Die ständig steigende Rechenleistung von PCs und Workstations ermöglicht es, die spektralen Varianzen direkt durch Fouriertransformation einer Zeitreihe zu schätzen. Dabei ist ein geeignetes Fenster auszuwählen. Die Nichtbeachtung dieser Tatsache führt zwangsläufig zum Rechteckfenster und zum Verschmieren der Information über den ganzen Spektralbereich. Von den hier untersuchten Fenstern hat das Hanning-Fenster die besten Eigenschaften mit dem stärksten Abfall im benachbarten Frequenzbereich. Analog der Fensterung von Auto- und Kreuzkorrelationsfunktion im Frequenzraum wird das Hanning-Fenster für die Fouriertransformation einer Meßreihe im Frequenzraum angegeben. / Due to the permanent grow in PC and workstation power it is possible to estimate the spectral variances directly by the Fourier transform of a time series. Thereby one has to choose an appropriate data window. Ignoring this leads to an unsuited square window function where the spectral power in one frequency bin contains leakage from frequency components that are bins away. From the window functions we tested here, the Hanning window has best properties with minimum leakage. Analogous to windowing of the auto- and crosscorrelation function in the frequency domain we give also the Hanning window for the Fourier transform of time series in the frequency domain.

Phase Space Reconstruction is a method that allows to reconstruct the phase space of a system using only an one dimensional time series as input. It can be used for calculating Lyapunov-exponents and detecting chaos. It helps to understand complex dynamics and their behavior. And it can reproduce datasets which were not measured. There are many different methods which produce correct reconstructions such as time-delay, Hilbert-transformation, derivation and integration. The most used one is time-delay but all methods have special properties which are useful in different situations. Hence, every reconstruction method has some situations where it is the best choice. Looking at all these different methods the questions are: Why can all these different looking methods be used for the same purpose? Is there any connection between all these functions? The answer is found in the frequency domain : Performing a Fourier transformation all these methods getting a similar shape: Every presented reconstruction method can be described as a multiplication in the frequency domain with a frequency-depending reconstruction function. This structure is also known as a filter. From this point of view every reconstructed dimension can be seen as a filtered version of the measured time series. It contains the original data but applies just a new focus: Some parts are amplified and other parts are reduced. Furthermore I show, that not every function can be used for reconstruction. In the thesis three characteristics are identified, which are mandatory for the reconstruction function. Under consideration of these restrictions one gets a whole bunch of new reconstruction functions. So it is possible to reduce noise within the reconstruction process itself or to use some advantages of already known reconstructions methods while suppressing unwanted characteristics of it. / Attraktorrekonstruktion („Phase Space Reconstruction“) ist eine Technik, die es ermöglicht, aus einer einzelnen Zeitreihe den vollständigen Phasenraum eines Systems zu rekonstruieren und somit Rückschlüsse auf topologische Eigenschaften dieses dynamischen Systems zu ziehen. Sie findet Verwendung in der Bestimmung von Lyapunov-Exponenten und zur Reproduktion von unbeobachteten Systemgrößen. Es gibt viele verschiedene Methoden zur Attraktorrekonstruktion wie z.B. die Time-Delay-Methode or Rekonstruktion durch Ableitung, Integration oder mithilfe einer Hilbert-Transformation. Zumeist wird der Time-Delay-Ansatz verwendet, es gibt jedoch auch diverse Problemstellungen, in welchen die alternativen Methoden bessere Ergebnisse liefern. Die Kernfragen, die beim Vergleich dieser Methoden entsteht, sind: Wie kommt es, dass alle Ansätze, trotz ihrer teilweise sehr unterschiedlichen Struktur, denselben Zweck erfüllen? Gibt es Übereinstimmungen zwischen all diesen Methoden? Die Antwort lässt sich im Frequenzraum finden: Nach einer Fourier-Transformation besitzen alle genannten Methoden plötzlich eine sehr ähnliche Struktur. Jede Methode transformiert sich im Frequenzraum zu einer einfachen Multiplikation des Eingangssignals mit einer frequenzabhängigen Rekonstruktionsfunktion. Diese Struktur ist in der Datenanalyse auch bekannt als Filter. Aus dieser Perspektive lässt sich jede Rekonstruktionsdimension als gefilterte Zeitreihe der ursprünglichen Zeitreihe interpretieren: Sie enthält den Originaldatensatz, allerdings mit einem verschobenen Fokus: Einige Eigenschaften der Originalzeitreihe werden unterdrückt, während andere Teile verstärkt wiedergegeben werden. Des weiteren zeige ich in der Diplomarbeit, dass nicht jede beliebige Funktion im Frequenzraum zur Rekonstruktion verwendet werden kann. Ich stelle drei Eigenschaften vor, welche jede Rekonstruktionsfunktion erfüllen muss. Unter Beachtung dieser Bedingungen ergeben sich nun diverse Möglichkeiten für neue Rekonstruktionsfunktionen. So ist es z.B. möglich gleichzeitig mit der Rekonstruktion das Ursprungssignal auch zu filtern, oder man kann bereits bestehende Rekonstruktionsfunktionen so abwandeln, dass unerwünschte Nebeneffekte der Rekonstruktion abgemildert oder gar ganz unterdrückt werden.

