Diss. Linköping : Linköpings universitet, 2007.

Smart hydrogels are useful elements in microfluidic systems because they respond to environmental stimuli and are capable of storing reagents. We present here a concept of using hydrogels (poly(N-isopropylacrylamide)) as an interface between continuous and discontinuous microfluidics. Their swelling and shrinking capabilities allow them to act as storage elements for reagents absorbed in the swelling process. When the swollen hydrogel collapses in an oil-filled channel, the incorporated water and molecules are expelled from the hydrogel and form a water reservoir. Water-in-oil droplets can be released from the reservoir generating different sized droplets depending on the flow regime at various oil flow rates (dispensing functionality). Different hydrogel sizes and microfluidic structures are discussed in terms of their storage and droplet formation capabilities. The time behaviour of the hydrogel element is investigated by dynamic swelling experiments and computational fluid dynamics simulations. By precise temperature control, the device acts as an active droplet generator and converts continuous to discontinuous flows.

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Der ehemalige Salzbergbau im Raum Staßfurt führt seit dem 19. Jahrhundert zu Subrosion und teils bruchhaften Deformationen und damit verbundenen Senkungen und Vernässungen im Stadtgebiet. Im Rahmen eines Forschungsverbundvorhabens unter Federführung der BGR sollen in dieser Arbeit die grundlegenden strömungsdynamischen Prozesse im Salinar und Deckgebirge der betroffenen geologischen Formationen aufgeklärt werden. An Bohrkernen aus den entsprechenden Bereichen werden Durchflussexperimente durchgeführt und die Fluiddynamik im Inneren der Proben mittels Positronen-Emissions-Tomographie dreidimensional dargestellt. In Kooperation mit der Bundesanstalt für Materialforschung- und prüfung Berlin und dem Geologischen Institut der Johannes-Gutenberg Universität Mainz werden diese PET-Messungen der Fluiddynamik mit hochauflösenden computertomographischen Messungen der internen Struktur der Proben in Übereinstimmung gebracht. Die beobachteten Fließmuster sollen mittels einer Lattice-Boltzmann-Simulation nachvollzogen und dadurch das grundlegende Verständnis der Strömungsdynamik in diesen Gesteinen erweitert werden. Langfristig soll dies zu einer Verbesserung des Verständnisses der Grundwasserdynamik auf regionaler Ebene führen.

Smart hydrogels are useful elements in microfluidic systems because they respond to environmental stimuli and are capable of storing reagents. We present here a concept of using hydrogels (poly(N-isopropylacrylamide)) as an interface between continuous and discontinuous microfluidics. Their swelling and shrinking capabilities allow them to act as storage elements for reagents absorbed in the swelling process. When the swollen hydrogel collapses in an oil-filled channel, the incorporated water and molecules are expelled from the hydrogel and form a water reservoir. Water-in-oil droplets can be released from the reservoir generating different sized droplets depending on the flow regime at various oil flow rates (dispensing functionality). Different hydrogel sizes and microfluidic structures are discussed in terms of their storage and droplet formation capabilities. The time behaviour of the hydrogel element is investigated by dynamic swelling experiments and computational fluid dynamics simulations. By precise temperature control, the device acts as an active droplet generator and converts continuous to discontinuous flows.

Für die effektive numerische Berechnung von Strömungsphänomenen im frühen Entwicklungsprozess wurde methodisch das Zusammenwirken verschiedener Berechnungstools hinsichtlich der Berechnungsdauer und Güte auf handelsüblichen Desktoprechnern untersucht. Dabei ist die Skalierbarkeit der Berechnungsmodelle auf unterschiedliche geometrische Skalen sowie die Umsetzungsmöglichkeit der Berechnung kombinierter Fluidphasen essenziell. Für die Umsetzung wurden erste Grundlagenuntersuchungen an einfachen Geometrien experimentell und virtuell durchgeführt sowie die Ergebnisse gegenübergestellt. Daraus konnten Anforderungen abgeleitet und bereits im Ausschlussverfahren für das Projekt ungeeignete Software detektiert werden. Weiterhin wurden die Simulationsparameter, aufbauend auf den Grundlagenuntersuchungen, an die komplexen Geometrien von Bauteilen/Baugruppen bis hin zum Viertelfahrzeug angepasst. Somit konnten für die jeweiligen Berechnungstools die Stärken hinsichtlich der Anforderungen an die Geometrie und die physikalischen Randbedingungen abgeleitet werden. Anschließend wurde eine Software entwickelt, welche automatisiert Ergebnisse unterschiedlicher Softwarelösungen und geometrischer Skalen verarbeitet, interpoliert und anschließend auf gewählten Schnittstellen bereitstellt. Somit lassen sich die effektivsten Berechnungsmethoden miteinander verknüpfen. Zudem konnte im Laufe der Bearbeitungszeit eine Software (PreonLab) zum Einsatz kommen, welche hinreichend genau und dennoch zeitlich effektiv komplexe Strömungsphänomene berechnen kann. Im Zuge der Projektbearbeitung konnten somit Anforderungen als auch Randbedingungen für die numerische Berechnung komplexer Strömungsphänomene am Gesamtfahrzeug beschrieben werden.

