[pt] Neste texto estudamos diversos aspectos de singularidades de campos vetoriais holomorfos em dimensão 2. Discutimos detalhadamente o caso particular de uma singularidade sela-nó e o papel desempenhado pelas normalizações setoriais. Isto nos conduz à classificação analítica de difeomorfismos tangentes à identidade. seguir abordamos o Teorema de Seidenberg, tratando da redução de singularidades degeneradas em singularidades simples, através do procedimento de blow-up. Por fim, estudamos a demonstração do Teorema de Mattei-Moussu, acerca da existência de integrais primeiras para folheações holomorfas. / [en] In the present text, we study the different aspects of singularities of holomorphic vector fields in dimension 2. We discuss in detail the particular case of a saddle-node singularity and the role of the sectorial normalizations. This leads us to the analytic classiffication of diffeomorphisms which are tangent to the identity. Next, we approach the Seidenberg Theorem, dealing with the reduction of degenerated singularities into simple ones, by means of the blow-up procedure. Finally, we study the proof of the well-known Mattei-Moussu Theorem concerning the existence of first integrals to holomorphic foliations.

[pt] Damos exemplos de variedades suaves abertas que não podem ser folhas de nenhuma folheação riemanniana, nem de qualquer folheação transver- salmente homotética, de variedade compacta. Também apresentamos uma nova classe de não folhas de folheação C0 de codimensão um de variedades compactas, as variedades não periódica em homotopia, usando grupos de homotopia de dimensão maior. Finalmente generalizamos ligeiramente os exemplos de não folhas de Ghys, Inaba et al. e Attie-Hurder, com uma demonstração baseada na recorrência de blocos na variedade. / [en] We give examples of open smooth manifolds that cannot be leaves of any riemannian or transversely homothetic foliation of a compact manifold. We also present a new class of non-leaves of C0 codimension one foliations, manifolds that are non-periodic in homotopy, using higher-dimensional homotopy groups. Finally we give small generalizations of the non-leaf examples of Ghys, Inaba et al., and Attie-Hurder, with a proof based on the recurrence of blocks in the manifold.

[pt] Nicolau Saldanha no seu artigo Stability of compact actions of R(n) of codimension one de 1994 considerou uma ação do grupo R(n) sobre uma variedade de dimension n+1 a qual é gerada por n campos de vetores X1,....,Xn com a propriedade de que todas as suas órbitas são compactas (ação compacta). Aqui ele definiu dois tipos de estabilidade para uma folha: estabilidade local e total, os quais são equivalentes. Em um outro trabalho, Tânia Begazo e N. Saldanha tomando uma ação do grupo de Heinsenberg sobre uma variedade de dimensão 4 concluiram que estas classes de estabilidade não eram mais equivalentes. Agora, neste trabalho tentaremos encontrar condições de estabilidade de uma folha em sua forma mais geral (ie. As folhas da ação perturbada continuam compactas) para uma ação de codimensão 2, usando para isso um exemplo muito conveniente. / [en] N. Saldanha in his paper Stability of compact actions of Rn of codimension one of 1994, considered an action of R(n) on a manifold of dimension n + 1 which is generated by n vector fields X1;...;Xn such that all its orbits are compact. Here he defined two kinds of stability for an orbit, local and total stability, proving that under certain conditions, these kinds of stability were equivalent. In another work, Tania Begazo and N. Saldanha proved that this equivalence fails for compact actions of the Heinsenberg group. In the present work we will try to find conditions of stability of an orbit for an action of codimension 2, using for this a very convenient examplle.

Made available in DSpace on 2015-03-26T13:45:34Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 519967 bytes, checksum: bd1af6c8f1b6386794e796434e97115c (MD5) Previous issue date: 2012-02-17 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / We talk about versions the theorem of integrability Darboux - Jouanolou for endomorphisms, fields, or r-polynomial differential forms. These versions say essentially that there are infinitely many algebraic hypersurfaces invariant if and only if the dynamical system in question preserves a pencil of hypersurfaces. / Dissertamos sobre versões do teorema de integrabilidade de Darboux - Jouanolou para endomorfismos, campos ou r-formas diferenciais polinomiais. Tais versões dizem essencialmente que existem infinitas hipersuperfícies algébricas invariantes se, e somente se, o sistema dinâmico em questão preserva um pencil de hipersuperfícies.

