En este trabajo de memoria se demostró un teorema de existencia para la ecuación de Liouville con condición de borde no lineal: El primer paso en esta demostración consiste en la aproximación del problema original usando un ansatz de la solución que explota en m puntos cuando el parámetro épsilon tiende a cero, más un término de corrección, sobre el cual se obtienen un conjunto de ecuaciones que van a caracterizar la solución del problema principal. En el capítulo 4 se analizó el operador lineal asociado a estas ecuaciones y se encontró un resultado de solubilidad al modificar la ecuación con términos aditivos de coeficientes cj, j = 1, . . . , m. A continuación se estableció la existencia de una solución al problema no lineal con la modificación aditiva y se estudió su comportamiento en función de los puntos singulares. Se demostró que la solución del problema principal, dada por el hecho de encontrar un conjunto de puntos tales que cj = 0, ∀ j, puede ser reducida al análisis de los puntos críticos de una función φm. En el capítulo final se mostró que existen al menos dos de estos puntos críticos y en consecuencia al menos dos soluciones del problema principal que explotan en m puntos.

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La primera parte de la presente memoria busca encontrar la sucesi´on completa de valores propios asociados a funciones propias con simetr´ıa radial para el problema H(u00, u0, x) + hb(x), |ru| rui + c(x)|u| u = − |u| u en BR(0), u = 0 en @BR(0), donde H es un operador el´ıptico ( + 1)-homog´eneo y H, b y c presentan simetr´ıa radial. Para el caso unidimensional la elipticidad permite reformular este problema como un problema cuasilineal del tipo ( + 2)-Laplaciano. Esta reformulaci´on permite usar argumentos de ecuaciones diferenciales ordinarias para encontrar el primer valor propio en un intervalo. Posteriormente un argumento tipo Nehari, basado en teor´ıa del grado, posibilita localizar los k ceros de la k-´esima funci´on propia, construida al tomar la primera funci´on propia entre dos ceros consecutivos. Esta operaci´on puede hacerse un´ıvocamente gracias a un principio del m´aximo ad hoc. Finalmente, cotas apropiadas para las soluciones en dimensiones mayores permiten emplear los mismos argumentos del caso unidimensional. La segunda parte est´a enfocada a resolver una ecuaci´on con no linealidad no Lipschitziana y un operador integral: (− ) u = up − uq en RN, l´ım |x|!1 u(x) = 0, donde u > 0, 2 (0, 1), 0 < q < 1 < p < N+2 N−2 y N 3. Una t´ecnica basada en el principio variacional de Ekeland y el teorema del paso de la monta˜na permite demostrar la existencia de soluciones d´ebiles en H (RN)\Lq+1(RN). Mediante una iteraci´on basada en la teor´ıa Lp, el uso del n´ucleo de Bessel (al sumar u a ambos lados de la ecuaci´on) y un argumento de localizaci´on de Silvestre se prueba la regularidad de las soluciones en H (RN); en particular, que (− ) u puede evaluarse en cada punto de RN. El uso de subsoluciones y supersoluciones apropiadas permite encontrar la tasa de decaimiento de las soluciones cl´asicas del problema. Finalmente, empleando un resultado de simetr´ıa de Terracini para un problema con condici´on de borde Neumann en el semiespacio, junto al trabajo de Caffarelli y Silvestre, se muestra la simetr´ıa radial de las soluciones del problema.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / tema central de esta tesis, para optar al grado de Doctor en Ciencias de la Ingeniería con mención en Modelamiento Matemático, es el estudio de los llamados problemas inversos, el modelamiento matemático de fen ́omenos de interacción fluido estructura y la implementacio ́n num ́erica de un algoritmo de segmentación. Este trabajo se divide en tres partes. En primer lugar (Capítulo 2), estudiamos un problema inverso en biologia. Nos interesamos en la posibilidad de recuperar la densidad de un canal iónico (canal CNG) en el cilio olfatorio, sólo midiendo la corriente producida al activar el sistema mediante la difusión de un agente en el interior del cilio. Este problema es modelado como un problema inverso en que interviene una ecuación de Fredholm lineal, de primer tipo, con un núcleo difusivo. Consideramos una aproximación para el núcleo del operador, obteniendo los siguientes resultados: a) Problema de identificabilidad: Bajo diferentes regularidades de la función de densidad, logramos establecer la inyectividad del operador bajo estudio. b) Problema de estabilidad: Tanto en el caso general, usando la transformada de Mellin, como en un caso particular de los parámetros del problema, logramos establecer la estabilidad, bajo diferentes normas, es decir, la continuidad del inverso del operador. d) Problema de reconstrucción: En el caso de una elección apropiada de los par ́ametros del problema, logramos construir la función inversa. e) Reconstrucción numérica: Utilizando la inversa, construida en la parte anterior, implementamos un algoritmo numerico de reconstrucción de la densidad. Por otra parte, en el Capítulo 3 investigamos la controlabilidad de un submarino inmerso en un volumen infinito de un fluido potencial. Consideramos como control, el flujo del fluido a través de una parte de la frontera del móvil. Se llega a un sistema finito dimensional, similar al sistema de Kirchhoff, en el cual los controles aparecen a través de un término lineal (con derivada temporal) y uno bilineal. Aplicando el método del retorno, establecimos bajo ciertas condiciones geom ́etricas un resultado de controlabilidad local para la posición y velocidad del veh ́ıculo sólo con cuatro controles. Finalmente, en el Capítulo 4 implementamos un algoritmo numérico que permite resolver el problema de segmentación de una imagen, desde un punto de vista relajado, pues permite segmentar la imagen en un nu ́mero de la forma 2^N colores. Implementamos una variante del esquema del funcional de Ambrosio & Tortorelli, el cual aproxima en el sentido de la Γ-convergencia al funcional propuesto por Mumford & Shah, en esencia nuestra variante es inspirada por los trabajos de T. Chan.