Liquid metal electrochemical cells are electrochemical device with at least one liquid metal electrode. They were adopted in electro-metallurgical processing, heat-to-power conversion, and energy storage applications. The electrode's liquid state ensures high current density, resulting in batteries with high power densities and electro-metallurgical reactors with high conversion yields. Mass transport is critical in all liquid metal electrochemical cells, but especially in concentration cells like liquid metal batteries. These are fully liquid three-layer cells where the two electrodes are separated by a thin molten salt electrolyte. There, the positive electrode alloying and de-alloying processes store energy in the cell. Inhomogeneities in the liquid metal electrode reduce cell efficiency and material use. In this work, we are interested in understanding mass transport within this electrode. From a first study of diffusive heat and mass transport, we established that solutal effects are predominant in liquid metal electrodes. Any thermally driven convection can not significantly affect a compositionally stable stratification. A solutal flow will efficiently mix the electrode regardless of the temperature distribution. Following that, we developed a consistent explanation for the differences in the cell resistance between charge and discharge, as observed multiple times in the literature. The latter was based on quantitative analysis of a new experimental result. The voltage evolution was measured during the cycling of a liquid metal battery. During discharge, light elements are electro-deposited at the positive electrode's top interface, forming a gravitationally stable stratification. As only diffusion transports the light element away from the interface, the concentration difference and the mass transport overvoltage increase with time. During charging, the opposite phenomenon (electro-refining) takes place. The flux at the active interface builds up an unstable, asymmetric, and time-dependent buoyancy distribution in the layer. That leads first to a diffusive transient and then to a convective flow in the layer. This solutal convection was studied numerically with finite-volume and spectral-element-method solvers. The two-dimensional axisymmetric simulations performed covered Schmidt numbers from 1.125 to 288 and five orders of magnitude of flux Rayleigh numbers, starting from 10000. Two regimes were identified as a function of the flux Rayleigh number. At low Rayleigh numbers, diffusion affects the full layer height before the onset of convection. This results in a global flow. Instead, convection originates in the thin concentration boundary layer with characteristic plume structures in the high Rayleigh number regime. In this regime, onset time and concentration difference are independent with respect to the layer height. Thanks to the extensive parametric study, we retrieved robust scaling for velocity and concentration differences as a function of the current density and material properties of the layer. These results can be used in the design and operation of liquid metal electrodes. For example, they allow estimating the mass transport overvoltage during charge. Furthermore, we studied numerically solutal convection in three-dimensional cylindrical electrodes. We showed that the two-dimensional approximation captures quite remarkably the evolution of integral quantities observed in fully three-dimensional simulations. This is not due to the axisymmetric nature of the flow. On the contrary, we observed a rich dynamic, with polygonal-shaped cells forming and evolving in the active interface concentration distribution. Finally, the influence of non-uniform current distribution on mass transport in a liquid metal electrode was investigated. Differences with respect to the homogenous configuration are present in pure diffusion and at the onset of convection. The solutal flow is able to reduce the inhomogeneities in the electrode. / Elektrochemische Flüssigmetallzellen sind Zellen mit mindestens einer Flüssigmetall Elektrode. Sie werden in der Elektrometallurgie, bei der Wandlung von Wärme in Elektrizität, sowie zur Energiespeicherung