Die ständig steigende Rechenleistung von PCs und Workstations ermöglicht es, die spektralen Varianzen direkt durch Fouriertransformation einer Zeitreihe zu schätzen. Dabei ist ein geeignetes Fenster auszuwählen. Die Nichtbeachtung dieser Tatsache führt zwangsläufig zum Rechteckfenster und zum Verschmieren der Information über den ganzen Spektralbereich. Von den hier untersuchten Fenstern hat das Hanning-Fenster die besten Eigenschaften mit dem stärksten Abfall im benachbarten Frequenzbereich. Analog der Fensterung von Auto- und Kreuzkorrelationsfunktion im Frequenzraum wird das Hanning-Fenster für die Fouriertransformation einer Meßreihe im Frequenzraum angegeben. / Due to the permanent grow in PC and workstation power it is possible to estimate the spectral variances directly by the Fourier transform of a time series. Thereby one has to choose an appropriate data window. Ignoring this leads to an unsuited square window function where the spectral power in one frequency bin contains leakage from frequency components that are bins away. From the window functions we tested here, the Hanning window has best properties with minimum leakage. Analogous to windowing of the auto- and crosscorrelation function in the frequency domain we give also the Hanning window for the Fourier transform of time series in the frequency domain.

Die Maxwellschen Gleichungen werden bei der Analyse elektromagnetischer Felder an einem Raumpunkt in Abhängigkeit von den Feldquellen (z.B. Ladungen, Ströme) und beliebiger Anordnung von Gebieten mit Materie unterschiedlicher elektromagnetischer Eigenschaften , für eigene oder auch im Vergleich mit Beispielen anderer Autoren, analytisch oder numerisch iterativ gelöst. Ein eigenes Beispiel ist das Schaltverhalten der Magnetisierung dünner magnetischer (NiFe) Schichten zwischen leitenden (Cu) Schichten, wenn die umschaltenden Magnetfelder durch (n-Sekunden) Impulströme in darüberliegenden Streifenleitern (Cu) erzeugt werden. Verfahren hierzu werden angegeben ebenso wie FORTRAN-Quellprogramme zur näherungsweisen numerischen Lösung des Gesamtsystems der Maxwellschen Gleichungen. Solche Verfahren sind: - Einführung der Strecke, die das Licht im Vakuum in der Zeit t zurücklegt als vierte (imaginäre) Koordinate, - Umschreiben der Maxwellschen Gleichungen durch Verwendung der Tensoralgebra in Koordinatenschreibweise. Dadurch werden nur Skalare (Zahlen) miteinander verknüpft. Es treten keine komplizierten Verknüpfungen von Vektoren auf (Nabla,Rotor,Divergenz,Kreuzprodukt usw.). - Anwendung der vierdimensionalen Fouriertranformation. Ergebnis ist auch ein Vorschlag zur Dicke der leitenden Schichten (größer als die Skin-Eindringtiefe) über der dünnen magnetischen Schicht und die Anordnung der Ansteuerleitungen für nichtzerstörendes Lesen der in der magnetischen Schicht gespeicherten Information.:1. Einleitung 4 1.1. Zum Schaltverhalten ebener dünner magnetischer Schichten 4 1.2. Zur Integration der Maxwellschen Gleichungen 5 1.3. Zur in der Arbeit verwendeten Schreibweise 7 2. Physikalische Grundlagen zur Magnetisierungsdynamik dünner magnetischer Schichten (DMS) 11 2.1. Magnetisierungsänderung in DMS 11 2.1.1. Wandverschiebungsprozesse 11 2.1.2. Kohärente Spin-Rotation (KSR) 12 2.1.3. Nichtkohärente Spin-Rotation (NKSR) 13 2.2. Ummagnetisierung von DMS durch äußere Felder 15 2.2.1. DMS im Eindomänen (ED) –Zustand 15 2.2.1.1. Quasistatische Magnetisierungsänderung 15 2.2.1.2. Dynamisches Verhalten der Magnetisierungsänderung unter dem Einfluß von in der DMS homogenen Feldern 25 2.2.1.2.1. Die Bewegungsgleichung 25 2.2.1.2.2. Näherung für geringe Energiedichte 29 2.2.1.2.3. Viskose-Fluß-Approximation 34 2.2.1.2.4. Näherungslösung nach der nichtlinearen Schwingungstheorie 40 2.3. Zusammenfassung 42 3. Vorbemerkungen zur Analyse der Magnetisierungsdynamik bei DMS in leitender Umgebung 43 4. Ein Beitrag zur Lösung der Maxwellschen Gleichngen (MWG) 44 4.1. Maxwellsche Gleichungen (MWG) im dreidimensionalen Raum 45 4.2. Formulierung der MWG im vierdimensionalen Raum 47 4.2.1. Bemerkung zu den Rand- und Stetigkeitsbedingungen bei der Integration der MWG 55 4.2.2. Die Greensche Funktion (Einflußfunktion) 59 4.3. Anwendung einer Funktionaltransformation 62 4.3.1. Mehrdimensionale Fouriertransformation 64 4.3.2. Vierdimensionale Fouriertransformation der MWG 70 4.3.2.1. Fundamentallösungen, Eindeutigkeit 72 4.3.2.2. Die Helmholtzgleichung und das Prinzip der Grenzabsorption 75 4.3.2.3. Anmerkung zu den Resolventen der Fouriertransformierten Elektromagnetischer Felder 79 4.3.2.4. Lösungsbeispiele 86 4.3.2.4.1. Lösungen der Wellengleichung 86 4.3.2.4.2. Ableitungen verallgemeinerter Funktionen und Greensche Formel 89 4.3.2.4.3. Potential von Doppelleitern 92 4.3.2.4.4. Potential einer Punktladung bei inhomogenem Dielektrikum 93 5. Das DMS-Problem bei geschichteten Medien 97 5.1. Das Magnetfeld in der Schichtebene für eine DMS zwischen leitenden Ebenen 98 5.1.1. Das Magnetfeld in der Schichtebene bei symmetrischer Leiteranordnung 102 5.1.2. Die Einflußfunktion des DMS-Problems 105 5.2. Magnetisierungsdynamik bei inhomogenen Feldern 112 5.2.1. Statische Magnetisierungsänderung bei Entmagnetisierungs- und Streufeldern 114 5.2.1.1. Statisches Magnetfeld in der DMS-Ebene 116 5.2.1.2. Magnetisierungsverteilung unter dem Einfluß inhomogener Felder 120 5.2.1.3. Magnetisierungsdynamik bei inhomogenen Feldern unter Berücksichtigung der Bewegungsgleichung 131 6. Programmkurzbeschreibungen P 1 6.1. Allgemeine Programme P 1 6.1.1. Serviceprogramme P 1 6.1.1.1. Verarbeitung externer Matrizen MPACK P P 1 6.1.1.2. Niveauliniendruck CONPRT PPP1 1 6.1.2. Schnelle Fouriertransformation SFTF P 1 6.1.3. Vierdimensionale Fouriertransformation SMEFT4 P 3 6.2. Programme zum DMS-Problem P 4 6.2.1. Statische Magnetisierungsverteilung bei inhomogenen Feldern HDMS P 4 6.2.2. Sprungantwort des Magnetfeldes in der Schichtebene für einen Magnetisierungssprung. HDMGW Berechnung des Wirbelfeldes und Gesamtfeldes P 5 6.2.3. Magnetisierungsdynamik einer DMS zwischen leitenden Ebenen. EDMTES P 6 Berechnung des Magnetfeldes MDYN,MTENS 6.3. Programme zur genäherten Integration der Maxwellschen Gleichungen über die vierdimensionale schnelle Fourier-Transformation MAWGES P 8 6.3.1. Elektrisches Feld MAW (EPRT) P 10 6.3.2. Magnetisches Feld MAW (BHPRT) P 11 6.3.3. Stromdichteverteilung MAW (SDVPRT) P 12 7. Anhang A1.1 8. FORTRAN-Programm FP 1 9. Literaturverzeichnis L 1

