L'étude des perturbations d'opérateurs est un thème qui apparaît naturellement, sous de diverses formes, dans de nombreux domaines de l'analyse, comme l'analyse spectrale où les équations différentielles. Un rôle particulier dans de telles démarches est joué par les perturbations compactes, qui ont des comportements très différents vis-à-vis des diverses propriétés opératorielles usuellement étudiées. Ainsi par exemple, l'ensemble de la théorie de Fredholm porte sur des invariants aux perturbations compactes très importantes, tels que l'indice Fredholm, mais, par contre, d'autres aspects, comme la décomposition d'une contraction en partie unitaire et complètement non unitaire, sont violemment "sensibles" aux perturbations compactes.<br />Dans la thèse on s'intéresse à plusieurs propriétés opératorielles qui ne sont pas en général invariantes aux perturbations compactes, en essayant de caractériser les situations où l'on a l'invariance pour diverses classes de perturbations compactes, et parallèlement de décrire certaines situations "pathologiques".<br />Ainsi les questions investiguées sont du type: quand est-ce qu'une perturbation d'une isométrie agissant sur un espace de Hilbert H par un opérateur compact (ou de rang fini) est encore une isométrie, ou au moins une contraction? Si tel est le cas, dans quelles conditions la perturbation d'une isométrie pure est encore une isométrie pure? Que peut-on dire dans le cas ou l'on remplace l'isométrie que l'on perturbe par un opérateur arbitraire à image fermée?<br />La première partie de la thèse (les chapitres deux et trois) est dédiée à l'étude des perturbations de rang 1 d'une isométrie V dans un espace de Hilbert H qui sont encore des isométries, du point de vue de la décomposition de Wold, plus précisément on s'intéresse aux situations particulières où une perturbée de rang 1 d'une isométrie pure est encore une isométrie pure. Il est facile de voir qu'une perturbée V+K d'une isométrie V avec un opérateur K de rang 1 est encore une isométrie (respectivement une contraction) si et seulement si K est de la forme pour un certain vecteur unitaire h dans H et un certain complexe de valeur absolue égale à (respectivement inférieure à) 1.<br />Par contre la réponse à la question: ``quand est ce que V+K est une isométrie pure sachant que V est une isométrie pure?'' est loin d'être triviale, même dans ce cas le plus simple. Un contre exemple célèbre de Clark est présenté dans ce sens au début du chapitre 2, avec quelques précisions portant sur un certain caractère d'unicité de cet exemple.<br />Le cas des perturbations de rang 1 a été étudié par Nakamura, et des généralisations pour le cas des perturbations quelconques de rang fini ont été données par Cassier, Benhida et Timotin. La démarche de Nakamura, présentée dans le chapitre deux, est basée premièrement sur la réduction du problème au cas d'une isométrie à vecteur cyclique (donc de façon générique à l'opérateur de shift) et deuxièmement par un modèle fonctionnel d'une telle isométrie comme la multiplication par la variable dans un espace de Hardy d'une mesure associée de manière canonique à l'isométrie choisie. Ce modèle permet, à l'aide d'un calcul standard de résolvantes, de caractériser le caractère pur de l'isométrie de départ au moyen de la continuité absolue de cette mesure, ce qui offre de divers critères dans beaucoup de cas particuliers.<br />Par contre, la réduction initiale du problème au cas du shift unilatéral se fait naturellement par la supposition que le vecteur h qui apparaît dans l'expression tensorielle de l'opérateur de perturbation K est un fonction extérieure dans H2. Par contre, ce type de réduction à caractère "existentiel" ne fournit aucune information même dans le cas du shift, lorsqu'il est perturbé par un opérateur de rang 1 dans lequel la fonction h n'est pas extérieure. Dans ce sens c'est le but du troisième chapitre de montrer que, dans l'autre cas particulier "extrême", c'est à dire quand h est intérieure, la perturbation correspondante du shift est toujours une isométrie pure.<br />La deuxième partie (les chapitre quatre et cinq) sont dédiés à une démarche beaucoup plus générale qui consiste à décrire les situations où le caractère isométrique se conserve par des perturbations compactes générales, dans les termes d'un certain type de factorisation. Plus précisément, dans le cas des perturbations K de rang 1, on peut immédiatement reformuler la caractérisation du paragraphe précédent de la façon suivante: V'=V+K est une isométrie si et seulement si il existe un unitaire U agissant sur H tel que V'=UV et tel que la différence U-I soit de rang 1 (l'unitaire U est dans ce cas l'opérateur <br />On montre dans le chapitre 4 qu'une telle factorisation a lieu en général, si on remplace l'opérateur de rang 1 K ci-dessus par un opérateur compact (respectivement de rang fini) quelconque, l'unitaire U dans ce cas pouvant être choisi tel que la différence U-I soit compacte (respectivement de rang fini). On obtient aussi comme conséquence un résultat similaire pour les perturbations V' qui ne sont pas isométriques mais qui sont des contractions, dans ce cas l'unitaire U dans la factorisation doit être remplacé par une contraction. Des corollaires de ce résultat donnent des représentations paramétriques des perturbes isométriques V', analogues à celles obtenues dans le cas des perturbations de rang 1.<br />Enfin le chapitre 5 étend les résultats du chapitre 4 au problème de la caractérisation, via des factorisations similaires, des perturbations B par un opérateur compact K d'un opérateur à image fermée A, qui ont encore l'image fermée (ceci bien sur dans le cas non Fredholm). On obtient, dans le cas où une factorisation B=XA existe (donc quand A et B satisfont un critère de type Douglas), l'existence d'un opérateur de factorisation X tel que la différence X-I soit encore compacte, et dont la norme est contrôlée. Ce résultat généralise encore les théorèmes du chapitre précédent.

