Esta dissertação apresenta os resultados da aplicação de uma sequência didática que teve como objetivo o desenvolvimento de atividades que priorizassem a abordagem geométrica no ensino dos Números Complexos. A pesquisa foi realizada ao longo de nove encontros semanais no Instituto Federal Sul-rio-grandense, em Pelotas (RS), em uma turma de primeiro ano do Ensino Médio Técnico de Eletrônica, na modalidade subsequente. Inicialmente, fizemos a revisão da temática valendo-nos da análise dos Parâmetros Curriculares Nacionais, de diversos livros didáticos e também de pesquisas sobre o tema. Para a aplicação das atividades em sala de aula, consideramos a associação de pares ordenados e pontos do plano e também a associação da soma e da subtração dos pares ordenados com a soma e subtração de vetores. Definimos a unidade imaginária i como o ponto (0,1) e, posteriormente, trabalhamos as operações na forma algébrica. O referencial teórico que deu suporte a este trabalho baseou-se na Teoria de Registros de Representação Semióticas, de Raymond Duval, a qual trata dos aspectos cognitivos relacionados à aquisição de conhecimentos matemáticos. A coleta de dados foi feita por meio de anotações feitas pela professora pesquisadora, pela filmagem dos encontros e pelo material produzido pelos alunos durante as aulas. Após o término dos nove encontros, os alunos realizaram uma avaliação escrita na qual constatamos que os resultados obtidos mostraram-se satisfatórios. Também verificamos o empenho dos alunos durante a resolução das diferentes tarefas que deram suporte a esta pesquisa. / This master’s degree thesis shows the results from the application of a didactic sequence, which focused on the development of activities regarding Complex Numbers. The research was carried out during nine weekly meetings at the Instituto Federal Sul-rio-grandense in Pelotas/RS, in a 1st year class from the Secondary Technical School in Electronics. Initially, a review of the theme was carried out using the analysis of the National Curriculum Parameters for secondary schools not only from various course books but also from studies regarding the topic. In order to use the activities in the classroom, the association of ordered pairs and their respective points plan were considered as well as the association of the sum and subtraction of the ordered pairs with the sum and subtraction of vectors. The imaginary unit i was defined as point (0,1) and after this, the operations in algebraic form were dealt with. This work was based on Raymond Duval’s Semiotic Representation Register Theory, which deals with the cognitive aspects related to the acquisition of mathematical knowledge. The data collection was carried out using the notes made by the researcher, by filming the meetings and using the material produced by the students during the classes. After the 9 (nine) meetings, students carried out a written assessment in which the obtained results were considered satisfactory. The effort made by the students was also verified during the performance of different tasks, which supported this research.

A presente pesquisa foi desenvolvida para entender como ocorre o processo de ensino e aprendizagem da Combinatória, no caso particular dos problemas de contagem de agrupamentos de objetos, considerado difícil por professores e alunos; e para elaborar e experimentar uma proposta didática, com potencial para trazer algo novo ao processo. Com base na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, delineou-se os esquemas de um grupo de alunos do ensino médio: resolvem problemas de contagem direta, mas não resolvem os que exigem multiplicação e divisão. Com a análise de outros trabalhos correlatos, pode-se concluir que o ensino tem melhores chances de iniciar com a resolução de problemas, e não a partir de formulários e definições. Consequência deste estudo, foi organizada e posta em prática uma sequência didática que parte da vivência do “jogo de pôquer”. Entende-se o baralho (sem coringas) como um conjunto de 52 objetos, a partir do qual devemos formar agrupamentos de 5 objetos (“mãos”). Os problemas propostos gerados pelo jogo podem ser resolvidos com as quatro operações aritméticas. Ao final, constatou-se evolução nos esquemas dos alunos, que passaram a utilizar a multiplicação com significado e a utilizar uma organização gráfica adequada para as soluções. Mas ainda apareceram erros no uso da divisão, que foram analisados para poder-se oferecer ao professor/leitor, compreensão das dificuldades. / This research was conducted to understand how the teaching and learning of Combinatorics is, in the particular case of counting issues and groupings of objects, which is considered difficult by teachers and students. Also aims to develop and experience a didactic proposal, with the potential to bring something new to the process. Based on Vergnaud's theory of Conceptual Fields, it was outlined schemes of a group of high school students: they solve problems of direct counting, but do not solve problems that require multiplication and division. With the analysis of other related work, we can conclude that a better way of teaching would be starting with problem solving, and not from formulas and definitions. As a result of this study a teaching sequence that takes advantage of the experience of the poker game, was organized and implemented. It is understood the deck (without wildcards) of 52 cards, from which we form groups of 5 objects ("hands"). The proposed problems generated by the game can be solved with the four arithmetic operations. At the end of our experience, we discover changes in the schemes of the students, who start using multiplication meaning and an organization suitable for finding solutions. We notice that still errors appeared in the use of division, which were analyzed in order to offer the teacher / reader the understanding of the difficulties of the students.