eingesetzt. Der flüssige Zustand der Elektroden erlaubt hohe Stromdichten, was Batterien mit guter Ratenfähigkeit und elektrometallurgischen Reaktoren mit hoher Raum-Zeit-Ausbeute ermöglicht. Stofftransport ist ein für alle elektrochemischen Flüssigmetallzellen wesentliches Phänomen, insbesonders für Konzentrationszellen wie Flüssigmetallbatterien. Das sind Dreischichtzellen mit komplett flüssigem Inventar, bei denen die beiden Elektroden durch eine Salzschmelze getrennt sind. Die Legierungs- und Entlegierungsprozesse in der positiven Elektroden sind maßgeblich für die Energiespeicherfähigkeit der Zelle. Inhomogenitäten in der Legierungselektrode verringern den Gesamtwirkungsgrad der Zelle und den Nutzungsgrad der Aktivmaterialien. Diese Arbeit widmet sich dem Verständnis des Stofftransports in der positiven Elektrode. Ein Vergleich typischer Kenngrößen für den Wärme-und Stofftransport zeigt auf, dass solutale Effekte die Transportverhältnisse in Flüssigmetallelektroden dominieren. Thermische Konvektion kann eine stabile solutale Schichtung nicht wesentlich beeinflussen. Eine von Konzentrationsgradienten hervorgerufene Strömung durchmischt die Elektrode jedoch unabhängig von der Temperaturverteilung. Darauf aufbauend wird dargelegt, was die Ursache für die wiederholt in der Literatur berichteten Unterschiede im Zellwiderstand zwischen Ladung und Entladung ist. Die Erklärung stützt sich auf eine quantitative Analyse neuer experimenteller Ergebnisse zum Zyklenverhalten von Flüssigmetallbatterien. Während der Entladung werden leichte Elemente am oberen Rand der positiven Elektrode abgeschieden und bilden eine stabile Dichteschichtung. Da das eingelagerte Element geringer Dichte nur durch Diffusion von der Grenzfläche abtransportiert wird, steigen der Konzentrationsgradient und mit ihm die Stofftransportüberspannung mit der Zeit an. Während der Aufladung findet das entgegengesetzte Phänomen (Elektroraffination) statt. Die Extraktion der leichten Komponente an der aktiven Grenzfläche führt zu einer instabilen Dichteschichtung. Dadurch kommt es zunächst zu einer kurzen Phase instationärer Diffusion, die rasch von einer solutal getriebene Konvektion abgelöst wird. Die solutale Konvektion wurde numerisch mit Finite-Volumen- und Spektral-Element-Methoden untersucht. Dazu durchgeführte axialsymmetrische Simulationen umfassten Schmidt-Zahlen von 1,125 bis 288 und fünf Größenordnungen von Rayleigh-Zahlen, beginnend bei 10000. In Abhängigkeit von der Rayleigh-Zahl wurden zwei Regime identifiziert. Bei niedrigen Rayleigh-Zahlen findet Diffusion über die gesamte Schichthöhe statt, bevor es zum Einsetzen der Konvektion kommt. Daraus resultiert eine globale Strömung. Im Bereich hoher Rayleigh-Zahlen entsteht die Konvektion stattdessen bereits in einer dünnen Konzentrationsgrenzschicht an der Phasengrenze und zeigt die charakteristischen Konzentrationsschlieren (plumes). In diesem Regime sind die Eintrittszeit und die zugehörige Konzentrationsdifferenz von der Schichthöhe unabhängig. Die umfassende Parameterstudie bildet die Grundlage zur Herleitung fundierter Skalengesetze für Geschwindigkeit und Konzentration in Abhängigkeit der Stromdichte und der Materialeigenschaften der Fluide. Diese Ergebnisse können zur Auslegung und zum Betrieb von Flüssigmetall-Elektroden verwendet werden. Sie ermöglichen beispielsweise die Bestimmung der Stofftransportüberspannung während des Ladens. Für ausgewählte Konfigurationen wurden dreidimensionalen Simulationen in zylindrischen Elektroden durchgeführt. Die Ergebnisse der zweidimensionalen Simulationen bezüglich der integralen Größen wurden bestätigt. Die dreidimensionalen Simulationen offenbarten eine reichhaltige Dynamik polygonaler Zellen, die sich aufgrund der absinkenden Schlieren in Grenzflächennähe bilden. Abschließend wurde der Einfluss einer ungleichmäßigen Stromverteilung an der Phasengrenze auf den Stofftransport untersucht. Unterschiede zur homogenen Verteilung ergeben sich lediglich bezüglich der rein diffusiven Ausbreitung und des Einsetzens der Konvektion. Die ausgebildete solutale Konvektion durchmischt die Elektrode in beiden Fällen sehr intensiv, so dass in diesem Stadium keine Differenzen feststellbar sind.

