University, Diss., 2004--Jena.

The quantum Hall (QH) effect, which can be induced in a two-dimensional (2D) electron gas by an external magnetic field, paved the way for topological concepts in condensed matter physics. While the QH effect can for that reason not exist without Landau levels, there is a plethora of topological phases of matter that can exist even in the absence of a magnetic field. For instance, the quantum spin Hall (QSH), the quantum anomalous Hall (QAH), and the three-dimensional (3D) topological insulator (TI) phase are insulating phases of matter that owe their nontrivial topology to an inverted band structure. The latter results from a strong spin-orbit interaction or, generally, from strong relativistic corrections. The main objective of this thesis is to explore the fate of these preexisting topological states of matter, when they are subjected to an external magnetic field, and analyze their connection to quantum anomalies. In particular, the realization of the parity anomaly in solid state systems is discussed. Furthermore, band structure engineering, i.e., changing the quantum well thickness, the strain, and the material composition, is employed to manipulate and investigate various topological properties of the prototype TI HgTe. Like the QH phase, the QAH phase exhibits unidirectionally propagating metallic edge channels. But in contrast to the QH phase, it can exist without Landau levels. As such, the QAH phase is a condensed matter analog of the parity anomaly. We demonstrate that this connection facilitates a distinction between QH and QAH states in the presence of a magnetic field. We debunk therefore the widespread belief that these two topological phases of matter cannot be distinguished, since they are both described by a $\mathbb{Z}$ topological invariant. To be more precise, we demonstrate that the QAH topology remains encoded in a peculiar topological quantity, the spectral asymmetry, which quantifies the differences in the number of states between the conduction and valence band. Deriving the effective action of QAH insulators in magnetic fields, we show that the spectral asymmetry is thereby linked to a unique Chern-Simons term which contains the information about the QAH edge states. As a consequence, we reveal that counterpropagating QH and QAH edge states can emerge when a QAH insulator is subjected to an external magnetic field. These helical-like states exhibit exotic properties which make it possible to disentangle QH and QAH phases. Our findings are of particular importance for paramagnetic TIs in which an external magnetic field is required to induce the QAH phase. A byproduct of the band inversion is the formation of additional extrema in the valence band dispersion at large momenta (the `camelback'). We develop a numerical implementation of the $8 \times 8$ Kane model to investigate signatures of the camelback in (Hg,Mn)Te quantum wells. Varying the quantum well thickness, as well as the Mn-concentration, we show that the class of topologically nontrivial quantum wells can be subdivided into direct gap and indirect gap TIs. In direct gap TIs, we show that, in the bulk $p$-regime, pinning of the chemical potential to the camelback can cause an onset to QH plateaus at exceptionally low magnetic fields (tens of mT). In contrast, in indirect gap TIs, the camelback prevents the observation of QH plateaus in the bulk $p$-regime up to large magnetic fields (a few tesla). These findings allowed us to attribute recent experimental observations in (Hg,Mn)Te quantum wells to the camelback. Although our discussion focuses on (Hg,Mn)Te, our model should likewise apply to other topological materials which exhibit a camelback feature in their valence band dispersion. Furthermore, we employ the numerical implementation of the $8\times 8$ Kane model to explore the crossover from a 2D QSH to a 3D TI phase in strained HgTe quantum wells. The latter exhibit 2D topological surface states at their interfaces which, as we demonstrate, are very sensitive to the local symmetry of the crystal lattice and electrostatic gating. We determine the classical cyclotron frequency of surface electrons and compare our findings with experiments on strained HgTe. / Der Quanten-Hall (QH) Effekt, welcher in einem zwei-dimensionalen (2D) Elektronengas durch ein externes Magnetfeld erzeugt werden kann, ebnete den Weg für topologische Konzepte in der Physik der kondensierten Materie. Während der QH