Neste trabalho discutimos a inserção de tópicos básicos de Programação Linear em duas variáveis no ensino médio e apresentamos os resultados da aplicação de uma sequência didática abordando este tema. A aplicação da sequência foi realizada ao longo de oito encontros semanais no Centro de Ensino Médio Pastor Dohms – Unidade Camaquã – na modalidade de oficinas no turno inverso às aulas. Nossa sequência didática priorizou atividades que objetivaram levar os alunos a interpretar resultados e estabelecer conjecturas em detrimento à resolução mecanizada de exercícios. Elaboramos, para a aplicação da sequência, cinco problemas e através deles, desenvolvemos toda a teoria necessária para o entendimento e resolução das atividades. Usamos o software GeoGebra como meio facilitador para que os alunos conjecturassem sobre o teorema básico da Programação Linear. A elaboração e as análises dos resultados da aplicação da sequência didática basearam-se na Teoria de Registros de Representação Semióticas, de Raymond Duval, que trata dos aspectos cognitivos relacionados às representações semióticas e à aquisição de conhecimentos matemáticos. A coleta de dados foi feita através de anotações, filmagens dos encontros e do material produzido pelos alunos durante as aulas. Ao final, da pesquisa concluímos que a abordagem do conteúdo Programação Linear na educação básica pode dar significado a conteúdos que, para os estudantes parecem desconexos, além de aumentar o espectro de problemas passíveis de resolução pelos alunos do ensino médio. / In this paper we discuss the integration of basic topics of Linear Programming in two variables in to high school and we present the results of applying a sequence of didactic addressing this theme. The Mathematics application of the sequence was accomplished with eight weekly meetings at the Pastor Dohms High School in Camaquã, in workshops dummy the opposite shift. Our didactic sequence prioritized activities that were designed to take the student to interpret results, and not merely through mechanic exercises. To apply the sequence, we developed five exercises and through them develop all necessary theory for solving the problems. We used the GeoGebra software to facilitate the learning of the basic linear programming theorem. This program was based on the theory of representation registers due to Raymond Duval the addresses he cognitive aspects of knowledge acquisition. The data was collected from notes, filmed meetings and work produced by students in class. At the end of the study conclude that the linear programming approach of content in basic education can give meaning to the contents that seem unconnected to students in addition to increasing the range of problems solvable by students.

