Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / O caos determinístico é um dos aspectos mais interessantes no que diz respeito à teoria moderna dos sistemas dinâmicos, e está intrinsecamente associado a pequenas variações nas condições iniciais de um dado modelo. Neste trabalho, é feito um estudo acerca do comportamento caótico em dois casos específicos. Primeiramente, estudam-se modelos préinflacionários não-compactos de Friedmann-Robertson-Walker com campo escalar minimamente acoplado e, em seguida, modelos anisotrópicos de Bianchi IX. Em ambos os casos, o componente material é um fluido perfeito. Tais modelos possuem constante cosmológica e podem ser estudados através de uma descrição unificada, a partir de transformações de variáveis convenientes. Estes sistemas possuem estruturas similares no espaço de fases, denominadas centros-sela, que fazem com que as soluções estejam contidas em hipersuperfícies cuja topologia é cilíndrica. Estas estruturas dominam a relação entre colapso e escape para a inflação, que podem ser tratadas como bacias cuja fronteira pode ser fractal, e que podem ser associadas a uma estrutura denominada repulsor estranho. Utilizando o método de contagem de caixas, são calculadas as dimensões características das fronteiras nos modelos, o que envolve técnicas e algoritmos de computação numérica, e tal método permite estudar o escape caótico para a inflação. / Deterministic chaos is the most interesting aspect with regard to the modern theory of dynamical systems, and is intrinsically associated with small changes in initial conditions of a given model. This paper is a study about the chaotic behavior in two specific cases. First, we study non compact pre-inflationary FRW models with a minimally coupled scalar field, and then anisotropic models of Bianchi IX. In both cases the material component is a perfect fluid. Such models have a cosmological constant and can be studied via a unified description using suitable transformations of variables. These systems have similar structures in phase space, called saddle-centers, which make the solutions to be contained in hypersurfaces whose topology is cylindrical. These structures dominate the relationship between collapse and escape to inflation, which can be treated as basins whose boundary can be fractal, and can be associated with a structure called a strange repeller. Using the boxcounting method, which involves methods and algorithms for numerical computation, we calculate the characteristic dimension of their sets. This method allows to study the chaotic escape to inflation.

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Zanchetta do Nascimento / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Engenharia da Informação, 2015. / O câncer de próstata é o segundo que provoca o maior número de vítimas fatais entre os homens, atingindo principalmente a população mundial com idades superiores a 60 anos. Entre os métodos empregados para o diagnóstico médico estão os exames clínicos, laboratoriais e o diagnóstico por imagem, o que pode indicar a necessidade da biópsia da próstata. As biópsias são avaliadas por especialistas para auxiliar na conduta mais adequada de tratamento, desta forma o estudo por imagem histológica é realizado e se destaca como um dos métodos utilizados devido a facilidade de diagnosticar a doença. Porém, ainda existem problemas que precisam ser solucionados para reduzir o número de falsos positivos. Este trabalho apresenta um conjunto de técnicas para identificar e quantificar as regiões de interesse em imagens histológicas da próstata. As análises foram realizadas com dimensão fractal de imagens coloridas e classificadas com SVM com os kernels linear, polinomial e RBF. As regiões de interesses foram segmentadas em núcleos da célula cuboide, lúmens glandulares e tecido estromal e aplicado o cálculo da dimensão fractal. A avaliação de desempenho foi baseada na área sob a curva ROC (AUC) e pela acurácia. Os resultados obtidos com essas ferramentas mostram que o grupo de imagens segmentadas por estroma com magnificação de 100x obtiveram melhores resultados de classificação, obtendo valores de AUC de 