En este trabajo obtendremos resultados de estabilidad, consistencia y convergencia para dos esquemas diferentes de discretización basados en el método de diferencias finitas para el siguiente problema de estabilización en la frontera de la ecuación de Schrödinger. Seguiremos el siguiente esquema para presentar este trabajo: En el capitulo I presentamos conceptos y fundamentos teóricos del método de diferencias finitas. En el capitulo II aplicaremos el método a una EDP, así como un estudio comparativo de diversos esquemas a usar. En el capitulo III presentamos algunos resultados numéricos, además de efectuar una comparación numérica de los esquemas usados. En el apéndice A presentamos algunos teoremas que son generalmente utilizados en las demostraciones de estabilidad del método numérico. En el apéndice B incluimos los algoritmos que implementamos para conseguir los resultados numéricos. --- Palabras claves: Análisis numérico, Ecuación de SchrÄodinger, Diferencias ¯nitas

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4 pp. / Reviewed 01/2017; Originally Published 04/2011. / La estimación acertada de la cantidad de agua aplicada a una parcela es crítica para cualquier esquema de manejo del riego. Muy a menudo, los agricultores aplican agua para hacer que la parcela y los surcos “se vean bien” (oscurecer las camas de los surcos) o continuan regando hasta que el agua llega al final de cada surco. Sin embargo, con frecuencia no tienen una idea precisa de cuanta agua han aplicado. Cuando los agricultores no toman en cuenta la eficiencia de sus sistemas de riego, pueden estar aplicando demasiada o muy poca agua. Muy poca agua ocasiona un estrés hídrico innecesario y puede resultar en reducciones de rendimiento. Demasiada agua puede causar estancamiento del agua, pérdida de nutrientes por excesiva infiltración y puede resultar en una pérdida de la cosecha. Reviewed 01/2017; Originally Published 04/2011.

En este traba jo se ha e un estudio a era de la Teoría de perturbación de operadores disipativos para probar la existencia de soluciones de un sistema a acoplado de KdV Lineal en un intervalo a acotado con disipación localizada. Para tal finalidad hacemos uso de la Teoría de Semigrupos, estimativas de energía, técnicas multiplicativas y Propiedad de Continuación Única, demostrando el decaimiento exponencial de la solución. -- PALABRAS CLAVES: TEOREMA DE LUMMER PHILLIPS, TEORÍA DE PERTURBACIÓN, DECAIMIENTO EXPONENCIAL, PROPIEDAD DE CONTINUACIÓN ÚNICA. / --- In this work we use Semigroup Theory and Perturbation Theory of dissipative operators in order to prove the existen e and uniquess of a solution of a oupled linear system of the Korteweg-de Vries equations in a bounded interval with lo alized damping, we use multiplier te hniques, energy estimates. Finally, we apply the Unique Continuation Property to prove the exponential de ay of solutions.

Magíster en Ciencias, Mención Física / Usamos la teoría de termodinámica estocástica para estudiar sistemas cuánticos cuya dinámica es descrita por mapas completamente positivos que preservan la traza (CPTP en inglés) debido a su interacción con un baño térmico. Estudiamos una clase más amplia de mapas con equilibrio, entre los cuales los mapas termales son solo un caso especial. En general, para mapas CPTP las cantidades termodinámicas tales como la producción de entropía y el trabajo realizado sobre el sistema dependen del estado combinado del sistema más baño. Mostramos que para mapas con equilibrio estas cantidades pueden ser escritas en términos de propiedades del sistema únicamente. Las relaciones que obtenemos son válidas para una intensidad de acoplamiento arbitraria entre el sistema y el baño termal. Estudiamos las fluctuaciones de las cantidades termodinámicas en el esquema de medición de dos puntos. Derivamos teoremas de fluctuación detallados para la producción de entropía y el trabajo y obtemos algunas simplificaciones para el caso de los mapas con equilibrio. Ilustramos nuestros resultados considerando un espín en un ciclo termodinámico y una cadena de espines 1/2 acopladas a un baño por uno de sus bordes. Conectamos además la condición de balance detallado cuántico para ecuaciones maestras de Lindblad con la propiedad de equilibrio de los mapas CPTP que, al iterarlos y en un límite particular, generan la ecuación maestra. Mostramos cómo obtener una concatenación de mapas que genera una ecuación de Lindblad forzada por los bordes dada apriori, como una forma de construir una termodinámica consistente para la dinámica de Lindblad. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por Conicyt a través de becas Magíster Nacional 2016, contrato N° 22161809

