Neste trabalho, definimos a obstrução local de Euler de um espaço analítico complexo singular (X, \'x IND.0\'), denotada por Eu(X, \'x IND.0\'), e a obstrução local de Euler de uma função holomorfa f definida neste espaço, com uma singularidade isolada em \'x IND. 0\', denotada por \'Eu IND. f\' (X, \'x IND.0\'); e apresentamos duas fórmulas para seus respectivos cálculos. Em seguida, através de uma abordagem geométrica, determinamos as relações entre \'Eu IND. f\' (X,\'x IND.0\') e algumas generalizações do número de Milnor para funções em espaços singulares / In this work we define the local Euler obstruction of a complex analytic singularity (X, \'x IND.0\'), denoted Eu(X, \'x IND.0\'), and the local Euler obstruction of a holomorphic function f defined on this space, with an isolated singularity at \'x IND. 0\', denoted \'Eu IND. f\' (X, \'x IND.0\'); and we present two formulas for their respective calculations. Next, using a geometric approach, we determine the relations between \'Eu IND.f\' (X, \'x IND.0\') and several generalizations of the Milnor number for functions on singular spaces

Dados dois epimorfismos de álgebras $f\\colon A \\to B$ e $g \\colon C \\to B$, o produto fibrado é a subálgebra $R$ de $A \\times C$ definida por $\\{(a,c) \\in A \\times C \\mid f(a) = g(c) \\}$. Para álgebras básicas de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado $k$, que podem ser determinadas por aljavas com relações, a aljava ordinária do produto fibrado $R$ pode ser determinada pelas respectivas aljavas de $A$ e $C$. Estudamos essencialmente um tipo especial de produto fibrado, no qual a aljava ordinária tem uma certa orientação, o chamado produto fibrado orientado. Definimos ainda, o produto fibrado Dynkin orientado no qual a aljava da álgebra $B$ é de tipo Dynkin com um único poço. Para esses casos, estudamos características do produto fibrado $R$ a partir de informações de $A$ e de $C$, tais como as aljavas de Auslander-Reiten, classes de álgebras (hereditária, shod, inclinada, etc) e, em especial, a dimensão de representação. Para a dimensão de representação, além do estudo para produtos fibrados orientados, mostramos que se pudermos dividir a categoria de módulos indecomponíveis de uma álgebra de Artin em pedaços com certas propriedades, então é possível estimar a dimensão de representação da álgebra através do cálculo dessa invariante de álgebras associadas a cada um desses pedaços. Essa técnica nos permitiu calcular a dimensão de representação das álgebras ada, por exemplo. / Given two epimorphisms of algebras $f\\colon A \\to B$ and $g \\colon C \\to B$, the pullback $R$ is the subalgebra of $A \\times C$ defined by $\\{(a,c) \\in A \\times C \\mid f(a) = g(c) \\}$. For finite dimensional basic $k$-algebras (where $k$ is an algebraically closed field), which can be determined by bounded quivers, the ordinary quiver of the pullback $R$ can be determined by those of $A$, $B$ and $C$. We study a more specific case, the oriented pullback, where the quiver has a certain orientation. We also define the Dynkin oriented pullback, whose main feature is the ordinary quiver of $B$ being a Dynkin with a single sink. For these cases, we studied the characteristics of the pullback $ R $ from information of $ A $ and $ C $, such as the Auslander-Reiten quivers, class of algebras (hereditary, shod, tilted, etc) and especially the representation dimension. For representation dimension, in addition to the study for oriented pullbacks, we show that if we divide the category of indecomposable modules into pieces with certain characteristics, we can calculate the representation dimension of this algebra by calculating this invariant of algebras associated to each piece. This technique allowed us to calculate the representation dimension of the ada algebras, for instance.

Na maior parte deste trabalho, estudamos a existência de involuções livres sobre algumas 4-variedades fechadas, com o mesmo tipo de homotopia do espaço total de algum fibrado de superfície sobre superfície, bem como uma generalização do teorema de Borsuk-Ulam para tais 4-variedades. Também estudamos a relação do teorema de Borsuk-Ulam, para aplicações da n-esfera em variedades, com a teoria de conível. / In the most part of this work, we study the existence of free involutions over some closed 4-manifolds with the same homotopy type of the total space of some surface bundle over surface, as well as a generalization of the Borsuk-Ulam theorem for such 4-manifolds. Also we study the relation of the Borsuk-Ulam theorem, for maps from the n-sphere into manifolds, with the colevel theory.

