méthode numérique pour résoudre des problèmes d'interaction fluide<br />structure, où la structure est décrite par une coque tridimensionnelle.

Ce travail présente quelques contributions à l'étude théorique et numérique des modèles utilisés en pratique pour la simulation moléculaire de la matière. En particulier, on présente et on analyse des méthodes numériques stochastiques dans le domaine de la physique statistique, permettant de calculer plus efficacement des moyennes d'ensemble. Une application particulièrement importante est le calcul de différences d'énergies libres, par dynamiques adaptatives ou hors d'équilibre. On étudie également quelques techniques, stochastiques ou déterministes, utilisées en chimie quantique et permettant de résoudre de manière approchée le problème de minimisation associé à la recherche de l'état fondamental d'un opérateur de Schrödinger en dimension grande. On propose enfin des modèles réduits permettant une description microscopique simplifiée des ondes de choc et de détonation par le biais d'une dynamique stochastique sur des degrés de liberté moyens, approchant la dynamique hamiltonienne déterministe du système complet.

L'objet de cette thèse est l'étude du comportement asymptotique d'estimateurs à noyau d'une densité de probabilité et de ses dérivées, d'une fonction de régression, ainsi que du mode et de la valeur modale d'une densité de probabilité. Le but est d'établir certaines propriétés des estimateurs à noyau récursifs ou semi-récursifs afin de comparer leur comportement asymptotique à celui des estimateurs classiques. Dans le premier chapitre, nous établissons des principes de grandes déviations (PGD) et des principes de déviations modérées (PDM) pour l'estimateur récursif d'une densité de probabilité et pour ses dérivées. Il s'avére que, dans les principes de déviations vérifiés par les estimateurs des dérivées, la fonction de taux est toujours une fonction quadratique, que les déviations soient grandes ou modérées. Contrairement, pour l'estimateur de la densité, les fonctions de taux qui apparaissent sont de nature différente selon que les déviations sont grandes ou modéerées. Les fonctions de taux qui apparaissent tant dans les PGD pour les dérivées que dans les PDM pour la densité et pour les dérivées sont plus grandes dans le cas où l'estimateur récursif est utilisé. Dans le deuxième chapitre, nous établissons des PGD et des PDM pour des estimateurs à noyau d'une fonction de régression. Nous généralisons les résultats déjà obtenus dans le cas unidimensionnel pour l'estimateur de Nadaraya-Watson. Nous étudions ensuite le comportement en déviations de la version semi-récursive de cet estimateur en établissant des PGD et des PDM. Les fonctions de taux qui apparaissent dans les PDM sont plus grandes pour l'estimateur semi-récursif que pour l'estimateur classique. Dans le troisième chapitre, nous nous intéressons à l'estimation jointe du mode et de la valeur modale d'une densité de probabilité basée sur l'estimateur à noyau récursif de la densité. Nous étudions la vitesse de convergence en loi et presque sûre du couple formé par ces deux estimateurs. Pour estimer simultanément les deux paramètres de façon optimale, il faut utiliser des fenêtres différentes pour définir chacun des deux estimateurs. Les estimateurs semi-récursifs conduisent à des variances asymptotiques plus petites que les estimateurs classiques.

Nous étudions dans ce travail une méthode de type éléments finis dans le but de simuler le mouvement de particules rigides immergées. La méthode développée ici est une méthode de type domaine fictif. L'idée est de chercher un prolongement régulier de la solution exacte à tout le domaine fictif afin d'obtenir une solution régulière sur tout le domaine et retrouver l'ordre optimal de l'erreur avec des éléments d'ordre 1. Le prolongement régulier est cherché en minimisant une fonctionnelle dont le gradient est donné par la solution d'un nouveau problème fluide faisant intervenir une distribution simple couche dans le second membre. Nous faisons une analyse numérique, dans le cas scalaire, de l'approximation de cette distribution par une combinaison de masse de Dirac. Un des avantages de cette méthode est de pouvoir utiliser des solveurs rapides sur maillages cartésiens tout en conservant l'ordre optimal de l'erreur. Un autre avantage de la méthode vient du fait que les opérateurs ne sont pas modifiés, seul les seconds membres dépendent de la géométrie du domaine initial. Nous avons de plus écrit un code C++ parallèle en deux et trois dimensions, permettant de simuler des écoulements fluide/particules rigides avec cette méthode. Nous présentons ainsi une description des principales composantes de ce code.