Made available in DSpace on 2015-03-26T13:45:34Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 773931 bytes, checksum: b0a68b67919eb9c2b9b8534b4a2a7818 (MD5) Previous issue date: 2012-02-16 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this word, we did a detailed study of the Baum-Bott s theorem in two situations. To do this, we examine this theorem in [2] and its proof given by S. S. Chern using methods of differential geometry, in which case the non-degenerated singularities for one-dimensional holomorphic foliation.Then use the article [31] of M. Soares, where he retraces the Chern s proof with a slight change, thus eliminating the possibility of non-degenerated. The result of great importance because it is applied to meromorphic vector fields, which are abundant and generate one-dimensional singular holomorphic foliations in compact manifolds. As a way to apply this result, we deal with the problem of Poincare in [28] to limit the degree of an invariant curve depending on the degree of the foliation. This problem was motivated by the work of Darboux with respect to algebraic integrability foliations in [13]. We gathered the results of Cerveau and Lins Neto in [12] and also M.Carnicer in [9] about the problem of Poincare, that were introduced about 100 years later the work of Poincaré. Finally we also explored the contribution of M. Soares to this problem in [32]. / Fizemos, neste trabalho, um estudo detalhado do teorema de Baum-Bott em duas situações. Para tal feito, analisamos esse teorema em [2] e a sua prova dada por S. S. Chern através de métodos de geometria diferencial, no caso em que as singularidades da folheação holomorfa de dimensão 1 são do tipo não-degeneradas. Depois usamos o artigo [31] de M. Soares, onde ele refaz essa prova de Chern com uma ligeira mudança, retirando assim a hipótese de não-degeneregência. Resultado esse de grande importância pelo fato de ser aplicado a campos de vetores meromorfos, que são abundantes e que geram folheações holomorfas singulares de dimensão 1 em variedade compactas. Como maneira de aplicar tal resultado, lidamos com o problema de Poincaré em [28], que trata de limitar o grau de uma curva invariante em função do grau da folheação. Esse problema foi motivado pelo trabalho de Darboux com respeito á integrabilidade algébrica de folheações em [13]. Reunimos os resultados de Cerveau e Lins neto em [12] e também de M. Carnicer em [9] a respeito do problema de Poincaré, que foram apresentados cerca de 100 anos depois do trabalho de Poincaré. E por fim exploramos a contribuição de M. Soares para esse problema em [32].

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[pt] Um resultado clássico da teoria de grupos de Lie garante que as órbitas da ação adjunta de um grupo de Lie compacto interceptam um toro máximo ortogonalmente. Esta ação é um exemplo das chamadas ações polares. Ações polares são ações de grupos compactos de isometrias que admitem seções (subvariedades totalmente geodésicas que interceptam as órbitas ortogonalmente). Ações polares e subvariedades isoparamétricas são casos particulares das chamadas folheações riemannianas singulares com seções,assunto que é estudado nesta tese. Além de apresentarmos resultados sobre essas folheações singulares apresentamos também resultados sobre as chamadas aplicações transnormais (generalizações das aplicações isoparamétricas) destacando como estes objetos estão relacionados. / [en] It follows from the classical Lie group theory that the orbits of an adjoint action of a compact Lie group intercept a maximal toru in a orthogonal way. This is an example of the so called Polar Action. A compact isometric action is said to be Polar if it admits sections, i.e. totally geodesic submanifolds that intercept the orbits orthogonally. Polar Actions and isoparametric manifolds are examples of a more general structure, the so called singular Riemannian Foliation with Section, the main subject of the thesis. Besides the results about these singular foliations we show also some results about transnormal maps (generalization of isoparametric maps) and stress the its connections with the singulare riemannian foliation with section.