This thesis investigates Bicoprime Factorisations (BCFs) and their possible uses in robust control theory. BCFs are a generalisation of coprime factorisations, which have been well known and widely used by the control community over the last few decades. Though they were introduced at roughly the same time as coprime factorisations, they have been largely ignored, with only a very small number of results derived in the literature. BCFs are first introduced and the fundamental theory behind them is developed. This includes results such as internal stability in terms of BCFs, parametrisation of the BCFs of a plant and state space constructions of BCFs. Subsequently, a BCF uncertainty structure is proposed, that encompasses both left and right coprime factor uncertainty. A robust control synthesis procedure is then developed with respect to this BCF uncertainty structure. The proposed synthesis method is shown to be advantageous in the following two aspects: (1) the standard assumptions associated with H-infinity control synthesis are directly fulfilled without the need of loop shifting or normalisation of the generalised plant and (2) any or all of the plant's unstable dynamics can be ignored, thus leading to a reduction in the dimensions of the Algebraic Riccati Equations (AREs) that need to be solved to achieve robust stabilisation. Normalised BCFs are then defined, which are shown to provide many advantages, especially in the context of robust control synthesis. When using a normalised BCF of the plant, lower bounds on the achievable BCF robust stability margin can be easily and directly computed a priori, as is the case for normalised coprime factors. Although the need for an iterative procedure is not completely avoided when designing an optimal controller, it is greatly simplified with the iteration variable being scalar. Unlike coprime factorisations where a single ARE needs to be solved to achieve normalisation, two coupled AREs must be satisfied for a BCF to be normalised. Two recursive methods are proposed to solve this problem. Lastly, an example is presented where the theory developed is used in a practical scenario. A quadrotor Unmanned Aerial Vehicle (UAV) is considered and a normalised BCF controller is designed which in combination with feedback linearisation is used to control both the attitude and position of the vehicle.

