L'objet de cette thèse est l'étude mathématique de familles d'espaces-temps satisfaisant aux équations d'Einstein de la Relativité Générale. Deux approches sont considérées pour cette étude. La première partie, composée des trois premiers chapitres, examine les propriétés géométriques des espaces-temps d'Emparan-Reall et de Pomeransky-Senkov, de dimension 5. Nous montrons qu'ils contiennent un trou noir, dont l'horizon des événements est à sections compactes non-homéomorphes à la sphère. Nous en construisons une extension analytique, et prouvons que cette extension est maximale, et unique dans une certaine classe d'extensions pour les espaces-temps d'Emparan-Reall. Nous établissons ensuite le diagramme de Carter-Penrose de ces extensions, puis analysons la structure de l'ergosurface des espaces-temps de Pomeransky- Senkov. La deuxième partie est consacrée à l'étude de données initiales, solutions des équations des contraintes, induites par les équations d'Einstein. Nous effectuons un recollement d'une classe de données initiales avec des données initiales d'espaces-temps de Kerr-Kottler-de Sitter, en utilisant la méthode de Corvino. Nous construisons, d'autre part, des métriques asymptotiquement hyperboliques en dimension 3, satisfaisant les hypothèses du théorème de masse positive à l'exception de la complétude, et ayant un vecteur moment-énergie de genre causal arbitraire.

Les travaux présentés dans ce mémoire portent<br />essentiellement sur l'étude d'opérateurs elliptiques<br />non-linéaires sur des variétés Riemanniennes non-compactes.<br />Ils sont motivés par des questions naturelles provenant de la géométrie Riemannienne ou de la<br />relativité générale.<br /> Le point central étant la recherche et l'étude de<br />métriques d'Einstein (Riemanniennes ou Lorentziennes).

Dans ma thèse, je décris les feuilles stables et instables pour le flot géodésique sur l’espace des géodésiques non-errant de type espace d’un espace-temps de Margulis et je démontre des propriétés de contraction des feuilles sous le flot. Je montre aussi que la monodromie d’un espace-temps de Margulis est une représentation Anosov dans un groupe de Lie non semisimple. En outre, je montre que les applications limites et reparamétrisation varient analytiquement. Enfin, à l’aide de la propriété métrique Anosov, nous définissons la métrique de pression sur l’espace modulaire des espaces-temps de Margulis sans pointes et je démontre qu’elle est définie positive sur les sections d’entropie constante. / In my thesis I describe the stable and unstable leaves for the geodesic flow on the space of non-wandering spacelike geodesics of a Margulis Space Time and prove contraction properties of the leaves under the flow. I also show that monodromy of Margulis Space Times are “Anosov representations in non semi-simple Lie groups”. Moreover, I show that the limit maps and reparametrizations vary analytically. Finally using the metric Ansosov property we define the Pressure metric on the Moduli Space of Margulis Space Times without “cusps” and show that it is positive definite on the constant entropy sections.