92,21% e 86,77% de acurácia para os grupos de tecido normal versus tecido tumoral, obteve 73,53% de acurácia para o grupo tecido normal versus tecido hiperplásico e de 80,00% para o grupo de tecido hiperplásico versus tecido tumoral. O método proposto quantificou tecidos histológicos da próstata com descritores baseados em técnicas não lineares multi-escala. O uso de informações dos canais de cores em conjunto com a segmentação das estruturas foi mais relevante para um sistema de apoio ao diagnóstico. / Prostate cancer is the second type of cancer that causes more deaths between men. It affects mainly the population over the age of 60. Laboratory exams and diagnostic imaging are among the methods used for medical diagnosis, which may indicate the need for a prostrate biopsy. Biopsies are evaluated by experts in order to indicate the most appropriate treatment strategy. Hence, the study of histological images stands out as one of the most used methods as it allows an easier diagnosis. However, there are still problems that need to be addressed to reduce the number of false positives. This work presents a set of techniques to identify and quantify regions of interest in histological images of the prostate. Color and greyscale images were analysed using fractal dimension then classified in SVM with linear, polynomial and RBF kernels. Regions of interest were segmented in basal cell cuboid, glandular lumens and stromal tissue and then a fractal dimension was applied. Performance evaluation was based on the area under the ROC curve(AUC) and accuracy. The results obtained by applying these tools show that images segmented by stroma with a magnification of 100x had better classification results, achieving AUC values of 92.21% and 86.77% accuracy for the normal tissue groups versus tumor tissue. Also, in this group of images a level of accuracy of 73.53% for hyperplastic tissue versus normal tissue and 80.00% for hyperplastic tissue versus tumor tissue. The method quantified histological prostate tissue with multi-scale techniques based on nonlinear descriptors. Therefore, the use of information from color channels together with the segmented structures are most relevant to a diagnostic support system.

Orientador: Rafael Ribeiro Dias Vilela de Oliveira / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2016. / No espaço de fases de sistemas dinâmicos, podem existir diferentes regiões as quais correspondem a diferentes comportamentos futuros do sistema: as bacias de atração. Separando essas regiões, há um conjunto de pontos, o qual chamamos de fronteira, que pode possuir uma geometria regular ou fractal, essa última caracterizada por uma dimensão D não inteira. A principal consequência de um sistema dinâmico possuir uma fronteira fractal em seu espaço de fases está na dificuldade em se determinar o comportamento futuro do sistema. De fato, dado que a precisão com a qual conseguimos medir um ponto é finita, existe uma área no espaço de fases em que não sabemos ao certo a qual bacia de atração o ponto pertence. Em especial, caso a fronteira seja fractal, essa área é proporcional a N..D, onde é o erro de medição e N é a dimensão do sistema. Dessa forma, percebemos a importância de conseguirmos calcular a dimensão D da fronteira fractal. Nesse trabalho, primeiro apresentamos os principais conceitos de sistemas dinâmicos e geometria fractal, relacionando essas estruturas geométricas ao comportamento dinâmico caótico. Em seguida, definimos as fronteiras e estendemos a elas o conceito de geometria fractal. Por último, apresentamos os métodos vigentes para o cálculo numérico da dimensão de fronteiras fractais, a saber, o método da incerteza e o método da avaliação da função de saída e, baseados no primeiro método, desenvolvemos um método alternativo: o método da incerteza condicional. Observamos que o método desenvolvido nesse trabalho é válido como um novo método para o cálculo da dimensão de fronteiras fractais, podendo ser utilizado tanto em sistemas de tempo contínuo quanto discreto. / In the phase space of dynamical systems there may exist different regions which correspond to different final states: the