No autorizado por el autor para ser publicada a texto completo / La localización de fuentes en ecuaciones de difusión-transporte es tanto un tema de estudio teórico como práctico ya que estas ecuaciones pueden modelar concentración de contaminantes peligrosos para la salud y la localización de las fuentes es importante para saber en qué parte de una cuidad se producen una cantidad no recomendada. El primer resultado logrado es la localización de fuentes de monóxido de carbono en Santiago y el cálculo de la sensibilidad de las concentraciones con respecto a las emisiones por medio de un método adjunto. Esta senibilidad es comparada con la obtenida en [Sai08], que fue calculada por un método directo, y se obtubo una buena correlación entre ellas, dando así una correctitud para ambos métodos (directo y adjunto).

En este trabajo de memoria se demostró un teorema de existencia para la ecuación de Liouville con condición de borde no lineal: El primer paso en esta demostración consiste en la aproximación del problema original usando un ansatz de la solución que explota en m puntos cuando el parámetro épsilon tiende a cero, más un término de corrección, sobre el cual se obtienen un conjunto de ecuaciones que van a caracterizar la solución del problema principal. En el capítulo 4 se analizó el operador lineal asociado a estas ecuaciones y se encontró un resultado de solubilidad al modificar la ecuación con términos aditivos de coeficientes cj, j = 1, . . . , m. A continuación se estableció la existencia de una solución al problema no lineal con la modificación aditiva y se estudió su comportamiento en función de los puntos singulares. Se demostró que la solución del problema principal, dada por el hecho de encontrar un conjunto de puntos tales que cj = 0, ∀ j, puede ser reducida al análisis de los puntos críticos de una función φm. En el capítulo final se mostró que existen al menos dos de estos puntos críticos y en consecuencia al menos dos soluciones del problema principal que explotan en m puntos.

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Mecánica / Ingeniero Civil Mecánico / Hay algunos problemas en Mecánica del Medio Continuo donde encontramos cuerpos que exhiben una respuesta elástica no lineal, los cuales no pueden ser modelados adecuadamente usando la teoría elástica clásica, específicamente en casos donde hay deformaciones pequeñas y comportamiento no lineal del material. Algunos ejemplos pueden ser encontrados en la modelación de materiales frágiles y en Mecánica de Fractura. Recientemente, una nueva clase de relaciones constitutivas implícitas para cuerpos elásticos ha sido desarrollada para describir este tipo de respuesta elástica de sólido. Esta teoría contiene como subclase los clásicos cuerpos de Cauchy y de Green. Dentro de esta clase de relación constitutiva, uno puede obtener, a través de rigurosas aproximaciones, relaciones constitutivas para la deformación linealizada como una función no lineal del esfuerzo. Tal aproximación no es posible en las teóricas clásicas de elasticidad de Cauchy y Green, donde el proceso de linealización solamente llevará al clásico cuerpo elástico linealizado. Estudiamos los efectos de usar esta nueva clase de relaciones constitutivas, obteniendo los estados de esfuerzo y deformación para cuatro problemas de valor de frontera usando el Método de elementos Finitos. Los resultados son comparados con las soluciones encontradas en la literatura considerando la teoría clásica de elasticidad linealizada. Los problemas son: tensión uniaxial de una placa rectangular infinita con un agujero elíptico, tensión uniaxial de una placa rectangular finita con entalles de borde hiperbólicos, una placa semi-infinita con una carga puntual y una inclusión en una matriz blanda bajo tracción.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / En este trabajo se aborda el problema de existencia de algunos tipos de soluciones para las ecuaciones de ondas en el agua así como la relación que existe entre estas soluciones y la forma de un fondo impermeable sobre la que se desliza el fluido. Empezamos por describir las ecuaciones que modelan el fenómeno físico a partir de las leyes de conservación; el modelo general de las ecuaciones de ondas en el agua, escrito para la restricción de la velocidad potencial a la superficie libre, es \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &\partial_t\zeta-G(\zeta,b)\psi=0, \\ &\partial_t\psi+g\zeta+\frac{1}{2}|\nabla_X\psi|^2-\frac{1}{2(1+|\nabla_X\zeta|^2)}(G(\zeta,b)\psi+\nabla_X\zeta\cdot\nabla_X\psi)^2=0, \end{aligned} \right. \end{equation*} donde $G=G(\zeta,b)\psi$ es el operador Dirichlet-Neumann, el cual contiene la información del fondo $b$, \begin{equation*} G(\zeta,b)\psi:=-\sqrt{1+|\nabla_X\zeta|^2}\partial_n\phi|_{y=\zeta(t,X)}, \end{equation*} y \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{rl} & \Delta\phi=0, \quad \R\times(b,\zeta), \\ & \phi|_{y=\zeta}=\psi, \quad \partial_n \phi|_{y=b(X)}=0. \end{array} \right. \end{equation*} Después de describir las condiciones para un teorema de existencia y unicidad de soluciones de las ecuaciones de ondas en el agua, en espacios de Sobolev, nos preguntamos sobre el mínimo de datos necesarios, sobre la superficie libre, para identificar el fondo de manera única. Por la relación que existe entre el operador Dirichlet-Neumann y la velocidad dentro del fluido y utilizando la propiedad de continuación única de las funciones armónicas hemos probado que basta conocer el perfil, la velocidad potencial y la velocidad normal en un instante de tiempo dado y un abierto de $\R$, aún cuando nuestro sistema es de evolución. En la segunda parte se estudia la existencia de soluciones en forma de salto hidráulico para las ecuaciones estacionarias de ondas en el agua, en dimensión dos y su relación con la velocidad aguas arriba, caracterizada por un parámetro adimensional, llamado el número de Froude, $F$, como consecuencia de la existencia de ramas de bifurcación de la solución trivial para el problema \begin{equation*} \mathcal{F}(\eta,F)=\eta+F\widetilde{\psi}_{y^{\prime }}+\frac{\epsilon}{2}(% \widetilde{\psi}_{x^{\prime }}^2+\widetilde{\psi}_{y^{\prime }}^2)-\epsilon^2\eta_x\widetilde{\psi}_{x^{\prime }}\widetilde{\psi}% _{y^{\prime }}+\frac{\epsilon^3}{2}\eta_x^2\widetilde{\psi}_{y^{\prime }}^2; \end{equation*} donde \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &\Delta\widetilde{\psi}=\epsilon G, && (-L,L)\times(0,1), \\ &\widetilde{\psi}_{x'}=0, && x'=-L,L, \\ &\widetilde{\psi}=0, && y'=0, \\ &\widetilde{\psi}=-F\eta, && y'=1. \end{aligned} \right. \end{equation*}