Ce mémoire se veut une synthèse, destinée à la communauté combinatoricienne, de quelques outils développés pour aborder le problème d'Hurwitz ainsi qu'une présentation des résultats récoltés. Le problème d'Hurwitz consiste à évaluer, dans un groupe symétrique, le nombre (dit d'Hurwitz) de factorisations transitives de la permutation identité dont on a imposé le type cyclique des facteurs. Nous décrivons tout d'abord les origines topologiques de ce problème à travers le dénombrement des revêtements ramifiés de la sphère. Nous présentons également un cadre algébrique naturel, le monoïde des permutations scindées, qui permet d'exprimer les nombres d'Hurwitz comme coefficients de structure de l'algèbre de ce monoïde, plus précisément de la sous-algèbre engendrée par les classes de conjugaison, dont une base naturelle est indexée par les multipartitions (ou partitions scindées). La théorie des représentations de cette algèbre fournit un algorithme pour calculer les nombres d'Hurwitz à une partition dont la complexité (minimale, uniforme et exponentielle) est bien meilleure que celle d'une approche naïve. Ce cadre algébrique donne par ailleurs une formule décrivant les séries d'Hurwitz à plusieurs partitions comme polynômes en les séries d'Hurwitz à une seule partition. Nous présentons secondement le cadre géométrique dans lequel s'expriment d'une part la formule ELSV, laquelle décrit les nombres d'Hurwitz à une partition comme fonctions de certaines intégrales, d'autre part un théorème de M. Kazarian exprimant les séries de Hurwitz à une partition comme polynômes en certaines séries formelles dont l'étude asymptotique est achevée. Une fois décrit le fonctionnement de ce cadre intégral, nous récoltons l'asymptotique de tous les nombres d'Hurwitz / This thesis is meant to be a digest, adressed to the combinatorician community, of some tools developped to tackle the problem of Hurwitz, as well as an exhibition of the thus-harvested results. The problem of Hurwitz consists of computing, in a symmetric group, the (so-called Hurwitz) number of transitive factorisations of the identity permutation whose factors have prescribed cyclic types. We first describe the topological layout of this problem through the enumeration of the ramified coverings of the sphere. We also present a natural algebraic frame, the monoid of split permutations, which allows to describe Hurwitz numbers as structure coeffcients of the algebra of this monoid, more precisely of the subalgebra spanned by the conjugacy classes, whose natural basis is indexed by multipartitions (or split partitions). The representation theory of this algebra yields an algoithm to compute one-partition Hurwitz numbers whose complexity (minimal, uniform and exponential) is far better than that of a naive edging about. This algebraic frame yields a formula describing several-partition Hurwitz series as polynomials in one-partition Hurwitz series. We secondly present the geometric frame in which are been expressed on the one hand the ELSV formula, which describes one-partition Hurwitz numbers as functions of some integrals, one the other hand a theorem of M. Kazarian expressing one-partition Hurwitz series as polynomials in some formal power series whose asymptotics is completly understood. Once the using of this integration frame has been described, we derive the asymptotics of all Hurwitz numbers

[Formulae and special characters can only be approximated here. Please see the pdf version of the abstract for an accurate reproduction.] This thesis concerns the study of homogeneous factorisations of complete graphs with edge-transitive factors. A factorisation of a complete graph Kn is a partition of its edges into disjoint classes. Each class of edges in a factorisation of Kn corresponds to a spanning subgraph called a factor. If all the factors are isomorphic to one another, then a factorisation of Kn is called an isomorphic factorisation. A homogeneous factorisation of a complete graph is an isomorphic factorisation where there exists a group G which permutes the factors transitively, and a normal subgroup M of G such that each factor is M-vertex-transitive. If M also acts edge-transitively on each factor, then a homogeneous factorisation of Kn is called an edge-transitive homogeneous factorisation. The aim of this thesis is to study edge-transitive homogeneous factorisations of Kn. We achieve a nearly complete explicit classification except for the case where G is an affine 2-homogeneous group of the form ZR p x G0, where G0 is less than or equal to ΓL(1,p to the power of R). In this case, we obtain necessary and sufficient arithmetic conditions on certain parameters for such factorisations to exist, and give a generic construction that specifies the homogeneous factorisation completely, given that the conditions on the parameters hold. Moreover, we give two constructions of infinite families of examples where we specify the parameters explicitly. In the second infinite family, the arc-transitive factors are generalisations of certain arc-transitive, self-complementary graphs constructed by Peisert in 2001.

Ce mémoire se veut une synthèse, destinée à la communauté combinatoricienne, de quelques outils développés pour aborder le problème d'Hurwitz ainsi qu'une présentation des résultats récoltés. Le problème d'Hurwitz consiste à évaluer, dans un groupe symétrique, le nombre (dit d'Hurwitz) de factorisations transitives de la permutation identité dont on a imposé le type cyclique des facteurs. Nous décrivons tout d'abord les origines topologiques de ce problème à travers le dénombrement des revêtements ramifiés de la sphère. Nous présentons également un cadre algébrique naturel, le monoïde des permutations scindées, qui permet d'exprimer les nombres d'Hurwitz comme coefficients de structure de l'algèbre de ce monoïde, plus précisément de la sous-algèbre engendrée par les classes de conjugaison, dont une base naturelle est indexée par les multipartitions (ou partitions scindées). La théorie des représentations de cette algèbre fournit un algorithme pour calculer les nombres d'Hurwitz à une partition dont la complexité (minimale, uniforme et exponentielle) est bien meilleure que celle d'une approche naïve. Ce cadre algébrique donne par ailleurs une formule décrivant les séries d'Hurwitz à plusieurs partitions comme polynômes en les séries d'Hurwitz à une seule partition. Nous présentons secondement le cadre géométrique dans lequel s'expriment d'une part la formule ELSV, laquelle décrit les nombres d'Hurwitz à une partition comme fonctions de certaines intégrales, d'autre part un théorème de M. Kazarian exprimant les séries de Hurwitz à une partition comme polynômes en certaines séries formelles dont l'étude asymptotique est achevée. Une fois décrit le fonctionnement de ce cadre intégral, nous récoltons l'asymptotique de tous les nombres d'Hurwitz