Classificação das auto-aplicações de fibrados, com fibra toro, que preservam fibra sobre o círculo, com a propriedade de poderem ser deformadas sobre o círculo a uma aplicação livre de ponto fixo. Ainda, investigamos a relação entre o número de Reidemeister sobre o círculo e a propriedade acima / Classification of all fiber-preserving self-maps of torus bundles over the circle by the property of being able to deform them over the circle into a fixed point free map by a fiberwise homotopy over the circle. We also investigate the relationship between Reidemeister number over the circle and the property above

Dados dois epimorfismos de álgebras $f\\colon A \\to B$ e $g \\colon C \\to B$, o produto fibrado é a subálgebra $R$ de $A \\times C$ definida por $\\{(a,c) \\in A \\times C \\mid f(a) = g(c) \\}$. Para álgebras básicas de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado $k$, que podem ser determinadas por aljavas com relações, a aljava ordinária do produto fibrado $R$ pode ser determinada pelas respectivas aljavas de $A$ e $C$. Estudamos essencialmente um tipo especial de produto fibrado, no qual a aljava ordinária tem uma certa orientação, o chamado produto fibrado orientado. Definimos ainda, o produto fibrado Dynkin orientado no qual a aljava da álgebra $B$ é de tipo Dynkin com um único poço. Para esses casos, estudamos características do produto fibrado $R$ a partir de informações de $A$ e de $C$, tais como as aljavas de Auslander-Reiten, classes de álgebras (hereditária, shod, inclinada, etc) e, em especial, a dimensão de representação. Para a dimensão de representação, além do estudo para produtos fibrados orientados, mostramos que se pudermos dividir a categoria de módulos indecomponíveis de uma álgebra de Artin em pedaços com certas propriedades, então é possível estimar a dimensão de representação da álgebra através do cálculo dessa invariante de álgebras associadas a cada um desses pedaços. Essa técnica nos permitiu calcular a dimensão de representação das álgebras ada, por exemplo. / Given two epimorphisms of algebras $f\\colon A \\to B$ and $g \\colon C \\to B$, the pullback $R$ is the subalgebra of $A \\times C$ defined by $\\{(a,c) \\in A \\times C \\mid f(a) = g(c) \\}$. For finite dimensional basic $k$-algebras (where $k$ is an algebraically closed field), which can be determined by bounded quivers, the ordinary quiver of the pullback $R$ can be determined by those of $A$, $B$ and $C$. We study a more specific case, the oriented pullback, where the quiver has a certain orientation. We also define the Dynkin oriented pullback, whose main feature is the ordinary quiver of $B$ being a Dynkin with a single sink. For these cases, we studied the characteristics of the pullback $ R $ from information of $ A $ and $ C $, such as the Auslander-Reiten quivers, class of algebras (hereditary, shod, tilted, etc) and especially the representation dimension. For representation dimension, in addition to the study for oriented pullbacks, we show that if we divide the category of indecomposable modules into pieces with certain characteristics, we can calculate the representation dimension of this algebra by calculating this invariant of algebras associated to each piece. This technique allowed us to calculate the representation dimension of the ada algebras, for instance.

Classificação das auto-aplicações de fibrados, com fibra toro, que preservam fibra sobre o círculo, com a propriedade de poderem ser deformadas sobre o círculo a uma aplicação livre de ponto fixo. Ainda, investigamos a relação entre o número de Reidemeister sobre o círculo e a propriedade acima / Classification of all fiber-preserving self-maps of torus bundles over the circle by the property of being able to deform them over the circle into a fixed point free map by a fiberwise homotopy over the circle. We also investigate the relationship between Reidemeister number over the circle and the property above

Na maior parte deste trabalho, estudamos a existência de involuções livres sobre algumas 4-variedades fechadas, com o mesmo tipo de homotopia do espaço total de algum fibrado de superfície sobre superfície, bem como uma generalização do teorema de Borsuk-Ulam para tais 4-variedades. Também estudamos a relação do teorema de Borsuk-Ulam, para aplicações da n-esfera em variedades, com a teoria de conível. / In the most part of this work, we study the existence of free involutions over some closed 4-manifolds with the same homotopy type of the total space of some surface bundle over surface, as well as a generalization of the Borsuk-Ulam theorem for such 4-manifolds. Also we study the relation of the Borsuk-Ulam theorem, for maps from the n-sphere into manifolds, with the colevel theory.