basins of attraction. Between different basins of attraction, there is a set of points which we call basin boundary. Basin boundaries can be either smooth or fractal, the latter being characterized by a non-integer dimension D. The main consequence of fractal basin boundaries in the phase space of a dynamical system is the difficulty of determining the system¿s final state. Indeed, knowing that we can only measure a point with a finite precision, there is a phase space region where we cannot know in which of the basins of attraction the point really is by looking at the system¿s final state alone. In particular, for a fractal basin boundary, the area of the phase space where we cannot predict the final state with certainty is proportional to N..D, with being the measurement error and N the system¿s dimension. Therefore, it is important to know the dimension D of the fractal basin boundary. In this work, we first present the main concepts of dynamical systems and fractal geometry, linking these geometric structures to chaotic behavior in the system. Later, we define basin boundaries, both regular and fractal. At last, we present the two methods currently available to calculate the dimension of fractal basin boundaries in dynamical systems, namely the uncertainty method and the output function evaluation method. We propose a new method that is based on the former one called the conditional uncertainty method and we show that this method can calculate fractal dimensions of basin boundaries to a good accuracy either on continuous or discrete-time dynamics.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / O caos determinístico é um dos aspectos mais interessantes no que diz respeito à teoria moderna dos sistemas dinâmicos, e está intrinsecamente associado a pequenas variações nas condições iniciais de um dado modelo. Neste trabalho, é feito um estudo acerca do comportamento caótico em dois casos específicos. Primeiramente, estudam-se modelos préinflacionários não-compactos de Friedmann-Robertson-Walker com campo escalar minimamente acoplado e, em seguida, modelos anisotrópicos de Bianchi IX. Em ambos os casos, o componente material é um fluido perfeito. Tais modelos possuem constante cosmológica e podem ser estudados através de uma descrição unificada, a partir de transformações de variáveis convenientes. Estes sistemas possuem estruturas similares no espaço de fases, denominadas centros-sela, que fazem com que as soluções estejam contidas em hipersuperfícies cuja topologia é cilíndrica. Estas estruturas dominam a relação entre colapso e escape para a inflação, que podem ser tratadas como bacias cuja fronteira pode ser fractal, e que podem ser associadas a uma estrutura denominada repulsor estranho. Utilizando o método de contagem de caixas, são calculadas as dimensões características das fronteiras nos modelos, o que envolve técnicas e algoritmos de computação numérica, e tal método permite estudar o escape caótico para a inflação. / Deterministic chaos is the most interesting aspect with regard to the modern theory of dynamical systems, and is intrinsically associated with small changes in initial conditions of a given model. This paper is a study about the chaotic behavior in two specific cases. First, we study non compact pre-inflationary FRW models with a minimally coupled scalar field, and then anisotropic models of Bianchi IX. In both cases the material component is a perfect fluid. Such models have a cosmological constant and can be studied via a unified description using suitable transformations of variables. These systems have similar structures in phase space, called saddle-centers, which make the solutions to be contained in hypersurfaces whose topology is cylindrical. These structures dominate the relationship between collapse and escape to inflation, which can be treated as basins whose boundary can be fractal, and can be associated with a structure called a strange repeller. Using the boxcounting method, which involves methods and algorithms for numerical computation, we calculate the characteristic dimension of their sets. This method allows to study the chaotic escape to inflation.