Die vorliegende Arbeit analysiert die Phänologie photosynthetisch aktiver Vegetation mit Hilfe von NDVI Zeitreihen für einen Zeitraum von 24 Jahren (AVHRR‑GIMMS Daten). Neben einer Datierung des jahreszeitlichen Wechsels zwischen Wachstums-, Reife- und Seneszenzphase wird das Ziel verfolgt, Trends sowohl in phänologischen Ereignissen (Start-of-Season) als auch im NDVI zu identifizieren. Das, in der semi-ariden Sahelregion gelegene, Untersuchungsgebiet weist mit zwei sich teilweise überlagernden Vegetationsperioden eine komplexe Phänologie auf, deren Modellierung durch die sowohl in ihren Zeitpunkten als auch in ihren Ausprägungen hoch variablen Vegetationsabläufe erschwert wird. Vor diesem Hintergrund ist zunächst ein, auf der Fourieranalyse basierender, Ansatz zur flexiblen Glättung der NDVI Zeitreihen entwickelt worden. Um für die Trendanalyse lineare Regressionsverfahren einsetzen zu können, sind die Zeitreihen nach dem Komponentenmodell untergliedert worden (Subtraktion der Saisonfigur). Alternativ kam der saisonale MANN-KENDALL Trendtest zur Anwendung. Die NDVI Zeitreihen wurden ebenfalls auf Änderungen im mehrjährigen Mittelwert (Bruchpunkte) untersucht. Alle Auswertungen sind in einer eigenen Applikation umgesetzt worden. Es konnte gezeigt werden, daß Änderungen im NDVI Niveau eher abrupt als graduell verlaufen. Langfristige Trends weisen nur geringe Anstiege auf. Die Vegetation erholte sich von der Dürre 1984/85 nur im südlichen Teil des Untersuchungsgebietes, im Norden dominieren langfristig negative Trends. Brüche im mean der NDVI Zeitreihen korrelieren mit Brüchen im Abflußverhalten des Niger.

Die vorliegende Arbeit analysiert die Phänologie photosynthetisch aktiver Vegetation mit Hilfe von NDVI Zeitreihen für einen Zeitraum von 24 Jahren (AVHRR‑GIMMS Daten). Neben einer Datierung des jahreszeitlichen Wechsels zwischen Wachstums-, Reife- und Seneszenzphase wird das Ziel verfolgt, Trends sowohl in phänologischen Ereignissen (Start-of-Season) als auch im NDVI zu identifizieren. Das, in der semi-ariden Sahelregion gelegene, Untersuchungsgebiet weist mit zwei sich teilweise überlagernden Vegetationsperioden eine komplexe Phänologie auf, deren Modellierung durch die sowohl in ihren Zeitpunkten als auch in ihren Ausprägungen hoch variablen Vegetationsabläufe erschwert wird. Vor diesem Hintergrund ist zunächst ein, auf der Fourieranalyse basierender, Ansatz zur flexiblen Glättung der NDVI Zeitreihen entwickelt worden. Um für die Trendanalyse lineare Regressionsverfahren einsetzen zu können, sind die Zeitreihen nach dem Komponentenmodell untergliedert worden (Subtraktion der Saisonfigur). Alternativ kam der saisonale MANN-KENDALL Trendtest zur Anwendung. Die NDVI Zeitreihen wurden ebenfalls auf Änderungen im mehrjährigen Mittelwert (Bruchpunkte) untersucht. Alle Auswertungen sind in einer eigenen Applikation umgesetzt worden. Es konnte gezeigt werden, daß Änderungen im NDVI Niveau eher abrupt als graduell verlaufen. Langfristige Trends weisen nur geringe Anstiege auf. Die Vegetation erholte sich von der Dürre 1984/85 nur im südlichen Teil des Untersuchungsgebietes, im Norden dominieren langfristig negative Trends. Brüche im mean der NDVI Zeitreihen korrelieren mit Brüchen im Abflußverhalten des Niger.