Effekt aus diesem Grund nicht ohne Landau Level existieren kann, gibt es eine Vielzahl von neuartigen topologischen Phasen, die auch in der Abwesenheit von Magnetfeldern existieren können. Zum Beispiel stellen die Quanten-Spin-Hall (QSH), die Quanten-Anomale-Hall (QAH) und die drei-dimensionale (3D) topologische Isolator-Phase isolierende, topologische Phasen dar, die Ihre nicht-triviale Topologie einer invertierten Bandstruktur verdanken. Letztere wird durch eine starke Spin-Bahn Wechselwirkung, oder im Allgemeinen durch starke relativistische Korrekturen, erzeugt. Das Hauptziel dieser Thesis ist es dabei das Schicksal dieser bereits bestehenden topologischen Zustände in Magnetfeldern zu erforschen und deren Verbindungen zu Quantenanomalien aufzuzeigen. In diesem Zusammenhang werden wir insbesondere die Realisierung der Paritätsanomalie in Festkörpersystemen diskutieren. Weitergehend wenden wir Bandstruktur-Engineering an, d.h. die Veränderung der Quantentrogdicke, der Verspannung und der Materialkomposition, um die vielfältigen topologischen Eigenschaften des topologischen Isolators (TIs) HgTe zu manipulieren und zu untersuchen. Wie die QH Phase, zeichnet sich die QAH Phase durch unidirektional propagierende, metallische Randkanäle aus. Aber im Vergleich zur QH Phase, kann sie auch ohne Landau Level existieren. Die QAH Phase stellt daher ein Kondensierte-Materie-Analogon zur Paritätsanomalie dar. Wir zeigen, dass diese Verbindung es uns ermöglicht in der Gegenwart eines Magnetfelds zwischen QH und QAH Zuständen zu unterscheiden. Damit widerlegen wir den weitverbreiten Glauben, dass diese zwei topologischen Phasen nicht unterschieden werden können, da beide durch eine $\mathbb{Z}$ topologische Invariante beschrieben sind. Etwas genauer gesagt, zeigen wir, dass die QAH Topologie in einer besonderen topologischen Invarianten kodiert bleibt, der spektralen Asymmetrie. Diese quantifiziert die Differenz in der Anzahl von Zuständen in Leitungs- und Valenzbändern. Indem wir die effektive Wirkung eines QAH Isolators im Magnetfeld herleiten, zeigen wir, dass die spektrale Asymmetrie dabei mit einem einzigartigen Chern-Simons Term verbunden ist, welcher die Information über die QAH Randkanäle beinhaltet. Wenn ein QAH Isolator einem externen Magnetfeld ausgesetzt wird, kann dies zur Bildung von gegenläufigen QH und QAH Randkanälen führen. Diese helikalartigen Randzustände besitzen exotische Eigenschaften, die es uns ermöglichen QH und QAH Phasen zu unterscheiden. Unsere Ergebnisse sind insbesondere für paramagnetische TIs von Bedeutung, da für diese ein externes Magnetfeld von Nöten ist, um die QAH Phase zu induzieren. Ein Nebenprodukt der Bandinversion ist die Bildung von zusätzlichen Extrema in der Dispersion des Valenzbands bei großen Impulsen (oft auch als `Kamelrücken' bezeichnet). Wir entwickeln eine numerische Implementierung des $8 \times 8$ Kane Modells um die Signaturen des Kamelrückens in (Hg,Mn)Te Quantentrögen zu untersuchen. Indem die Quantentrogdicke und die Mn-Konzentration variiert wird, zeigen wir, dass die Klasse von topologisch nicht-trivialen Materialien weiter in direkte und indirekte TIs unterteilt werden kann. Für direkte TIs mit $p$-Ladungsträgerdichten, zeigen wir, dass die Anheftung des chemischen Potentials an den Kamelrücken zu einem Beginn von QH-Plateaus bei ungewöhnlich kleinen Magnetfeldern (zweistelliger mT-Bereich) führen kann. Im Gegensatz dazu verhindert der Kamelrücken bei indirekten TIs die Beobachtung von QH Plateaus im $p$-Bereich bis zu großen Magnetfeldern (einige Tesla). Diese Ergebnisse erlauben es uns jüngste experimentelle Beobachtungen in (Hg,Mn)Te Quantentrögen der Existenz des Kamelrückens zuzuschreiben. Obwohl sich unsere Diskussion dabei auf (Hg,Mn)Te beschränkt, sollte sich unser Modell leicht auch auf andere topologische Materialien mit einer kamelartigen Struktur im Valenzband übertragen lassen. Zusätzlich haben wir die numerische Implementierung des $8 \times 8$ Kane Modells verwendet, um den Übergang von einer 2D QSH zu einer 3D TI Phase in verspannten HgTe Quantentrögen zu untersuchen. Diese Halbleitermaterialien zeichnen sich durch 2D topologische Oberflächenzustände an Grenzflächen aus, welche, wie wir zeigen, sehr sensitiv für die lokale Kristallsymmetrie des Gitters und elektrostatische Ladung sind. Wir bestimmen die klassische Zyklotronfrequenz der Oberflächenelektronen und vergleichen diese mit experimentellen Messungen an verspannten HgTe Qunatentrögen.