Submitted by Jordan (jordanbiblio@gmail.com) on 2017-05-04T14:04:39Z No. of bitstreams: 1 DISS_2015_Guilherme Falcão da Silva Campos.pdf: 3678965 bytes, checksum: 16184b756c14ab6fc7eb19e95ff445d4 (MD5) / Approved for entry into archive by Jordan (jordanbiblio@gmail.com) on 2017-05-04T15:41:39Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DISS_2015_Guilherme Falcão da Silva Campos.pdf: 3678965 bytes, checksum: 16184b756c14ab6fc7eb19e95ff445d4 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-05-04T15:41:39Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DISS_2015_Guilherme Falcão da Silva Campos.pdf: 3678965 bytes, checksum: 16184b756c14ab6fc7eb19e95ff445d4 (MD5) Previous issue date: 2015-11-23 / Pesquisas ambientais dependem de dados de sensores para a criação das séries temporais referentes às variáveis analisadas. A quantidade de dados tende a aumentar, cada vez mais, à medida que novos sensores são criados e instalados. Com o passar do tempo os conjuntos de dados se tornam massivos, requerendo novas formas de armazenamento e processamento. Este trabalho busca meios de se contornar esses problemas utilizando uma solução tecnológica capaz de armazenar e processar grandes quantidades de dados. A solução tecnológica utilizada é o Apache Hadoop, uma ferramenta voltada a problemas de Big Data. Com a finalidade de avaliar a ferramenta foram utilizados diferentes conjuntos de dados e adaptados diferentes algoritmos usados na análise de séries temporais. Foram implementados analises de séries caóticas e não caóticas. As implementações foram a transformada de wavelet, uma busca por similaridade usando a função de distância Euclidiana, cálculo da dimensão box-counting e o cálculo da dimensão de correlação. Essas implementações foram adaptadas para utilizar o paradigma de processamento distribuído MapReduce. / Environmental research depend on sensor generated data to create time series regarding the variables that are being analyzed. The amount of data tends to increase as more and more sensors are created and installed. After some time the datasets become huge and requires new ways to process and store the data. This work seeks to find ways to avoid these issues using a technological solution able to store and process large amounts of data. The solution used is Apache Hadoop, a tool which purpose is to solve Big Data problems. In order to evaluate the tool were used different datasets and time series analysis algorithms. The analysis of chaotic and non-chaotic time series were implemented. These implementations were: the wavelet transform, similarity search using Euclidean distance function, the calculus of the box-counting dimension and the calculus of the correlation dimension. Those implementations were adapted for the MapReduce parallel processing paradigm.

Submitted by (ana.araujo@ufrpe.br) on 2016-05-20T15:32:16Z No. of bitstreams: 1 Antonio Jose de Oliveira.pdf: 823994 bytes, checksum: 52b6217fffe3ac44f9d20524a5afd1bd (MD5) / Made available in DSpace on 2016-05-20T15:32:16Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Antonio Jose de Oliveira.pdf: 823994 bytes, checksum: 52b6217fffe3ac44f9d20524a5afd1bd (MD5) Previous issue date: 2006-02-23 / The analysis of the fundus of the eye photographic images has permitted the obtaining of an accurate diagnoses for several diseases related to the human retina vascularization. This work proposes the morphormetric analysis and the fractal dimension as methods capable to parameterize the retinal vascular process. A hand made segmentation of the retina vessels done in this work allowed the obtaining of high defined image of the retina vessels. These images made possible the parametrization of the retina vessels using the shape indexes and fractal dimension. The shape indexes like perimeter, area,circularity and rectangularity were used to describe the shape of the tributary venules of the human retina central vein. The statistical analysis showed that both the perimeter and the area of the tributary venules of the central vein of human retina are significantly different between normal and with non proliferative diabetes individuals. But the parameter circularity and rectangularity of these tributary venules were not significantly different. Then,the parameters perimeter and area can be used to discriminate the normal from the ill retina, while the parameters circularity and rectangularity are inadequate to distinguish them. The fractal dimension of the vascularization human retina,in the normal and disease conditions, differed significantly between themselves, independently of the method applied to calculate it.Therefore, the fractal dimension is a parameter which can be used to distinguish the normal from the disease state of the human retina. / A análise de imagens fotográficas do fundo do olho tem tornado possível à obtenção de diagnósticos precisos para diversas enfermidades que envolvem a vascularização da retina humana. A análise morfométrica e a dimensão fractal são propostas no presente trabalho como métodos capazes de parametrizar esse processo vascular. A segmentação manual dos vasos da retina, realizada nesse trabalho, permitiu a obtenção de imagens bem definidas desses vasos, que possibilitaram a sua parametrização através de cálculos de índices de formas e dimensão fractal. Os índices de formas, perímetro e área usados para descrever a geometria das vênulas tributárias da veia central da retina humana,diferiram significativamente nas retinas normal e com retinopatia diabética não proliferativa, podendo dessa maneira, serem usados para diferenciar uma retina normal de outra doente. No entanto, os índices circularidade e retangularidade das vênulas tributárias da veia central da retina não mostraram diferenças significativas entre os estados normal e doente da retina, sendo,portanto, parâmetros inadequados para descriminarem alterações vasculares da retina. A dimensão fractal do processo de vascularização da retina humana nos estados normal e com retinopatia diabética não-proliferativa diferiram significativamente entre si,independente do método usado no cálculo dessa dimensão. Portanto, a dimensão fractal é um parâmetro que pode ser usado para diferenciar estados normal e patológico da retina humana.