Nous présentons dans cette contribution les techniques que nous avons mises en oeuvre pour paralléliser un code éléments finis 2D dédié à la simulation du forgeage de pièces axisymétriques. Les modèles de comportement conduisent à résoudre des équations de type Stokes généralisé, exprimées sous forme mixte en vitesse et pression. La discrétisation spatiale est effectuée par une méthode éléments finis originale basée sur une stabilisation du MINI-élément P1+P1<br />Cette approche mène à des systèmes linéaires symétriques non définis positifs que l'on peut inverser avec un solveur itératif. L'introduction de préconditionneurs par factorisation incomplète LDL(0) ainsi que l'optimisation de la résolution non-linéaire nous permet de concurrencer une méthode directe sur un maillage de plus de 3000 noeuds.<br />Une stratégie de parallélisation SPMD couplée avec un solveur itératif avec préconditionnement diagonal aboutit à, un solveur parallèle simple et efficace, ne dépendant ni de la partition ni du nombre de domaines. Différentes stratégies sont envisagées pour développer des factorisations incomplètes parallèles. Un préconditionneur additif de Schwarz est notamment proposé. Celui-ci est construit à partir des matrices locales, complétées sur leur diagonale aux interfaces et avec un coefficient de sur-relaxation. Des résultats sur des simulations industrielles sont donnés par une machine parallèle à mémoire partagée. Ceux-ci, obtenus sur des problèmes 2D et 3D, prouvent la pertinence de notre approche.<br />Les stratégies développées permettent ainsi de réduire de manière significative les temps de simulation de la majorité des cas industriels. Elles permettent aussi d'élargir les champs d'application des codes de calcul à des simulations industrielles très complexes ou avec des maillages de plus de 15000 noeuds en 2D

Cette thèse concerne les valeurs du caractère irréductible (renormalisé) comme fonction de la partition indexant la représentation (et non de la permutation sur laquelle on calcule le caractère). Avec une bonne renormalisation, les caractères s'écrivent comme des polynômes en fonction des coordonnées des diagrammes multirectangulaires d'une part et en fonction des cumulants libres d'autre part ( ce sont des observables du diagramme apparaissant naturellement dans des problèmes d'asymptotique). Nous avons donné des interprétations combinatoires des coefficients de ces différentes expressions. Celles-ci peuvent s'exprimer en termes de cartes, dont le genre est lié au comportement asymptotique du terme correspondant. Ce type d'expression permet d'une part de bien comprendre le comportement asymptotique : nous avons ainsi amélioré les bornes connues sur les caractères ainsi que le domaine de validité d'équivalents classique. D'autre part, la combinatoire apparaissant dans ces questions est riche et a pu être utilisée dans l'étude d'identité sur des fractions rationnelles

Lorsque W est un groupe de réflexion complexe bien engendré, le treillis NCP_W des partitions non-croisées de type W est un objet combinatoire très riche, généralisant la notion de partitions non-croisées d'un n-gone, et intervenant dans divers contextes algébriques (monoïde de tresses dual, algèbres amassées...). De nombreuses propriétés combinatoires de NCP_W sont démontrées au cas par cas, à partir de la classification des groupes de réflexion. C'est le cas de la formule de Chapoton, qui exprime le nombre de chaînes de longueur donnée dans le treillis NCP_W en fonction des degrés invariants de W. Les travaux de cette thèse sont motivés par la recherche d'une explication géométrique de cette formule, qui permettrait une compréhension uniforme des liens entre la combinatoire de NCP_W et la théorie des invariants de W. Le point de départ est l'utilisation du revêtement de Lyashko-Looijenga (LL), défini à partir de la géométrie du discriminant de W. Dans le chapitre 1, on raffine des constructions topologiques de Bessis, permettant de relier les fibres de LL aux factorisations d'un élément de Coxeter. On établit ensuite une propriété de transitivité de l'action d'Hurwitz du groupe de tresses B_n sur certaines factorisations. Le chapitre 2 porte sur certaines extensions finies d'anneaux de polynômes, et sur des propriétés concernant leurs jacobiens et leurs discriminants. Dans le chapitre 3, on applique ces résultats au cas des extensions définies par un revêtement LL. On en déduit — sans utiliser la classification — des formules donnant le nombre de factorisations sous-maximales d'un élément de Coxeter de W en fonction des degrés homogènes des composantes irréductibles du discriminant et du jacobien de LL.