Les méthodes classiques de résolution des équations de l'élasticité linéaire sont les méthodes éléments finis. Ces méthodes produisent de très bons résultats et sont très largement analysées mathématiquement pour l'étude des déformations solides. Pour des problèmes de couplage solide/fluide, pour des situations réalistes en présence de discontinuités (modélisation des fronts de gel dans les sols humides), ou bien encore pour des domaines de calcul mieux adaptés aux maillages non conformes, il parait intéressant de disposer de solveurs Volumes Finis. Les méthodes Volumes Finis sont très largement utilisées en mécanique des fluides. Appliquées aux problèmes de convection, elles sont bien adaptées à la capture de solutions présentant des discontinuités et ne nécessitent pas de maillages conformes. De plus, elles présentent l'avantage de conserver au niveau discret les flux à travers les interfaces du maillage. C'est pourquoi sont développées et testées, dans cette thèse, plusieurs méthodes de volumes finis, qui permettent de traiter le problème de l'élasticité. On a, dans un premier temps, mis en œuvre la méthode LSGR (Least Squares Gradient Reconstruction), qui reconstruit des gradients par volumes à partir d'une formule de moindres carrés pondérés sur les volumes voisins. Elle est testée pour des maillages tétraédriques non structurés, et montre un ordre 1 de convergence. La méthode des Volumes Finis mixtes est ensuite présentée, basée sur la conservation d'un flux "pénalisé" à travers les interfaces. Cette pénalisation impose une contrainte sur le type de maillage utilisé, et des tests sont réalisés en 2d avec des maillages structurés et non structurés de quadrangles. On étend ensuite la méthode des Volumes Finis diamants à l'élasticité. Cette méthode détermine un gradient discret sur des sous volumes associés aux interfaces à partir de l'interpolation de la solution aux sommets du maillage. La convergence théorique est prouvée sous réserve de vérifier une condition de coercivité. Les résultats numériques, en 2d pour des maillages non structurés, conduisent à un ordre de convergence meilleur que celui prouvé. Enfin, la méthode DDFV (Discrete Duality Finite Volume), qui est une extension de la méthode Diamant, est présentée. Elle est basée sur une correspondance entre plusieurs maillages afin d'y construire des opérateurs discrets en "dualité discrète". On montre que la méthode est convergente d'ordre 1. Les illustrations numériques, réalisées en 2d et en 3d pour des maillages non structurés, montrent une convergence d'ordre 2, ce qui est fréquemment observé pour cette méthode.

Dans cette thèse on étudie le couplage de modèles à dimensions spatiales hétérogènes, avec une application en hydraulique fluviale. On commence par donner un cadre mathématique général à cette problématique. Ensuite, on étudie un cas académique de couplage 1-D/2-D dans le cadre elliptique. On définit les opérateurs de restriction et d'extension nécessaires à l'analyse en se basant sur la dérivation du modèle 1-D à partir du modèle 2-D. Après cela, on met en oeuvre un algorithme de couplage de type Schwarz avec des conditions de type Robin. On montre alors la convergence de cet algorithme, plus particulièrement sa convergence optimale en utilisant l'opérateur absorbant exact 1-D. On termine cette partie en établissant une majoration de l'erreur entre la solution couplée et la solution globale de référence en fonction du rapport d'aspect du domaine d'étude et de la position de l'interface de couplage. Ces résultats sont illustrés numériquement. Dans la deuxième partie, on généralise cette analyse mathématique au cas du couplage des systèmes linéaires de Saint-Venant 2-D et de Navier-Stokes hydrostatiques 3-D. En faisant l'hypothèse d'une friction nulle au fond, on montre que la convergence de l'algorithme de couplage est équivalente à celle de l'algorithme usuel de décomposition de domaine du Système de Saint-Venant. On calcule une approximation des opérateurs absorbants exacts du système de Saint-Venant, ce qui nécessite de faire des hypothèses restrictives. Comme alternative, on propose un algorithme avec des conditions de type Robin, dont on montre la convergence. Enfin, on présente une première étude d'un cas test réel de couplage des systèmes de Saint-Venant 1-D et Navier-Stokes 3-D en utilisant les codes numériques Mascaret 1-D et Telemac 3-D développés par EDF R&D.

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique des propriétés de stabilité de systèmes quantiques infinis, décrits par des modèles non linéaires. Dans les chapitres 1 et 2, on étudie l'instabilité du vide relativiste menant au phénomène de création de paires électron-positron. Dans le chapitre 3, on considère la dynamique de ce même vide relativiste couplé à un champ scalaire. Les chapitres 4 et 5 sont consacrés au caractère dispersif de la dynamique non linéaire de Hartree pour des perturbations de la mer de Fermi, et en particulier à sa stabilité orbitale et asymptotique. Enfin, le chapitre 6 introduit une notion générale d'entropie relative entre deux états comportant une infinité de particules.