Podemos utilizar na disciplina de Matemática vários softwares que auxiliam a constr uir, desconstr ui r, visualizar conceitos, experimenta r e sim ular a partir da manipulação dessas fe rramentas, o que instiga à concepção de ferramentas que também proporcionem tàci I idades aos educado res no acompa nhamento do trabalho dos aprendizes. Nessa pe rspectiva, o objetivo geral desse trabalho é desenvolver um corretor automático de exercícios gerados por um software matemático, que apresente em tela o gabari to e o resultado com o percentual de erros e acertos, na tentativa de co ntrib ui r com uma nova possi bi I idade de aval i ação da aprendizagem. O co rretor au tomá ti co o bjeto desse trabalh o, recebeu o nome de SACAEM- Sistema de Avaliação e Correção de Atividades no Ens ino de Matemática, este fará a leitura das atividades geradas pelo GeoGebra, escolh ido porque além de ser um software li vre, possibilita a conversão de seus resultados no fo rmato XM L - eXtensih/e Mar!atp Language - Linguagem de Marcação Extensível. Para tanto, a pesquisa desenvolvida no presente trabalh o, quanto a sua natu reza, é c lassificada como tecno lógica quanto aos seus objetivos , à pesquisa é descri tiva, pois são feitas observações, análises e registros a respeito do desenvolvimento do corretor automático, quanto aos procedimentos técnicos pode ser c lassificada como bibliográfica e experimental, pois visa elaborar e fo rmular novos e lementos , simular eventos, fazer estudos em laborató rio utilizando protótipos. Após a descrição do desenvolvimento do corretor automático proposto, detalhando sua a rq uitetu ra, os diagramas de processo de leitura, a rmazenamento e correção, as ferramentas uti lizadas pa ra a construção deste, bem como a modelagem do banco de dados, fo ram elaboradas seis atividades uti lizando para realização dos testes. A eficiência do co rretor automático fo i medida nestas atividades e para demonstra r a aceitação do SACAEM, sete professores de Matemática responderam ao questionário de avaliação da ferramenta, deixando c lara a receptividade da ferramenta por estes. O grande diferencial do SACA EM é a possibi I idade da correção de atividades livremente desenvolvidas pelo aluno , sem que o professo r envie um arquivo inicialmente respondido pelo professor. Além de ser uma ferramenta acessível mesmo ao professor que não possua conexão com a Internet e que pode auxiliar no árduo tra balho de corrigir questôes subjetivas de Matemática, analisando as diferentes fo rmas que os alunos têm de expressar o caminho percorrido no alcance da aprendizagem. / We can use in Mathematics various software that help build , deconstruc t , visualize concepts, ex periment and simulate from the handling of these tools, which instigates the des ign tools also provide fac ilities to educators in monitoring the work of appre ntices. Tn th is perspecti ve, the aim o f this study is to develop an automatic broker exerc ises generated by a mathematical software, to present on screen feedback and results with the percentage of tri al and error in an attempt to contribute to a new possib ility of assessment of learning. Automatic broker was named SACAEM - Evaluation System and Activities Correction in Teaching of Mathematics, this will read the activities generated by GeoGebra, as this enables the conversion of its results in XML fonnat - eXtensible Markup Lang uage - Markup Language Extens ible. Therefore, the research develo ped in this work, as to its nature, is classified as technological as its objectives, the research is descriptive, because observati ons are made, anal yzes and records regard ing the development of the auto broker, as the technical procedures can Tt is class if ied as bibl iographic and ex perimental. Tt is the description of the development of the pro posed autocorrect made, detail ing its architecture, the reading process diagrams, storage and correcti on, the tools used to build this, and database modeling. For the tests, six activities have been prepared whe re the autocorrect effic ie ncy was measured and to demonstrate accepta nce seven mathematics teachers answered the questi onn aire assessment tool. Fin ally, the great advantage of SACAEM is the possib ility of correcti on activities freely developed by th e student, not the teacher senda fi le initially answered by the teacher. Bes ides being a handy tool even the teacher who does not h ave T nternet connection and can assist in the hard work to correct subjective questi ons of mathematics.