Thesis (doctoral)--Universität, Trier, 2007. / Includes bibliographical references and register.

Stuttgart, Univ., Diss., 2006.

Techn. University, Diss., 2005--München.

This thesis studies connections between quantum information measures and geometric features of spacetimes within the AdS/CFT correspondence. These studies are motivated by the idea that spacetime can be thought of as an effect emerging from an underlying entanglement structure in the AdS/CFT correspondence. In particular, I study generalized entanglement measures in two-dimensional conformal field theories and their holographic duals. Unlike the ordinary entanglement entropy of a spatial subregion typically used in the AdS/CFT context, the generalization considered here measures correlations between different fields as well as between spatial degrees of freedom. I present a new gauge invariant definition of the generalized entanglement entropy applicable to both mixed and pure states as well as explicit results for thermal states of the S_N-orbifold theory of the D1/D5 system. Along the way, I develop computation techniques for conformal blocks on the torus and apply them to the calculation of the ordinary entanglement entropy for large central charge CFTs at finite size and finite temperature. The generalized Ryu-Takayanagi formula arising from these studies provides further support for the idea that entanglement and geometry are intrinsically linked in AdS/CFT. The results show that the holographic dual to the generalized entanglement entropy given by the length of a geodesic winding around black hole horizons or naked singularities probes subregions of spacetime that are inaccessible to Ryu-Takayanagi surfaces, thereby solving the puzzle of how these features of the spacetime are encoded in the boundary theory. Furthermore, I investigate quantum circuits embedded in two-dimensional conformal field theories as well as computational complexity measures therein. These investigations are motivated by conjectures relating computational complexity in conformal field theories to geometric features of black hole geometries. In this thesis, I study quantum circuits built up from conformal transformations. I investigate examples of computational complexity measures in these circuits related to geometric actions on coadjoint orbits of the Virasoro group and to the Fubini-Study metric. I then work out relations between these computational complexity measures and the dual gravitational theory. Moreover, I construct a bulk dual to the circuits in consideration and use this construction to study geometric realizations of computational complexity measures from first principles. The results of this part on the one hand rule out some possibilities for dual realizations of computational complexity in two-dimensional CFTs put forward in previous work while on the other hand providing a new robust dual realization of a computational complexity measure based on the Fubini-Study distance. / Diese Dissertation befasst sich mit Zusammenhängen zwischen Quanteninformationsmaßen und geometrischen Eigenschaften von Raumzeiten im Rahmen der AdS/CFT-Korrespondenz. Diese Untersuchungen sind motiviert durch die Idee, dass die Raumzeit in der AdS/CFT-Korrespondenz als ein Effekt verstanden werden kann, der aus einer zugrundeliegenden Verschränkungsstruktur entsteht. Insbesondere untersuche ich in dieser Arbeit verallgemeinerte Verschränkungsmaße in zweidimensionalen konformen Feldtheorien und deren holographisch duale Realisierungen. Anders als die normale Verschränkungsentropie einer räumlichen Teilregion, die üblicherweise im AdS/CFT-Kontext betrachtet wird, misst die verallgemeinerte Verschränkungsentropie Korrelationen sowohl zwischen verschiedenen Feldern als auch zwischen räumlichen Freiheitsgraden. Ich stelle eine neue eichinvariante Definition der verallgemeinerten Verschränkungsentropie, die sowohl für reine als auch für gemischte Zustände anwendbar ist, sowie explizite Berechnungen dieser Verschränkungsentropie in der S_N-Orbifaltigkeitstheorie des D1/D5-Systems vor. Nebenbei entwickle ich Berechnungsmethoden für konforme