Submitted by (ana.araujo@ufrpe.br) on 2016-08-17T14:23:09Z No. of bitstreams: 1 Walter Santos.pdf: 5031272 bytes, checksum: 3d2990a03fd5d064b37a30e3665f9ecf (MD5) / Made available in DSpace on 2016-08-17T14:23:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Walter Santos.pdf: 5031272 bytes, checksum: 3d2990a03fd5d064b37a30e3665f9ecf (MD5) Previous issue date: 2007-02-28 / The Cortical Spreading Depression (CSD) was described as a wave of electric cortical activity suppression in reply to cortical stimulation. In this work we investigate the dynamics of the cerebral activity, registered in the electrocorticogram (ECoG), from the fractal dimension of the space of phase and the coefficient of Hurst (parameter that indicates the memory presence) of the ECoG. ECoG' s had been extracellularly recorded in the cerebral cortex of nourished and malnourished rats and analysed with a PC-compatible microcomputer. In the signal of the ECoG can be observed that after the stimulation occurred an increase, during few milliseconds, of the cortical electric activity (called avalanche phenomenon), followed of a depression of this electric activity for levels lower than normal electric activity of the cortex (called cortical spreading depression - CSD phenomenon). After some minutes the cortical electric activity returns to its level of normality, that one observed before the cortical stimulation. To carry through an analysis statistics of the time series of the cortical electric activity (ECoG), two parameters had been used: (i) the fractal dimension (D)of the space of phase of ECoG and (ii) coefficient H of R/S analysis of Hurst, parameter that identifies long-range correlation (memory) in time series. During the phenomenon of the avalanche the values of the fractal dimension of the space of phase (D =1,34 ± 0,06, n= 30, for nourished animals and D= 1,31 ± 0.07, n= 32, in animals malnourished) and of the memory (H =0,52 ± 0,13, n= 30, in nourished animals and H= 0,61±0,21, n= 32, in animals malnourished) were significantly different of the values of those parameters as before (D = 1,27 ± 0,10, n= 41 and H = 0,32 ± 0,07, n= 41, for nourished animals and D= 1,18 ± 0,14, n=29 and H = 0,44 ± 0,13, n= 29 , in animals malnourished) as after the CSD (D = 1,28 ± 0,10, n= 39 and H = 0,35 ± 0,10, n= 39, for nourished animals and D= 1,15 ± 0,15, n= 30 and H = 0,43 ± 0,13, n= 30, in animals malnourished). The Shapiro-Wilks test discloses that the parameters D and H do not follow a normal distribution. Thus a non-parametric test of Kruskal-Wallis and the post-hoc test of Dunn were used in the statistic analysis. That analysis showed that in nourished animals the fractal dimension of the space of phase of the ECoG in the avalanche is different of the fractal dimension (before and after the CSD), with equal levels of significance, p≤ 0,01. The coefficientH of the ECoG in the avalanche differs also from the H´s (before of the CSD andafter the CSD), with equal levels of significance, p≤ 0,001. For the malnourished animals the parameters D and H in avalanche differs significantly from values also before and after the CSD. When animals nourished and malnourished were compared, significant differences had been observed between the values of the parameters D and H only before of the CSD. In conclusion, the electric activity of the cerebral cortex of rats nourished and malnourished during the phenomenon of the spreading depression is a chaotic, reversible process and presents memory. / A Depressão Alastrante (DA) foi descrita como uma onda de supressão da atividade elétrica do córtex em resposta a estímulos