Dans cette thèse nous nous intéressons aux propriétés qualitatives et quantitatives des solutions de quelques équations d'ondes en milieux dispersifs ou dispersifs-dissipatifs. Dans une première partie, nous étudions le problème de Cauchy associé aux équations de Benjamin-Ono généralisées. A l'aide de transformées de jauge, combinées avec des outils d'analyse harmonique, nous prouvons des résultats concernant le caractère localement bien posé pour des données initiales de régularité minimale dans l'échelle des espaces de Sobolev. Dans une seconde partie, nous étudions le problème de Cauchy pour des versions dissipatives des équations de Benjamin-Ono et de Korteweg-de Vries. Nous mettons en évidence l'influence des effets dissipatifs sur ces équations en donnant des résultats optimaux sur leur caractère bien ou mal posé. Ceux-ci sont obtenus en travaillant dans des espaces de type Bourgain adaptés à la partie dispersive-dissipative. Pour finir nous étudions le comportement asymptotique des solutions des équations de KdV dissipatives, lorsque celles-ci existent pour tout temps, en calculant explicitement les premiers termes du développement asymptotique dans de nombreux espaces de Sobolev

Dans cette thèse nous nous intéressons aux propriétés qualitatives et quantitatives des solutions de quelques équations d'ondes en milieux dispersifs ou dispersifs-dissipatifs. Dans une première partie, nous étudions le problème de Cauchy associé aux équations de Benjamin-Ono généralisées. A l'aide de transformées de jauge, combinées avec des outils d'analyse harmonique, nous prouvons des résultats concernant le caractère localement bien posé pour des données initiales de régularité minimale dans l'échelle des espaces de Sobolev. Dans une seconde partie, nous étudions le problème de Cauchy pour des versions dissipatives des équations de Benjamin-Ono et de Korteweg-de Vries. Nous mettons en évidence l'influence des effets dissipatifs sur ces équations en donnant des résultats optimaux sur leur caractère bien ou mal posé. Ceux-ci sont obtenus en travaillant dans des espaces de type Bourgain adaptés à la partie dispersive-dissipative. Pour finir nous étudions le comportement asymptotique des solutions des équations de KdV dissipatives, lorsque celles-ci existent pour tout temps, en calculant explicitement les premiers termes du développement asymptotique dans de nombreux espaces de Sobolev / This thesis deals with the qualitative and quantitative properties of solutions to some wave equations in dispersive or dispersive-dissipative media. In the first part, we study the Cauchy problem for the generalized Benjamin-Ono equations. By means of gauge transforms combined with some harmonic analysis tools, we prove some local well-posedness results for initial data with minimal regularity in Sobolev spaces. In the second part, we study the Cauchy problem for some dissipative versions of the Benjamin-Ono and Korteweg-de Vries equations. We show the influence of the dissipative effects and prove sharp well and ill-posedness results. This is obtained by working in suitable Bourgain's spaces, adapted to the dispersive-dissipative part of the equation. Finally, we study the asymptotic behavior of solutions to the dissipative KdV equations. We explicitly compute the first terms of the asymptotic expansion in Sobolev spaces

Cette these est consacre l'etude mathematique de la<br />propagation non-linaire d'ondes haute-frequence, dans des milieux <br />inhomognes constitues de deux matriaux d'indice de refraction constant et<br />separes par une interface plane. La presence de l'interface ncessite<br />de decrire les phnomenes de reflexion-transmission a la traverse de la<br />discontinuite. L'approche choisie releve de l'optique gometrique.<br />L'exemple typique, etudie, est le systeme d'quations Maxwell-Lorentz<br />complete de diverses quations dcrivant la polarisation de chaque milieux.<br /><br />La nouveaute de ce travail vient du caractere dispersif des quations<br />et de la prise en compte des quations de bord exactes.<br />Dans ce cadre la relation de dispersion ou variete caractristique n'est pas<br />homogne ce qui implique une reelle dpendance des vitesses de groupe<br />vis-a-vis de la taille des frequences et pas seulement de leur direction.<br />Au niveau du probleme limite ceci a pour consquence la creation de<br />nouvelles phases caracterisriques issues des intractions<br />non-lineaires des phases existentes avec le bord.<br /><br />Le premier chapitre re-situe la problematique dans un contexte<br />historique et mathematique. Il y est egalement donne un resume des<br />trois autres chapitres. Le second chapitre, coeur de la these,<br />concerne l'analyse de l'Optique Gomtrique pour le problme de<br />transmission avec des dveloppements assymptotiques tous ordres. Il<br />contient une analyse precise de la generation non-linaire des phases<br />au bord et justifie rigoureusement l'approximation du<br />developpement. Il donne galement un nouveau traitement des modes evanescents.<br /> <br />Dans le meme contexte geomtrique, le troisime chapitre aborde le<br />probleme de l'Optique Diffractive avec la recherche de solutions<br />assymptotiques approchees a tous ordres pour des temps de propagation plus long. <br /><br />Enfin, dans un quatrieme chapitre sont construits et testes des shemas<br />numriques 1D quasi linairement exacts pour simuler la propagation (en variable<br />d'espace) en temps long d'ondes issues d'un bord.

L'analyse numérique se développe en un outil puissant dans l'étude des équations aux dérivées partielles (EDPs), permettant d'illustrer des théorèmes existants et de trouver des conjectures. En utilisant des techniques sophistiquées, des questions apparaissant inaccessibles avant, comme des oscillations rapides ou un blow-up des solutions, peuvent être étudiées. Des oscillations rapides dans les solutions sont observées dans des EDPs dispersives sans dissipation ou les solutions des EDPs correspondantes sans dispersion ont des chocs. Pour résoudre numériquement ces oscillations, l'application de méthodes efficaces introduisant peu de dissipation numérique artificielle est impérative, en particulier pour l'étude d' EDPs en plusieurs dimensions. Comme les EDPs étudiées dans ce contexte sont typiquement raides, l'intégration efficace dans le temps représente le principal problème. Une analyse des intégrants exponentiels et symplectiques a permis de déterminer les méthodes les plus efficaces pour chaque EDP étudiée. L'apprentissage et l'utilisation de techniques de parallélisation de codes numériques permet de nos jours de grandes avancées, plus précisément dans ce travail d'étudier numériquement la stabilité des solutions et l'apparition de blow-up dans l'équation de Davey-Stewartson.