Estudia los sistemas vibratorios de Timoshenko con historia pasada actuando solamente en una ecuación. Se obtiene la existencia, unicidad, estabilidad exponencial y decaimiento polinomial de un sistema de Timoshenko con historia pasada. Aborda la teoría de semigrupos y propiedades del resolvente de un generador infinitesimal para demostrar la existencia y unicidad de soluciones del sistema planteado, además se estudia que la disipación dada por el término historia es lo suficientemente fuerte para producir estabilidad exponencial, si la velocidad de las ondas son iguales. En el caso que la velocidad de las ondas es diferente, se demuestra que la energía de primer orden decae polinomialmente. / Tesis

Estudia el problema de la controlabilidad exacta en el interior del dominio Ω asociado a la ecuación semilineal parabólica { y′ − ∆y + f(y) = h , en Q | y = 0 , sobre Σ | y(0) = y0 , en Ω. Se demuestra que para cada estado inicial y 0 ∈ L 2 (Ω) y cada estado final z 0 ∈ L 2 (Ω), es posible encontrar una función control h ∈ L 2 (0, T; H−1 (Ω)) que al actuar sobre el sistema conduzca al estado y(x, t) hacia el estado final z 0 en el tiempo T. Además, se demuestra que el control h es Lipschitz continúo sobre los estados finales y se estudia el comportamiento de h cuando f tiende a cero. En la parte final del trabajo se estudia algunas aplicaciones del teorema principal, por ejemplo a los modelos semilineales de Fisher, Kierstead, Slobodkin y Skellam, Fisher - KPP y Jin-ichi-Nagumo. / Tesis

TESIS PARA OPTAR AL GRADO DE MAGÍSTER EN ECONOMÍA / Using a panel dataset that considers a large number of developing and developed economies, we find robust evidence supporting the hypothesis that higher levels of intraregional trade lead to a more diversified exporting structure. Employing a gravit ybased framework described in Felbermayr and Groschl (2013),we construct a time-varying instrument of intraregional exports that allow us to obtain evidence of the causal relationship between integrationanddiversification.

En este trabajo se estudia la existencia y unicidad de solución de la ecuación de la onda con condiciones de frontera del tipo Neumann, con disipación localmente distribuida usando el método de Faedo Galerkin. Además analiza el decaimiento no exponencial de la energía asociado al sistema planteado. Se hacen las estimativas correspondientes basándose en propiedades del espacio donde se encuentra la solución de la ecuación, así como los teoremas correspondientes al sistema estudiado. / Tesis

Ingeniero Civil Matemático / En la presente memoria se estudia la ecuación (I-\Delta)^{\alpha} u = f(x,u) en R^N, con \alpha\in(0,1). Se establece la existencia de una solución débil mediante un resultado del tipo paso de la montaña y usando las propiedades del kernel del operador (I-\Delta)^{-\alpha} se estudia la regularidad de dicha solución. Mediante un argumento de comparación junto con uno de punto fijo se determina que esta solución posee decaimiento exponencial. También se establece la existencia de infinitas soluciones cuando f(x,u)=|u|^{p-1}u utilizando las propiedades del género de Krasnoselskii y finalmente se demuestra una identidad del tipo Pohozaev con la cual se obtiene la no existencia de soluciones positivas en los casos crítico y supercrítico. Se analizan también las principales propiedades de los operadores (-\Delta)^{\alpha} y (I-\Delta)^{\alpha} junto con los núcleos asociados y su relación con el laplaciano. Finalmente se entrega una breve discusión con respecto a la ecuación (-\Delta)^{\alpha} u + u = f(x,u) en R^N y se plantea el problema de estudiar el límite cuando \alpha\to 1^-. Se discute la posible utilidad de la supersolución usada en el argumento de comparación que determina el decaimiento de la solución.

Estudia las propiedades de controlabilidad para la ecuación Korteweg de Vries lineal e un intervalo limitado. Se establece un resultado, de controlabilidad nula para la ecuación lineal a través de la condijo de contorno tipo Durichlet. / Tesis