En esta tesis estudiamos una variedad particular de semirretículos con un concepto de distributividad. Dichas estructuras fueron estudiadas por Cornish y Hickman en [29] y [35], donde en este último artículo Hickman las llama supremo álgebras distributivas. Otros autores han llamado a éstas álgebras de diferentes maneras. A lo largo de esta memoria, y para mayor simplicidad, las llamaremos DN-álgebras. Nuestro primer objetivo es obtener una representación topológica a través de ciertos espacios sober con una base distinguida de subconjuntos abiertos, compactos y dualmente compactos satisfaciendo una condición adicional. A dichos espacios los hemos llamados DN-espacios. Extendemos esta representación a una dualidad probando que la categoría cuyos objetos son DN-álgebras y morfismos V-semi-homomorfismos es dualmente equivalente a la categoría que tiene como objetos DN-espacios y como morfismos ciertas relaciones binarias. También extendemos esta dualidad a la categoría de las DN-álgebras con homomorfismos. Nuestro segundo objetivo es aplicar dicha dualidad para interpretar topológicamente algunos conceptos algebraicos. Caracterizamos los homomorfiosmos inyectivos y sobreyectivos, los retículos de los filtros, filtros finitamente generados, subálgebras y congruencias. También desarrollamos un nuevo enfoque sobre la existencia de la extensión libre de una DN-álgebra sobre la variedad de los retículos distributivos acotados. Siguiendo la representación dual de los homomorfismos sobreyectivos, presentamos una caracterización de las imágenes homomorfas de una DN-álgebra a través de ciertas familias de subconjuntos saturados básicos irreducibles de su espacio dual dotadas de la menor topología Vietoris. Por otro lado, introducimos una definición alternativa de aniquilador relativo y presentamos algunas nuevas equivalencias de la distributividad. Definimos las clases de las DN-álgebras normales y DN-álgebras p-lineales y estudiamos sus estructuras en término de aniquiladores. Por último, analizamos una clase particular de función entre DN-álgebras para luego estudiar la clase de las DN-álgebras dotadas con un operador modal de necesidad. Obtenemos una representación y dualidad topológica y mostramos algunas aplicaciones. / In this thesis we study a particular variety of semilattices with a concept of distributivity. Such structures were studied by Cornish and Hickman in [29] and [35], in this last article Hickman called them distributive join algebras. Others authors have called these algebras in different ways. Throughout this report, and for simplicity, we will call them DN-algebras. Our first objective is to obtain a topological representation through certain sober spaces with distinguished open, compact and dually compact subsets satisfying an additional condition. We have named these spaces DN-spaces. We extend this representation to a duality proving that the category whose objects are DN-algebras and whose morphisms are _-semi-homomorphisms is dually equivalent to the category whose objects are DN-spaces and whose morphisms are certain binary relations. We also extend this duality to the category of DN-algebras with homomorphisms. Our second objective is to apply this duality to topologically interpreting some algebraic concepts. We characterize injective and surjective homomorphisms, the lattices of filters, fionitely generated filters, subalgebras and congruences. We also develop a new approach to the existence of the free extension of a DN-algebra on the variety of bounded distributive lattices. Following the dual representation of surjective homomorphisms, we present a characterization of homomorphic images of a DN-algebra through certain families of irreducible basic saturated subsets from its dual space which have been equipped with the lower Vietoris topology. On the other hand, we introduce an alternative definition of relative annihilator and we present some new equivalences of the distributivity. We define the classes of normal DN-algebras and p-linear DN-algebras and we study their structures in terms of annihilators. Finally, we analyze a particular kind of function between DN-algebras and then we study the class of DN-algebras equipped with a modal operator of necessity. We get a representation and a topological duality and show some applications.

Les uninormes són uns operadors d'agregació que, per la seva definició, es poden considerar com a conjuncions o disjuncions, i que han estat aplicades a camps molt diversos. En aquest treball s'estudien algunes equacions funcionals que tenen com a incògnites les uninormes, o operadors definits a partir d'elles. Una d'elles és la distributivitat, que és resolta per les classes d'uninormes conegudes, solucionant, en particular, un problema obert en la teoria de l'anàlisi no-estàndard. També s'estudien les implicacions residuals i fortes definides a partir d'uninormes, trobant solució a la distributivitat d'aquestes implicacions sobre uninormes. Com a aplicació d'aquests estudis, es revisa i s'amplia la morfologia matemàtica borrosa basada en uninormes, que proporciona un marc inicial favorable per a un nou enfocament en l'anàlisi d'imatges, que haurà de ser estudiat en més profunditat. / Las uninormas son unos operadores de agregación que, por su definición se pueden considerar como conjunciones o disjunciones y que han sido aplicados a campos muy diversos. En este trabajo se estudian algunas ecuaciones funcionales que tienen como incógnitas las uninormas, o operadores definidos a partir de ellas.Una de ellas es la distributividad, que se resuelve para las classes de uninormas conocidas, solucionando, en particular, un problema abierto en la teoría del análisis no estándar. También se estudian las implicaciones residuales y fuertes definidas a partir de uninormas, encontrando solución a la distributividad de estas implicaciones sobre uninormas. Como aplicación de estos estudios, se revisa y amplía la morfología matemática borrosa basada en uninormas, que proporciona un marco inicial favorable para un nuevo enfoque en el análisis de imágenes, que tendrá que ser estudiado en más profundidad. / Uninorms are aggregation operators that, due to its definition, can be considered as conjunctions or disjunctions, and they have been applied to very different fields. In this work, some functional equations are studied, involving uninorms, or operators defined from them as unknowns. One of them is the distributivity equation, that is solved for all the known classes of uninorms, finding solution, in particular, to one open problem in the non-standard analysis theory. Residual implications, as well as strong ones defined from uninorms are studied, obtaining solution to the distributivity equation of this implications over uninorms. As an application of all these studies, the fuzzy mathematical morphology based on uninorms is revised and deeply studied, getting a new framework in image processing, that it will have to be studied in more detail.