corticais. Neste trabalho investigamos a dinâmica da atividade cerebral registrada no eletrocorticograma (ECoG) a partir da dimensão fractal do espaço de fase e do coeficiente de Hurst (parâmetro que indica a presença de memória) do ECoG. Os ECoG’s foram obtidos através de registros extracelulares na região cortical de ratos nutridos e desnutridos e digitalizados num microcomputador PC compatível. No sinal do ECoG pode-se observar que após o estímulo ocorreu um aumento, durante poucos milissegundos, da atividade elétrica cortical (fenômeno denominado de avalanche) seguido de uma depressão dessa atividade elétrica a nível mais baixo que da atividade elétrica normal do córtex (fenômeno denominado depressão alastrante - DA). Após alguns minutos a atividade elétrica cortical retorna ao seu nível de normalidade, aquele observado antes da estimulação cortical. Para realizar uma análise estatística da série temporal da atividade elétrica cortical (ECoG) dois parâmetros foram utilizados:i) a dimensão fractal (D) do espaço de fase do ECoG, e ii) o coeficiente H da análise R/S de Hurst, parâmetro que identifica correlação de longo alcance (memória) emséries temporais. Durante o fenômeno da avalanche os valores da dimensão fractal do espaço de fase (D =1,34 ± 0,06, n= 30, para animais nutridos e D= 1,31 ± 0,07, n= 32, em animais desnutridos) e da memória (H = 0,52 ± 0,13, n= 30, em animais nutridos e H= 0,61±0,21, n= 32, em animais desnutridos) foram significativamente diferentes dos valores dos parâmetros tanto de antes da DA (D = 1,27 ± 0,10, n= 41 e H = 0,32 ± 0,07, n= 41, para animais nutridos e D= 1,18 ± 0,14, n= 29 e H = 0,44 ± 0,13, n= 29, em animais desnutridos) como de depois da DA (D = 1,28 ± 0,10, n= 39 e H = 0,35 ± 0,10, n= 39, para animais nutridos e D= 1,15 ± 0,15, n= 30 e H = 0,43 ± 0,13, n= 30, em animais desnutridos). Um teste de normalidade de Shapiro- Wilks mostrou que os parâmetros D e H não seguem distribuições normais. Por esta razão, um teste não paramétrico de Kruskal-Wallis e um teste post-hoc de Dunn foram usados na análise estatística. Esta análise mostra que em animais nutridos a dimensão fractal do espaço de fase do ECoG na avalanche é diferente das dimensões fractais (anterior e posterior a DA) com níveis de significância inferiores a 1%. O coeficiente H do ECoG na avalanche também difere dos H´s (antes da DA e após a DA) com níveis de significância inferiores a 0,1%. Para os animaisdesnutridos os parâmetros D e H na avalanche também diferiram significativamente dos seus valores antes e depois da DA. Quando animais nutridos e desnutridos foram comparados, diferenças significativas foram observadas entre os valores dos parâmetros D e H somente antes da DA. Concluindo assim, que a atividade elétrica do córtex cerebral de ratos nutridos e desnutridos durante o fenômeno da depressão alastrante é um processo caótico, reversível e apresenta memória.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This work deals with the study of fractal geometry, emphasizing its main features included on natural systems that motivate them. Here some names that contributed to the emergence and development of mathematical fractals, emphasizing examples of natural fractals and the pioneer of Benoit B. Mandelbrot contribution . / Este trabalho trata do estudo da geometria fractal, enfatizando suas principais caracter sticas compreendidas com base nos sistemas naturais que as motivam. Apresentamos alguns nomes que contribuiram para o surgimento e desenvolvimento dos fractais matem aticos, enfatizando os exemplos de fractais naturais e a contribui c~ao do pioneiro Benoit B. Mandelbrot.