Neste trabalho, definimos a obstrução local de Euler de um espaço analítico complexo singular (X, \'x IND.0\'), denotada por Eu(X, \'x IND.0\'), e a obstrução local de Euler de uma função holomorfa f definida neste espaço, com uma singularidade isolada em \'x IND. 0\', denotada por \'Eu IND. f\' (X, \'x IND.0\'); e apresentamos duas fórmulas para seus respectivos cálculos. Em seguida, através de uma abordagem geométrica, determinamos as relações entre \'Eu IND. f\' (X,\'x IND.0\') e algumas generalizações do número de Milnor para funções em espaços singulares / In this work we define the local Euler obstruction of a complex analytic singularity (X, \'x IND.0\'), denoted Eu(X, \'x IND.0\'), and the local Euler obstruction of a holomorphic function f defined on this space, with an isolated singularity at \'x IND. 0\', denoted \'Eu IND. f\' (X, \'x IND.0\'); and we present two formulas for their respective calculations. Next, using a geometric approach, we determine the relations between \'Eu IND.f\' (X, \'x IND.0\') and several generalizations of the Milnor number for functions on singular spaces

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:09Z (GMT). No. of bitstreams: 1 ArquivoTotalOsvaldo.pdf: 1490620 bytes, checksum: 022e9b1169cd35f90c2e82c9ae74fe26 (MD5) Previous issue date: 2008-12-19 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / We present the own mathematic formalism to, first of all, study the holonomy interpretations of the adiabatic geometric phase presented by Berry-Simon and Aharanov-Anadan and, after this, the similirities found with the theory of representation groups, particularly, with the Borel-Weil-Bott theorem. These relations are made through classification of complex bundle line, and these results are used to introduce a cranked Hamiltonian. In general, we also show that the parameter space is a flag manifold or a submanifold of her and present a topologic argument of this space that indicates the relation between the structure Riemannian and the Berry s connection. / Apresentamos o formalismo matemático próprio para, primeiramente, estudarmos as interpretações holonômicas da fase geométrica adiabática apresentadas por Berry-Simon e Aharanov-Anadan e, em seguida, as similaridades encontradas com a Teoria de Representações de Grupos, em particular, com o teorema de Borel-Weil-Bott. Estas relações são feitas via classificação de fibrados linha complexos, e esses resultados são usados para introduzir um procedimento que trata a não-adiabaticidade e a adiabaticidade da fase de Berry por meio de uma modificação na hamiltoniana. Mostramos, também, que em geral, o espaço de parâmetros é uma variedade de bandeira ou uma subvariedade dela e apresentamos um argumento topológico desse espaço, que indica a relação entre a estrutura Riemanniana e a conexão de Berry.

Made available in DSpace on 2015-05-15T11:46:16Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 578974 bytes, checksum: e512f47deae8cd03667ae8e7c2143b34 (MD5) Previous issue date: 2013-05-03 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The notions of connection and covariant derivative has its origin in the field of Riemannian geometry , where there is no distinction between them. In fact, in this study we found that these notions are equivalent if we consider modules over K-algebras of finite type. We also show that the existence of connections implies the existence of covariant derivative. The main goal of this study is to determine which modules admit connections. We easily verified that the projective modules admit connections. In fact, they form an affine space. But we also display a module that is not projective and has connection. Later, inspired by Swan's theorem, we explore in a straightforward way modules formed by sections of the tangent bundle of some surfaces in 3-dimensional real space. Finally, we study the notion of connection introduced by Alain Connes in modules over K-algebras not necessarily commutative. And we find in that context that the modules that have connection are exactly the projectives modules. / As noções de conexão e derivada covariante tem sua origem na área de geometria riemanniana, onde não existe distinção entre elas. De fato, nós verificamos neste trabalho, que estas noções são equivalentes se considerarmos módulos sobre K-álgebras comutativas de tipo finito. Também mostramos que a existência de conexões implica na existência de derivada covariante. O objetivo central deste trabalho é determinar que módulos admitem conexão. Verificamos facilmente que os módulos projetivos admitem conexões. De fato, elas formam um espaço afim. Mas também exibimos um módulo não projetivo que possui conexão. Posteriormente, inspirados pelo teorema de Swan, exploramos de maneira direta os módulos formados pelas seções do fibrado tangente de algumas superfícies no espaço 3- dimensional real. Por fim, estudamos a noção de conexão introduzida por Alain Connes em módulos sobre K-álgebras não necessariamente comutativas. E verificamos nesse contexto que os módulo que admitem conexão são exatamente os módulos projetivos.