Cette thèse concerne les valeurs du caractère irréductible (renormalisé) comme fonction de la partition indexant la représentation (et non de la permutation sur laquelle on calcule le caractère). Avec une bonne renormalisation, les caractères s’écrivent comme des polynômes en fonction des coordonnées des diagrammes multirectangulaires d’une part et en fonction des cumulants libres d’autre part ( ce sont des observables du diagramme apparaissant naturellement dans des problèmes d’asymptotique). Nous avons donné des interprétations combinatoires des coefficients de ces différentes expressions. Celles-ci peuvent s’exprimer en termes de cartes, dont le genre est lié au comportement asymptotique du terme correspondant. Ce type d’expression permet d’une part de bien comprendre le comportement asymptotique : nous avons ainsi amélioré les bornes connues sur les caractères ainsi que le domaine de validité d’équivalents classique. D’autre part, la combinatoire apparaissant dans ces questions est riche et a pu être utilisée dans l’étude d’identité sur des fractions rationnelles / The main object of this thesis is the (normalized) irreducible character values of the symmetric group, seen as a function of the partition indexing the representation (and not of the permutation on which we compute the character value). With a good rescaling, the characters can be written as polynomials in so-called Stanley coordinates or in terms of free cumulants (the latter are observables of the diagram, which appear naturally in the asymptotics study of character values). We give a combinatorial interpretation for the coefficients of these two expressions. More precisely, the summans are indexed by maps, whose genus is linked with their asymptotic behaviour. This kind of expression is very useful to obtain asymptotic results : for example, one has given upper bounds on character values and enlarged the domain of validity of some known equivalents. Moreover, the combinatorics involved in these questions is interesting and has been applied to identities on rational functions

L'algèbre linéaire numérique a connu depuis quelques décennies des développements intensifs <br />autant au niveau mathématique qu'informatique qui ont permis d'aboutir à de véritable standard <br />logiciel comme BLAS ou LAPACK.<br />Dans le cadre du calcul exact ou formel, la situation n'est pas aussi avancée, en particulier<br />à cause de la diversité des problématiques et de la jeunesse des progrès théoriques.<br />Cette thèse s'inscrit dans une tendance récente qui vise à fédérer des codes performants<br />provenant de bibliothèques spécialisées au sein d'une unique plateforme de calcul.<br />En particulier, l'émergence de bibliothèques robustes et portables comme GMP ou NTL pour le calcul exact <br />s'avére être un réel atout pour le développement d'applications en algèbre linéaire exacte.<br />Dans cette thèse, nous étudions la faisabilité et la pertinence de la réutilisation de codes spécialisés pour <br />développer une bibliothèque d'algèbre linéaire exacte performante, à savoir la bibliothèque LinBox.<br />Nous nous appuyons sur les mécanismes C++ de programmation générique (classes abtraites, classes templates)<br /> pour fournir une abstraction des composantes mathématiques et ainsi permettre le plugin de composants externes.<br />Notre objectif est alors de concevoir et de valider des boîtes à outils génériques haut niveau dans LinBox pour <br />l'implantation d'algorithmes en algèbre linéaire exacte. <br />En particulier, nous proposons des routines de calcul hybride "exact/numérique" pour des matrices denses sur un corps finis permettant d'approcher les performances obtenues par des bibliothèques numériques comme LAPACK.<br />À un plus haut niveau, ces routines nous permettent de valider la réutilisation de codes spécifiques sur un problème <br />classique du calcul formel: la résolution de systèmes linéaires diophantiens.<br />La bibliothèque LinBox est disponible à www.linalg.org.