Esta pesquisa foi regida pela seguinte questão: quais são as contribuições do uso de software de matemática dinâmica para a compreensão e solução de questões de geometria e contagem da OBMEP? Em termos pedagógicos, o objetivo foi trabalhar com questões desafiadoras com apelo ao dinamismo, assim o banco de questões da OBMEP1 foi escolhido por possuir questões bem elaboradas e com enunciados claros e desafiadores. Pretendeu-se, portanto, apresentar o software GeoGebra2 como recurso para resolver questões de geometria e de contagem e, analisar a produção dos alunos, avaliando como o GeoGebra contribuiu para a construção do conhecimento matemático. A metodologia utilizada foi a pesquisa qualitativa para produzir um Experimento de Ensino. As atividades foram desenvolvidas no contra turno com alunos do 7º e 8º ano do Ensino Fundamental em uma escola municipal de Gravataí, no ano de 2017. A sequência didática produzida nesta pesquisa é o produto didático da dissertação. A coleta de registros foi feita a partir de gravações de áudio e vídeo, diário de campo e arquivos de GeoGebra que contribuíram para o desenvolvimento do trabalho. A análise dos dados coletados demonstrou que o GeoGebra é interessante para desenvolver o raciocínio em questões em que a prova do arrastar (BORBA, DA SILVA, GADANIDIS, 2015, p.23) seja necessária. Assim, o software contribuiu para a construção de conceitos e compreensão de propriedades em figuras geométricas sendo possível verificar o comportamento dessas figuras conforme a utilização dos recursos do software. O GeoGebra também demonstrou ser útil para organização de ideias em problemas de contagem. No entanto, deve-se cuidar para que não haja a domesticação do software, ou seja, para não o utilizar no lugar de outras tecnologias que já são satisfatórias. / This research was conducted by the following question: What are the contributions of the use of dynamic mathematic software for understanding and solving OBMEP geometry and counting questions? In pedagogical terms, the objective was to work with challenging questions with a call for dynamism, so the OBMEP3 questions database was chosen because it has well elaborated math problems with clear and challenging statements. It was intended, therefore, to present GeoGebra4 software as a resource to solve geometry and counting questions and to analyze the students' production, evaluating how did GeoGebra contribute to the construction of mathematical knowledge. The methodology used was the qualitative research to produce a Teaching Experiment. The activities were developed in the inverse shift with students of the 7th and 8th years of elementary school in a municipal public school in Gravataí, in the year 2017. The didactic sequence produced in this research is the didactic product of the dissertation. The collection of records was made from audio and video recordings, field notes and GeoGebra files that contributed to the development of the work. The analysis of collected data showed that GeoGebra is interesting to develop the reasoning in questions where the drag test (BORBA, DA SILVA, GADANIDIS, 2015, p.23) is necessary. Thus, software contributes to the construction of concepts and understanding of properties in geometric figures and it is possible to verify their behavior according to the use of software resources. GeoGebra has also been shown to be useful for organizing ideas into counting problems. However, care must be taken that there is no domestication of the software, in other words, software should not be used in place of other technologies that are already satisfactory.

Esta dissertação apresenta uma experiência de abordagem do conceito de ângulo a partir de sua mobilização em diversos contextos, com a utilização de diferentes materiais manipulativos. O estudo foi desenvolvido com alunos do sétimo ano do Ensino Fundamental de uma escola pública municipal de Canoas, no Rio Grande do Sul. Inspirada pelo desenvolvimento do conceito de ângulo por abstração progressiva proposta por Michael Mitchelmore e Paul White e embasada na teoria da abstração reflexionante de Jean Piaget, foram desenvolvidas e analisadas atividades exploratórias em diferentes contextos e utilizando materiais manipulativos diversos para a construção do conceito de ângulo, com base nesses referenciais teóricos. Os dados foram coletados através de gravação em áudio e vídeo, fotografias das produções dos alunos e anotações em um diário de bordo. A análise dos dados permitiu concluir que a mobilização da noção de ângulo em diferentes contextos e a utilização de materiais manipulativos contribuíram para a construção do pensamento geométrico e conceito de ângulo. / This work presents an experience in approaching the angle concept from its mobilization in different contexts and by the use of different manipulative materials. The study was developed with seventh grade students from a public school in the city of Canoas, Rio Grande do Sul. Inspired by the development of angle concepts by progressive abstraction proposed by Michael Mitchelmore and Paul White and based on the Jean Piaget's reflective abstraction theory, exploratory activities were developed and analyzed in different contexts and using several manipulative materials for the construction of the angle concept, based on these references. The data were collected through video and audio recording, students' productions photographs and logbook notes. The analysis allowed us to conclude that the mobilization of the angle concept in different contexts and the use of manipulative materials contributed to the construction of the geometrical thinking and concept of angle.