Aborda la importancia del método de resolución de problemas problemas de ecuaciones lineales y cuadráticas con ejemplos de la vida diaria en el aprendizaje de matemática de los estudiantes del nivel I de la Universidad Técnica de Manabí. Es una investigación cuantitativa en donde se utiliza un pre-test con ejercicios prácticos, aplicado antes de la capacitación al grupo control y al grupo experimental. Aplica capacitaciones distribuidas por etapas al grupo experimental basadas en la teoría del método heurístico de Polya. Utiliza una prueba de conocimiento pos-test. Emplea una muestra de 113 estudiantes tanto para ambos grupos. Evidencia que la aplicación del método de resolución de problemas con ejemplos de la vida diaria ayuda significativamente el aprendizaje de matemática de forma coherente. / Tesis

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Realiza un estudio de la existencia y unicidad de soluciones para un problema semilineal aosciado a la ecuacipon similineal de Klein-Gordon. Las herramientas básicas que se utilizan son los espacios funcionales vectoriales y resultados de la teoría de semigrupos, como por ejemplo el teorema de Hille-Yosida. También se estudian la caracterización de las soluciones débiles asociadas a un problema semilineal bastante general modelado sobre un espacio de Banach X, probándose la existencia local de soluciones y el comportamiento general de las mismas. / Tesis

Memoria para optar al título de Ingeniero Civil Matemático / El objetivo principal de este trabajo es estudiar un problema inverso geométrico con ruido estocástico, que consiste en una EDP lineal asociada a un funcional no lineal de mínimos. cuadrados. Posteriormente se quiere realizar un proceso de reconstrucción numérica con el objetivo de comparar la solución obtenida de forma determinista con la solución obtenida con ruido estocástico. Para la primera parte de este trabajo nos basamos en el estudio de Allaire y Dapogny [21]. Para la otra parte nos basamos en el método level set introducido por Osher y Sethian [18]. Dentro del enfoque estándar de resolución de problemas inversos geométricos está el parametrizar la forma geométrica y aplicar métodos de regularización a la parametrización. Este enfoque sufre de la limitación que para obtener aproximaciones convergentes se tiene que tener un conocimiento a priori de la estructura y topología de la forma geométrica buscada. Por la no linealidad del funcional, las derivadas de forma de segundo orden son complicadas de trabajar en su forma explícita, motivo por el cual es complicado aplicar un método de level set desde el punto de vista clásico, nos basaremos en la idea de level set para aplicar un método que solo use las derivadas de forma de primer orden. / PIA/Concurso de Apoyo a Centros Científicos y Tecnológicos de Excelencia con Financiamiento Basal AFB170001 CMM UMI 2807 CNRS y Fondecyt 1171854

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Dada una 1-forma analítica real w = a(x,y)dx + b(x,y)dy. ¿Cómo reconocer si la ecuación w=0 posee una integral primera?. El Teorema del Centro nos da ciertas condiciones sobre la singularidad 0 E R cuadrado para que la ecuación Pfaff w=0 posea una integral primera analítica. Lo interesante en la demostración de este teorema (realizada por Robert Moussu en [11]) es como argumentos de la teoría de variable compleja son utilizados para demostrar este teorema de naturaleza real. Lo primero que hacemos es considerar la ecuación complejificada de w=0, esto es, consideramos los puntos (x,y) en el plano complejo C cuadrado. Como estamos interesados en la geometría de las soluciones (comportamiento cualitativo) surge la necesidad de la teoría de foliaciones. Pues, el complejificado de w induce una foliación singular de dimensión compleja 1, cuyas hojas localmente son las curvas solución del campo holomorfo (dual de la 1-forma holomorfa). El propósito siguiente es estudiar esta foliación asociada al campo holomorfo, pero lastimosamente no tenemos mucha información al respecto, sin embargo, mediante la técnica del Blow-up de la foliación en el punto 0 E C cuadrado, logramos obtener suficiente información acerca de esta foliación. Información que junto con el Grupo de Holonomía de una hoja y el Teorema de Mattei-Moussu nos conducen a la conclusión del teorema, la existencia de una integral primera para el campo holomorfo. Finalmente se sigue que la integral primera buscada para el campo analítico real es la parte real de la integral primera obtenida del campo holomorfo. / Tesis