This thesis evaluates the efficacy of Physics-Informed Neural Networks (PINNs) in simulating fluid dynamics challenges, focusing on the Burgers' equation and the lid-driven cavity problem, to develop a robust PINN framework for nuclear engineering applications such as the Sustainable Nuclear Energy Research In Sweden (SUNRISE) project. The research compares various PINN models to traditional Computational Fluid Dynamics (CFD) simulations to enhance predictive accuracy and computational efficiency for reactor design. The study analyses and optimises diverse PINN configurations, employing automatic and numerical differentiation techniques and their integrative approaches, while investigating the incorporation of advanced artificial viscosity methods to augment model robustness and address limitations of standalone PINN methods. Results show that enhanced PINN strategies achieve superior accuracy in solving the Burgers' equation and the lid-driven cavity problem at increased Reynolds numbers. For the Burgers' equation, one method with artificial viscosity achieved a Mean Squared Error (MSE) of 1.19⨉10⁻³. For the lid-driven cavity problem at Re 1000, another method without artificial viscosity yielded MSEs of 2.27⨉10⁻⁴, 9.54⨉10⁻⁵, and 1.81⨉10⁻⁵ for u, v, and p, respectively. These advancements highlight the potential of PINNs in nuclear engineering applications, particularly in tackling flow-accelerated corrosion and erosion in lead-cooled fast reactors within the SUNRISE project. / Denna avhandling utvärderar effektiviteten av Physics-Informed Neural Networks (PINNs) vid simulering av fluiddynamikutmaningar, med fokus på Burgers’ ekvation och problem med lockdriven kavitet, för att utveckla en robust PINN-ram för tillämpningar inom kärnteknik, såsom Sustainable Nuclear Energy Research i Sverige (SUNRISE) projekt. Forskningen jämför olika PINN-modeller med traditionella Computational Fluid Dynamics (CFD) simuleringar för att förbättra prediktiv noggrannhet och beräknings effektivitet för reaktordesign. Studien analyserar och optimerar olika PINN-konfigurationer, genom att använda automatiska och numeriska differentieringstekniker och deras integrerade tillvägagångssätt, samtidigt som den undersöker införandet av avancerade artificiella viskositet metoder för att öka modellens robusthet och åtgärda begränsningarna hos enskilda PINN-metoder. Resultaten visar att förbättrade PINN-strategier uppnår överlägsen noggrannhet i lösningen av Burgers’ ekvation och problem med lockdriven kavitet vid ökade Reynolds-nummer. För Burgers’ ekvation uppnådde en metod med artificiell viskositet ett medelkvadratiskt fel (MSE) på 1,19⨉10⁻³. För problem med lockdriven kavitet vid Re 1000 uppnådde en annan metod utan artificiell viskositet MSE på 2,27⨉10⁻⁴, 9,54⨉10⁻⁵ och 1,81⨉10⁻⁵ för u, v och p, respektive. Dessa framsteg framhäver potentialen hos PINNs i kärntekniska tillämpningar, särskilt i att hantera flödesaccelererad korrosion och erosion i blykylda snabba reaktorer inom SUNRISE-projektet.

Der ehemalige Salzbergbau im Raum Staßfurt führt seit dem 19. Jahrhundert zu Subrosion und teils bruchhaften Deformationen und damit verbundenen Senkungen und Vernässungen im Stadtgebiet. Im Rahmen eines Forschungsverbundvorhabens unter Federführung der BGR sollen in dieser Arbeit die grundlegenden strömungsdynamischen Prozesse im Salinar und Deckgebirge der betroffenen geologischen Formationen aufgeklärt werden. An Bohrkernen aus den entsprechenden Bereichen werden Durchflussexperimente durchgeführt und die Fluiddynamik im Inneren der Proben mittels Positronen-Emissions-Tomographie dreidimensional dargestellt. In Kooperation mit der Bundesanstalt für Materialforschung- und prüfung Berlin und dem Geologischen Institut der Johannes-Gutenberg Universität Mainz werden diese PET-Messungen der Fluiddynamik mit hochauflösenden computertomographischen Messungen der internen Struktur der Proben in Übereinstimmung gebracht. Die beobachteten Fließmuster sollen mittels einer Lattice-Boltzmann-Simulation nachvollzogen und dadurch das grundlegende Verständnis der Strömungsdynamik in diesen Gesteinen erweitert werden. Langfristig soll dies zu einer Verbesserung des Verständnisses der Grundwasserdynamik auf regionaler Ebene führen.:1 Einleitung 1 1.1 Die Stadt Staßfurt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Bildgebende tomographische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Die PET in den Geowissenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Ziel der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Geologische Übersicht 9 2.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Das Zechsteinmeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Das Subherzyne Becken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.3 Der Staßfurt-Egelner Salzsattel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Stratigraphie und Hydrologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.1 Stratigraphische Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.2 Anstehende Wässer und deren Migration . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Die Positronen-Emissions-Tomographie 19 3.1 Entstehung des Bildes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Die Auflösung des Bildes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.1 Die Grenzen der Ortsauflösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.2 Messfehler und Bildrekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2.3 Konsequenzen für die Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Material und Methoden 27 4.1 Die Bohrkerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2 Die Injektionslösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3 Probenvorbereitung und Experimentverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.4 Auswertemethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.4.1 Visualisierung und Datenverarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.4.2 Bestimmung hydrodynamischer Kenngrößen . . . . . . . . . . . . . . 34 4.4.3 Variographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5 Ergebnisse 47 5.1 Chemische Analysen der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2 PET- und CT-Daten und resultierende Durchbruchkurven . . . . . . . . . . 50 5.2.1 Hauptanhydrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2.2 Unterer Buntsandstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2.3 Mechanisch belastetes Steinsalz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.2.4 Hohlraumversatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.3 Ermittlung raumbezogener Parameter in der Literatur und mit den vorhandenen Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.4 Variographischer Abgleich verschiedener Datensätze . . . . . . . . . . . . . 72 5.4.1 Aussagekraft von Variogrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 i 5.4.2 Vergleich von Messung und Modellierung mittels 3D-Variographie . 79 6 Diskussion 93 6.1 Diskussion der PET-Daten und Durchbruchkurven . . . . . . . . . . . . . . 93 6.2 Diskussion der Ermittlung raumbezonener Parameter . . . . . . . . . . . . . 100 6.3 Diskussion des variographischen Abgleichs verschiedener Datensätze . . . . 101 6.4 Auswirkungen auf das hydrologische Modell Staßfurts . . . . . . . . . . . . 102 7 Ausblick 105 Literatur 109 Anhang xi A Bohrpunkte und Lösungen xiii B 3D-Variographie des mechanisch belasteten Salzkerns xv C Hydrodynamische Parameter xvii C.1 Bohrkern aus der Leine Formation z3A3 - Hauptanhydrit . . . . . . . . . . xvii C.2 Bohrkern aus dem Unteren Buntsandstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii C.3 Mechanisch belasteter Bohrkern aus dem z2Na Staßfurt-Steinsalz . . . . . . xix C.4 Bohrkern aus dem Hohlraumversatz des Grubenbaus Leopoldshall I /II . . . xx C.5 Probe aus gepresstem Kaolinit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi D Quelltext wichtiger Funktionen xxiii D.1 Datenreduktion - Ausschneiden des Bohrkerns . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiv D.2 Vergröberung der Auflösung eines PET-Bildes . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiv D.3 Verteilung der Maximalwerte und deren Histogramme . . . . . . . . . . . . xxv D.4 Empirische Variogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv D.5 Richtungsabhängige Variogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi D.6 Dreidimensionale Variogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxix D.7 Ebenenweise Variogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxi E Liste der Kooperationspartner xxxiii

In the present work, we introduce a never before studied soliton equation called the intermediate mixed Manakov (IMM) equation. Through a pole ansatz, we prove that the equation has N-soliton solutions with pole parameters governed by the hyperbolic Calogero-Moser system. We also show that there are spatially periodic N-soliton solutions with poles obeying elliptic Calogero-Moser dynamics. A Lax pair is given in the form of a Riemann-Hilbert problem on a cylinder. A similar Lax pair is shown to imply a novel spin generalization of the intermediate nonlinear Schrödinger equation. Some conservation laws for the IMM are proven. We demonstrate that the IMM can be written as a Hamiltonian system, with one of these conserved quantities as the Hamiltonian. Finally, a physical interpretation is given by showing that the IMM can be rewritten to describe a system of two nonlocally coupled fluids, with nonlinear self-interactions. / Vi presenterar en aldrig tidigare studerad solitonekvation som vi döper till ‘the intermediate mixed Manakov equation’ (ungefär ‘den mellanliggande kopplade Manakovekvationen’. Kortform: IMM). Genom en polansats bevisar vi att ekvationen har N-solitonlösningar där polparametrarna utgör ett hyperboliskt Calogero-Mosersystem. Vi visar också att det finns rumsligt periodiska N-solitonlösningar vars poler följer elliptisk Calogero-Moserdynamik. Ett Laxpar ges i form av ett Riemann-Hilbertproblem på en cylinder. Vi demonstrerar att ett liknande Laxpar leder till en ny spinngeneralisering av den s.k. INLS-ekvationen. Några bevarandelagar för IMM bevisas. Vi visar att IMM-ekvationen kan skrivas som ett Hamiltonskt system, där Hamiltonianen är en av våra tidigare bevarade storheter. Till sist ger vi en fysikalisk tolkning av vår ekvation genom att demonstrera hur den beskriver ett system av ickelokalt interagerande vätskor, med ickelinjära självinteraktioner.