Cette thèse porte sur l'étude de quelques questions liées à l'identifiabilité et l'identification d'un problème inverse non-linéaire de source. Il s'agit de l'identification d'une source ponctuelle dépendante du temps constituant le second membre d'une équation de type advection-dispersion-réaction à coefficients variables. Dans le cas monodimensionnel, la souplesse du modèle stationnaire nous a permis de développer des réponses théoriques concernant le nombre des capteurs nécessaires et leurs emplacements permettant d'identifier la source recherchée d'une façon unique. Ces résultats nous ont beaucoup aidés à définir la ligne de conduite à suivre afin d'apporter des réponses similaires pour le modèle transitoire. Quant au modèle bidimensionnel transitoire, en utilisant quelques résultats de nulle contrôlabilité frontière et des mesures de l'état sur la frontière sortie et de son flux sur la frontière entrée du domaine étudié, nous avons établi un théorème d'identifiabilité et une méthode d'identification permettant de localiser les deux coordonnées de la position de la source recherchée comme étant l'unique solution d'un système non-linéaire de deux équations, et de transformer l'identification de sa fonction de débit en la résolution d'un problème de déconvolution. La dernière partie de cette thèse discute la difficulté principale rencontrée dans ce genre de problèmes inverses à savoir la non identifiabilité d'une source dans sa forme abstraite, propose une alternative permettant de surmonter cette difficulté dans le cas particulier où le but est d'identifier le temps limite à partir duquel la source impliquée a cessé d'émettre, et donc ouvre la porte sur de nouveaux horizons.

Nous présentons des modèles macroscopiques du comportement mécanique du parenchyme pulmonaire humain obtenus par homogénéisation double--échelle. Dans une première partie consacrée au couplage entre parenchyme et arbre bronchique, nous commençons par proposer un modèle de la déformation du parenchyme. Nous modélisons (i) le parenchyme par un matériau élastique linéaire, (ii) les alvéoles comme des cavités de taille epsilon réparties périodiquement dans le domaine macroscopique et (iii) l'arbre bronchique par un arbre dyadique résistif en supposant la loi de Poiseuille valide pour chaque voie aérienne. Nous obtenons en faisant tendre epsilon vers zéro, par homogénéisation, une description macroscopique du parenchyme comme un matériau viscoélastique, sous certaines conditions sur l'irrigation du domaine par l'arbre que nous étudions ensuite. L'arbre induit une dissipation non--locale en espace. Nous illustrons ces résultats par des résultats numériques. Dans une deuxième partie, nous étudions la propagation d'ondes sonores dans le parenchyme, sans prendre en compte l'arbre bronchique. Nous homogénéisons dans le domaine fréquentiel un premier modèle couplant l'élasticité linéarisée dans le parenchyme avec l'équation acoustique dans l'air. Nous déduisons une loi de comportement macroscopique élastique linéaire en dehors d'un ensemble de résonances. Ensuite, nous homogénéisons un deuxième modèle qui prend en compte le caractère viscoélastique et inhomogène du parenchyme au niveau microscopique. Le matériau macroscopique présente des effets de mémoire nouveaux par rapport aux composants microscopiques que nous étudions numériquement.

Prédire la statistique des grandes échelles des écoulements turbulents constitue un enjeu important. Pour l'équation d'Euler 2D et des modèles analogues d'écoulements géophysiques, une auto-organisation est observée (formation de cyclones/anticyclones, jets intenses). La mécanique statistique d'équilibre des écoulements bidimensionnels s'est avérée fondamentale et pertinente même en présence de forçage et dissipation, dans la limite inertielle. La thèse est motivée par le phénomène de transitions aléatoires entre deux topologies différentes, lié à une bistabilité. Il s'agit de prédire la multiplicité des équilibres d'un écoulement (quasi) bidimensionnel. On développe une classification des transitions de phase, pour des équilibres (statistiques et/ou dynamiques) d'un tel écoulement. Les diagrammes de phase font apparaître la présence générique de points critiques et tricritiques, et des domaines d'inéquivalence d'ensembles statistiques. Dans le cas d'une géométrie annulaire, on décrit les effets de la topographie et de la conservation de deux circulations. Des analogies avec la bistabilité du courant océanique Kuroshio sont proposées à partir de cette étude académique. Enfin, pour le système Euler 2D, on détaille un résultat de mécanique statistique dans l'ensemble énergie-enstrophie : la distribution microcanonique, construite à partir du théorème de Liouville en dimension finie, correspond à la maximisation d'une entropie de mélange de la vorticité.