This work is dedicated to the study of the structure of attractors of dynamical systems with the objective of estimating their fractal dimension. First we study the case of exponential global attractors of some generalized gradient-like semigroups in a general Banach space, and estimate their fractal dimension in terms of themaximumof the dimension of the local unstablemanifolds of the isolated invariant sets, Lipschitz properties of the semigroup and rate of exponential attraction. We also generalize this result for some special evolution processes, introducing a concept of Morse decomposition with pullback attractivity. Under suitable assumptions, if (A, \'A POT. \') is an attractor-repeller pair for the attractor A of a semigroup {T (t ) : t 0}, then the fractal dimension of A can be estimated in terms of the fractal dimension of the local unstable manifold of \'A POT. \', the fractal dimension of A, the Lipschitz properties of the semigroup and the rate of the exponential attraction. The ingredients of the proof are the notion of generalized gradient-like semigroups and their regular attractors, Morse decomposition and a fine analysis of the structure of the attractors. Also, making use of the skew product semiflow and its Morse decomposition, we give some estimates of the fractal dimension of the pullback attractors of non-autonomous dynamical systems / Este trabalho é dedicado ao estudo da estrutura dos atratores de sistemas dinâmicos com o objetivo de obter estimativas de suas dimensões fractais. Primeiramente estudamos o caso de atratores globais exponenciais de alguns semigrupos gradient-like generalizados em um espaço de Banach geral, e estimamos suas dimensões fractais em termos da máxima dimensão das variedades instáveis locais dos conjuntos invariantes isolados, a propriedades de Lipschitz do semigrupo e da taxa de atração exponencial. Também generalizamos este resultado para alguns processos de evoluções especiais, introduzindo um conceito de decomposição de Morse com atração pullback. Sob hipóteses apropriadas, se (A, \'A POT. \') é um par atrator-repulsor para o atratorA de um semigrupo {T (t ) : t 0}, então a dimensão fractal de A pode ser estimada em termos da dimensão fractal da variedade instável de \'A POT. \', a dimensão fractal de A, as propriedades de Lipschitz do semigrupo e a taxa de atração exponencial. Os ingredientes da demonstração são a noção de semigrupos gradient-like e seus atratores regulares, decomposição de Morse e uma análise fina da estrutura dos atratores. Além disto, fazendo uso do skew product semiflow e sua decomposição de Morse, damos estimativas da dimensão fractal dos atratores pullback de sistêmas dinâmicos não-autônomos

A diversidade de espécies presentes no riquíssimo reino vegetal torna o processo de identificação de órgãos foliares uma tarefa muito complexa. A biodiversidade das espécies, associada aos modelos tradicionais de taxonomia, transforma essa tarefa em um verdadeiro desafio para os pesquisadores. Neste trabalho é apresentada uma nova abordagem para identificação de espécies vegetais baseada em características internas dos órgãos foliares. A coleta de informações é realizada através de técnicas de visão computacional e análise de imagens, através das quais são extraídas características relativas à complexidade (dimensão fractal) e biometria dos órgãos foliares. A eficiência da metodologia desenvolvida foi avaliada em casos reais de identificação de espécies, em que foram utilizados dois conjuntos de imagens: espécies da Mata Atlântica e do Cerrado brasileiro, e espécies de maracujás silvestres do gênero Passiflora. Para classificação das espécies foram utilizadas as técnicas de reconhecimento padrões de análise de agrupamentos e redes neurais artificiais. / The plant species diversity makes their correct identification a very complex task. The traditional taxonomy models, associated with species biodiversity, has been transformed this task in a challenger for the researches. This work presents a new approach to plant species identification, based on internal characteristics of leaf form. The data are collected by computer vision and shape analysis techniques, which extracts features from complexity (fractal dimension) and biometry of plant species. The methodology efficiency was evaluated with real cases of species identification: digital images of Mata Atlântica and brazilian Cerrado species; and passion fruit species of genus Passiflora. The species classifications are performed using pattern recognition techniques as clustering and artificial neural networks.