Este trabalho tem a finalidade de apresentar uma proposta de estudo que procura analisar se a compreensão da noção de equivalência é um conceito subsunçor necessário para a Aprendizagem Significativa de equações do primeiro grau. À luz da teoria de David Ausubel, procuramos investigar se atividades que relacionam o equilíbrio existente em uma balança de dois pratos com uma igualdade entre os termos de uma equação podem funcionar como organizadores prévios facilitadores da Aprendizagem Significativa dos estudantes. A pesquisa foi desenvolvida em uma turma do oitavo ano do Ensino Fundamental, em uma escola da rede municipal de ensino de Porto Alegre, a partir de uma abordagem qualitativa, utilizando como método o estudo de caso. A interpretação dos dados resultantes foi realizada a partir da elaboração, da aplicação e da análise de uma sequência didática. As atividades foram realizadas a partir de situações propostas por dois Objetos Digitais de Aprendizagem que utilizam a balança de dois pratos, como suporte representacional. Assim, após analisarmos os resultados obtidos ao longo das sessões que compunham a sequência didática desenvolvida, percebemos que a noção de equivalência é um conceito fundamental para a Aprendizagem Significativa de equações do primeiro grau, mas não é o único. Além disso, concluímos, através da análise das atividades realizadas, que a noção de equivalência, existente em uma equação, pode ser considerada um conceito subsunçor necessário para ancorar a aprendizagem de equações do primeiro grau e, desta forma, proporcionar a Aprendizagem Significativa dos estudantes. / This work aims at presenting a study proposal on the possibility of usage of the concept of equivalence as a subsumer concept to the development of Meaningful Learning of first degree equations. In the light of David Ausubel’s theory of learning, we try to investigate whether activities that relate the existing balance in a twin-pan balance to the equality between the terms of an equation could work as advance organizers to make students’ Meaningful Learning easier. The work was developed in a seventh year of elementary school class, at a municipal school in Porto Alegre, through a qualitative approach, having as a method a case study. Through the creation, application and analysis of an instructional sequence we have carried the analysis and interpretation of the resulting data. The activities were done based on the situations proposed by two Digital Learning Objects that used a twin-pan balance as a representational support. Thus, after analysing the results obtained in the sessions that were part of the instructional sequence developed, we perceived that the notion of equivalence is a fundamental concept to the Meaningful Learning of first degree equations, but it is not the only one. Moreover, we have concluded, through the activities performed, that the understanding of equivalence existing in an equation can be considered a subsumed concept necessary to anchor the new learning and, therefore, provide Meaningful Learning of first degree equations.

Este trabalho busca, num primeiro momento, caracterizar a problemática aprendizagem do número real na Escola Básica, aplicando questionários-sondagem, analisando livros didáticos e comparando-os com os Parâmetros Curriculares Nacionais. Num segundo momento desenvolvemos um efetivo estudo de Matemática: as maneiras mais comuns de se construir números reais e a equivalência entre todas elas. Mostramos também como, a partir de cada uma destas abordagens, chega-se à representação decimal de um número real positivo. Finalizamos com uma proposta pedagógica para o Ensino Fundamental, e uma experiência didática, numa 8ª série, de construção de um número real via medição exata de segmentos de reta. / The first part of this work is an attempt to characterize the problem of learning the concept of real number in Elementary School, making use of questionnaires and analyzing school books as well as the National Parameters for the teaching of Mathematics. The second part deals with the Mathematics involved in the construction of the real numbers, namely, different ways of constructing this set and also the equivalence between all those constructions. We also show how each one of those constructions leads to the decimal representation of a positive real number. The last part of this work consists of a pedagogic proposal for the construction of the real number making use of the (exact) measure of a line segment and the description and conclusions of its implementation in an 8th year of Elementary School.