Blöcke auf dem Torus und wende diese auf die Berechnung der normalen Verschränkungsentropie für konforme Feldtheorien mit großer zentraler Ladung bei endlicher Systemgröße und endlicher Temperatur an. Die verallgemeinerte Ryu-Takayanagi-Formel, die sich aus diesen Betrachtungen ergibt, unterstützt die Idee, dass Verschränkung und Geometrie in der AdS/CFT-Korrespondenz untrennbar miteinander verbunden sind. Die Ergebnisse zeigen, dass das holographische Dual zur verallgemeinerten Verschränkungsentropie, gegeben durch die Länge einer Geodäte die sich um einen Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs oder eine nackte Singularität windet, in Teilregionen der Raumzeit eindringt die für Ryu-Takayanagi-Flächen unerreichbar sind. Damit klären sie auf wie diese Eigenschaften der Raumzeit in der Randtheorie kodiert sind. Des weiteren untersuche ich Quantenschaltkreise eingebettet in zweidimensionale konforme Feldtheorie und deren Komplexität. Diese Untersuchungen sind motiviert durch Hypothesen, die Komplexitätstheorie mit Eigenschaften von Raumzeiten schwarzer Löcher in Verbindung bringen. In dieser Dissertation analysiere ich Quantenschaltkreise, die aus konformen Transformationen aufgebaut sind. Ich betrachte Komplexitätsmaße in diesen Schaltkreisen zusammenhängend mit geometrischen Wirkungen auf koadjungierten Orbits der Virasoro-Gruppe oder mit der Fubini-Study-Metrik und arbeite Zusammenhänge zwischen diesen Komplexitätsmaßen und Aspekten der dualen Gravitationstheorie heraus. Außerdem konstruiere ich das Dual der betrachteten Schaltkreise in der Gravitationstheorie und untersuche damit geometrische Realisierungen von Komplexitätsmaßen. Die Ergebnisse dieses Teils schließen einerseits einige Möglichkeiten für duale Realisierungen von Komplexitätsmaßen aus, die in vorigen Arbeiten vorgeschlagen wurden, ergeben aber andererseits eine robuste neue duale Realisierung eines Komplexitätsmaßes basierend auf der Fubini-Study-Metrik.

In this thesis, I establish new relations between quantum information measures in a two-dimensional CFT and geometric objects in a three-dimensional AdS space employing the AdS/CFT correspondence. I focus on two quantum information measures: the computational cost of quantum circuits in a CFT and Berry phases in two entangled CFTs. In particular, I show that these quantities are associated with geometric objects in the dual AdS space. / In dieser Arbeit stelle ich neue Beziehungen zwischen Quanteninformationsmaßen in einer zweidimensionalen CFT und geometrischen Objekten in einem dreidimensionalen AdS-Raum unter Verwendung der AdS/CFT-Korrespondenz her. Ich betrachte zwei Quanteninformationsmaße: die Rechenkosten eines Quantenschaltkreises in der CFT und Berry-Phasen in zwei verschränkten CFTs. Insbesondere zeige ich, dass diese Größen mit geometrischen Objekten im AdS-Raum assoziiert sind.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Anwendung des kürzlich entwickelten 'Functional Approach' zur Elektrodynamik in Medien auf das Modell des freien homogenen Elektronengases. Basierend auf einer ausschließlich mikroskopischen Feldtheorie wird gezeigt, dass mittels universell gültiger Relationen zwischen Antwortfunktionen sowohl alle relevanten optischen als auch magnetischen (linearen) Materialeigenschaften allein aus der Strom-Strom-Korrelation gewonnen werden können. Dabei ist es essentiell, alle Berechnungen auf dem vollen Stromdichteoperator aufzubauen, also auf der Summe aus diamagnetischem, orbitalem und spinoriellem Anteil. Weiterhin wird anhand der magnetischen Suszeptibilität demonstriert, dass im Allgemeinen die Unterscheidung zwischen eigenen und direkten Antwortfunktionen nicht zu vernachlässigen ist. Schließlich wird mit dem „Lindhard-Integral-Theorem“ bewiesen, dass nicht nur der longitudinale, sondern auch der transversale Anteil des vollen frequenz- und wellenvektorabhängigen fundamentalen Antworttensors des freien Elektronengases komplett durch das charakteristische Lindhard-Integral bestimmt ist.:Introduction I Microscopic electrodynamics in media 1 Classical electrodynamics 1.1 Covariant formulation 1.2 Temporal