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención en Modelación Matemática / El objetivo de esta Tesis es analizar el espectro de un operador Hamiltoniano definido en la red hexagonal del grafeno. Se describen completamente las regiones donde las soluciones son acotadas y no acotadas, se define una base que permite determinar las soluciones en toda la red hexagonal y se estudia el soporte de ciertas funciones definidas en esta red. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por Becas Conicyt, el Centro de Modelamiento Matemático (CMM) y el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / En la mecánica estadística, la ecuación de Boltzmann espacialmente homogénea (en honor de Ludwig Eduard Boltzmann, quien introdujo la primera versión en 1872) describe a nivel macroscópico la evolución temporal de la distribución de las velocidades de una enorme cantidad de moléculas de un gas en R³, las cuales obedecen las leyes de la mecánica clásica y están sujetas a colisiones a nivel microscópico. Ecuaciones de similares características han sido introducidas recientemente en variadas situaciones; por ejemplo, para modelar la redistribución de riqueza en una población, en el contexto de la Econofísica. Con el fin de validar matemáticamente la ecuación de Boltzmann y a la vez deducir propiedades de la misma, en 1956 Kac propuso estudiar un sistema de partículas, el cual es un proceso estocástico a valores en (R³)^N que representa las velocidades de N partículas que evolucionan continuamente en el tiempo y cambian su estado mediante saltos aleatorios correspondientes a las colisiones entre ellas. Es sabido que este sistema aproxima a la ecuación, en el sentido que se cumple la propiedad de propagación de caos: la medida empírica del sistema converge débilmente a la solución de la ecuación en el límite cuando N → ∞. En los últimos años ha habido gran interés por cuantificar esta convergencia, con dependencia explícita en N y en el tiempo t, e idealmente uniforme en t, pues esto validaría plenamente a la distribución estacionaria de la ecuación como el estado del gas en equilibrio termodinámico. En la presente tesis se estudia la propagación de caos para algunos sistemas de partículas, incluyendo a los modelos recién descritos. En el Capítulo 2 se trabaja con un sistema a valores en un espacio general, y se obtiene un resultado de propagación de caos en convergencia débil en el espacio de trayectorias. En el Capítulo 3 se estudia una clase de sistemas de partículas en R que incluye a algunos modelos de redistribución de riqueza y a una versión simplificada de la ecuación de Boltzmann, introducida por Kac. Se desarrolla una técnica de coupling que permite obtener resultados de propagación de caos con tasas polinomiales moderadas en N y t. Finalmente, en el Capítulo 4 se utiliza esta técnica en el contexto de la ecuación de Boltzmann y se obtiene el resultado principal de la tesis (el cual mejora significativamente la tasa uniforme obtenida por Mischler y Mouhot en 2013): Teorema. Para la ecuación de Boltzmann espacialmente homogénea en el caso de las moléculas de Maxwell, se tiene una tasa uniforme de propagación de caos, en distancia de Wasserstein 2 al cuadrado, de orden casi N^{−1/6}.

Se obtienen aproximaciones numéricas a tres leyes de conservación usando programación matemática. Para ello se aplica el algoritmo de Seneta-Steiger para obtener soluciones l1 óptimas de un sistema algebraico nx(n- 1)

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En la presente inventigación prueba resultados de buena colocación global para la ecuación de Kortewegde Vries modificada en el espacio de Sobolev H2(R) usando los argumentos probados por A. V. Famiskii y basada en los argumentos presentados por Peter E. Zhidkov. / Tesis