Heltalen och polynom tycks ha flera gemensamma egenskaper. En av heltalens egenskaper är aritmetikens fundamentalsats som säger att alla heltal kan skrivas som en produkt av primtal. Polynomen har en motsvarande egenskap, faktorsatsen, som innebär att varje polynom kan skrivas som en produkt av rotfaktorer. Denna och flera andra egenskaper som heltal och polynom har som motsvarar varandra beror inte på en slump utan på att de är besläktade. Egenskaper hos många välanvända mängder, de reella talen, de rationella talen samt heltalen kan beskrivas med gruppteori. Dessa egenskaper gäller endast över en binär operation men många intressanta och användbara egenskaper kräver två operationer. Inom denna uppsats undersöks den algebraiska strukturen ringar där många egenskaper som tas för givet beror på speciella egenskaper och därmed inte alltid finns närvarande. Efteråt studeras en speciell typ av ring kallad Euklidiska domän. Där många egenskaper som tillhör heltalen existerar i generaliserade former inom denna ring. Detta kapitel innehåller bevis som har generaliserats. Även polynomens struktur studeras och visar sig vara en Euklidisk domän. I studien används ett annat tillvägagångsätt än den traditionella där det bevisas genom idealer och PID. Uppsatsen avslutas med en kort studie av flervariabelpolynom där de egna bevisen finns varvid det ses att flervariabelpolynom med samma mängdvariabler är isomorfa.

I detta examensarbete kommer vi titta på möbiustransformationer samt klassisk Euklidisk geometri i planet. Vartefter vi kommer titta närmare på deras relation och se att mycket av det vi gör med möbiustransformationer kan vi göra med Euklidisk geometri. Slutligen kommer vi titta på Inversioner och några specifika inversionsproblem.

Today’s society requires that transformation of information is done effectively and correctly. In other words, the received message must correspond to the message being sent. There are a lot of decoding methods to locate and correct errors. The main purpose in this degree project is to study one of these methods based on the Euclidean algorithm. Thereafter an example will be illustrated showing how the method is used when decoding a three - error correcting BCH code. To begin with, fundamental concepts about coding theory are introduced. Secondly, linear codes, cyclic codes and BCH codes - in that specific order - are explained before advancing to the decoding process. The results show that correcting one or two errors is relatively simple, but when three or more errors occur it becomes much more complicated. In that case, a specific method is required. / Dagens samhälle kräver att informationsöverföring sker på ett effektivt och korrekt sätt, det vill säga att den information som når mottagaren motsvarar den som skickades från början. Det finns många avkodningsmetoder för att lokalisera och rätta fel. Syftet i denna uppsats är att studera en av dessa, en som baseras på Euklides algoritm och därefter illustrera ett exempel på hur metoden används vid avkodning av en tre - rättande BCH - kod. Först ges en presentation av grunderna inom kodningsteorin. Sedan introduceras linjära koder, cykliska koder och BCH - koder i nämnd ordning, för att till sist presentera avkodningsprocessen. Det visar sig att det är relativt enkelt att rätta ett eller två fel, men när tre eller fler fel uppstår blir det betydligt mer komplicerat. Då krävs någon speciell metod.