gauge 1.3 Free Green function 1.4 Total functional derivatives 2 Electrodynamics in media 2.1 Field identifications 2.2 Fundamental response tensor 2.3 Universal response relations 2.4 Direct and proper response 2.5 Isotropic and combined limits 2.6 Full Green function 2.7 Wave equations in media and dispersion relations II Application to the free electron gas 3 Fundamental response tensor 3.1 Electromagnetic current density 3.2 Kubo-Greenwood formulae 3.3 Diamagnetic, orbital and spinorial contribution 3.4 Spin susceptibility vs. spinorial current response 4 London model and diamagnetic response 4.1 Interpretation as response function 4.2 Application of universal response relations 4.3 Spin correction 5 Full current response 5.1 Dimensionless formulae 5.2 Lindhard integral theorem 5.3 Laurent expansions 5.4 Optical properties 5.5 Magnetic properties Conclusion Appendix A - Notation Appendix B - Formulary B.1 Basic analysis and vector calculus B.2 Special relativity theory B.3 Fourier transformation B.4 Functional derivatives B.5 Projectors and Helmholtz' theorem B.6 Complex analysis Appendix C - Yang-Mills gauge theory C.1 Field strength tensor C.2 Minimal coupling principle C.3 Gauge invariant quantities and equations Appendix D - Periodic solids D.1 Partitioning of reciprocal space D.2 Homogeneous limit Appendix E - Electromagnetic spectrum Bibliography Acknowledgements Errata / This thesis is concerned with the application of the recently developed 'Functional Approach' to electrodynamics of media to the model of the free homogeneous electron gas. Based on an exclusively microscopic field theory it is shown that with the help of universally valid relations between response functions, all relevant optical and magnetic (linear) materials properties can be extracted from the mere current-current response. For this purpose, it is essential to base all calculations on the full current density operator, i.e. the sum of diamagnetic, orbital and spinorial contributions. Furthermore, we use the example of the magnetic susceptibility to demonstrate that the distinction between proper and direct response functions is in general crucial. Lastly, with the “Lindhard integral theorem” we prove that not only the longitudinal but also the transverse part of the full frequency- and wavevector-dependent fundamental response tensor of the free electron gas is completely determined by the characteristic Lindhard integral.:Introduction I Microscopic electrodynamics in media 1 Classical electrodynamics 1.1 Covariant formulation 1.2 Temporal gauge 1.3 Free Green function 1.4 Total functional derivatives 2 Electrodynamics in media 2.1 Field identifications 2.2 Fundamental response tensor 2.3 Universal response relations 2.4 Direct and proper response 2.5 Isotropic and combined limits 2.6 Full Green function 2.7 Wave equations in media and dispersion relations II Application to the free electron gas 3 Fundamental response tensor 3.1 Electromagnetic current density 3.2 Kubo-Greenwood formulae 3.3 Diamagnetic, orbital and spinorial contribution 3.4 Spin susceptibility vs. spinorial current response 4 London model and diamagnetic response 4.1 Interpretation as response function 4.2 Application of universal response relations 4.3 Spin correction 5 Full current response 5.1 Dimensionless formulae 5.2 Lindhard integral theorem 5.3 Laurent expansions 5.4 Optical properties 5.5 Magnetic properties Conclusion Appendix A - Notation Appendix B - Formulary B.1 Basic analysis and vector calculus B.2 Special relativity theory B.3 Fourier transformation B.4 Functional derivatives B.5 Projectors and Helmholtz' theorem B.6 Complex analysis Appendix C - Yang-Mills gauge theory C.1 Field strength tensor C.2 Minimal coupling principle C.3 Gauge invariant quantities and equations Appendix D - Periodic solids D.1 Partitioning of reciprocal space D.2 Homogeneous limit Appendix E - Electromagnetic spectrum Bibliography Acknowledgements Errata

Thesis (doctoral)--Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn, 1999. / Includes bibliographical references (p. 121-123).

Techn. Hochsch., Diss., 2000--Aachen.