Nesta dissertação destacamos nossa preocupação com o ensino e aprendizagem da álgebra elementar, sempre muito presente em nossa prática docente. Nosso principal objetivo foi a elaboração, implementação e validação de uma proposta didática para o desenvolvimento de um ensino que promovesse a compreensão das operações básicas com expressões algébricas no Ensino Fundamental. De acordo com os referenciais teóricos utilizados buscamos construir uma proposta que contemplasse a produção de significados para a atividade algébrica em um ambiente de aprendizagem cooperativa, fazendo uso de representações múltiplas e de materiais manipulativos juntamente com a resolução de situações-problema. A implementação da proposta foi desenvolvida em duas fases: a primeira, enfocando o uso das letras em álgebra e a segunda voltada para a produção de significados para as operações com expressões algébricas. Apresentamos o resultado da investigação realizada com um grupo de alunos do segundo ano do terceiro ciclo (equivalente à 7ª série) do Ensino Fundamental numa escola da Rede Municipal de Ensino de Porto Alegre. Este estudo mostrou que a proposta implementada contribuiu para o aprimoramento do pensamento algébrico dos alunos que produziram significados para as operações realizadas com expressões algébricas, adquiriram desenvoltura no uso das letras e compreenderam algumas propriedades algébricas, dentre elas a comutatividade da multiplicação e a distributividade da multiplicação em relação à adição, além de estabelecerem condições para a realização da adição e subtração entre expressões algébricas. Notamos, ainda, o progresso dos alunos quanto à autonomia presente nos processos de observação, levantamento de hipóteses, elaboração de conclusões e de justificações. Concluímos, destacando a relevância desta pesquisa no âmbito do trabalho do professor, relacionada à construção de uma atitude de busca de compreensão dos processos de aprendizagem de seus alunos. / This work emphasizes the concern about teaching and learning elementary algebra. The main purpose was the elaboration, implementation and legalization of a didatic proposal having in mind a teaching development that would promote the understanding of basic expressions with algebraic operations in the Elementary School. Based on the chosen theoretical references forementioned, we intended to motivate students to learn algebra in a cooperative directed way through the use of multiple representative allusions with a wide deversity of symbolic, visual and material resources. This proposal implementation was developed in two phases: First it emphasized the algebra letter usage and second the significance production related to algebraic expressions. The accomplished investigation result was presented with a first grade group of students in a county school. This investigation showed that the implemented proposal improved the students algebraic thinking, also they started giving significance to the accomplished operation with algebraic expressions and acquired agility in using letters and understanding some of the algebraic properties including commutation in multiplication and distributions related to multiplication and additions besides establishing conditions to elaborate addition and subtraction among algebraic expressions. It was also noticed the students progress concerning the observation process, hipothesis, propositions, feeling of accomplisments and justifications autonomy. This research took into account the teacher’s work considering the construction of an inquisitive searching attitude and a comprehensive understanding.

Apresentamos um projeto pedagógico interdisciplinar aplicado a um curso técnico em eletrônica. A parte central deste projeto consistiu na elaboração de um texto didático que apresenta tópicos de matemática com muitas aplicações na eletrônica básica. O objetivo principal deste texto é não só apoiar o trabalho do professor em sala de aula, mas também ser usado como bibliografia de consulta individual no decorrer da formação técnica. A elaboração desse texto envolveu várias etapas, entre elas destacamos uma sondagem realizada para melhor conhecer o perfil do público-alvo. O projeto pedagógico foi aplicado em uma turma piloto e seus resultados mostraram-se francamente positivos. / We present an interdisciplinary pedagogical project applied in a technical electronics course. The central part of this project consists of a didactic text matching mathematical topics for beginning electronics students. Its principal aim is to aid the class work, but it is conceived in such a way that it could be used by the student during further technical courses. The total project involves many stages. Between them, we mention the student profile study and the selection of electronics examples. This pedagogical project was applied in a pilot population made of 27 students and the results are very favorable