In this work, the fast evaluation and reconstruction of multivariate trigonometric polynomials with frequencies supported on arbitrary index sets of finite cardinality is considered, where rank-1 lattices are used as spatial discretizations. The approximation of multivariate smooth periodic functions by trigonometric polynomials is studied, based on a one-dimensional FFT applied to function samples. The smoothness of the functions is characterized via the decay of their Fourier coefficients, and various estimates for sampling errors are shown, complemented by numerical tests for up to 25 dimensions. In addition, the special case of perturbed rank-1 lattice nodes is considered, and a fast Taylor expansion based approximation method is developed. One main contribution is the transfer of the methods to the non-periodic case. Multivariate algebraic polynomials in Chebyshev form are used as ansatz functions and rank-1 Chebyshev lattices as spatial discretizations. This strategy allows for using fast algorithms based on a one-dimensional DCT. The smoothness of a function can be characterized via the decay of its Chebyshev coefficients. From this point of view, estimates for sampling errors are shown as well as numerical tests for up to 25 dimensions. A further main contribution is the development of a high-dimensional sparse FFT method based on rank-1 lattice sampling, which allows for determining unknown frequency locations belonging to the approximately largest Fourier or Chebyshev coefficients of a function. / In dieser Arbeit wird die schnelle Auswertung und Rekonstruktion multivariater trigonometrischer Polynome mit Frequenzen aus beliebigen Indexmengen endlicher Kardinalität betrachtet, wobei Rang-1-Gitter (rank-1 lattices) als Diskretisierung im Ortsbereich verwendet werden. Die Approximation multivariater glatter periodischer Funktionen durch trigonometrische Polynome wird untersucht, wobei Approximanten mittels einer eindimensionalen FFT (schnellen Fourier-Transformation) angewandt auf Funktionswerte ermittelt werden. Die Glattheit von Funktionen wird durch den Abfall ihrer Fourier-Koeffizienten charakterisiert und mehrere Abschätzungen für den Abtastfehler werden gezeigt, ergänzt durch numerische Tests für bis zu 25 Raumdimensionen. Zusätzlich wird der Spezialfall gestörter Rang-1-Gitter-Knoten betrachtet, und es wird eine schnelle Approximationsmethode basierend auf Taylorentwicklung vorgestellt. Ein wichtiger Beitrag dieser Arbeit ist die Übertragung der Methoden vom periodischen auf den nicht-periodischen Fall. Multivariate algebraische Polynome in Chebyshev-Form werden als Ansatzfunktionen verwendet und sogenannte Rang-1-Chebyshev-Gitter als Diskretisierungen im Ortsbereich. Diese Strategie ermöglicht die Verwendung schneller Algorithmen basierend auf einer eindimensionalen DCT (diskreten Kosinustransformation). Die Glattheit von Funktionen kann durch den Abfall ihrer Chebyshev-Koeffizienten charakterisiert werden. Unter diesem Gesichtspunkt werden Abschätzungen für Abtastfehler gezeigt sowie numerische Tests für bis zu 25 Raumdimensionen. Ein weiterer wichtiger Beitrag ist die Entwicklung einer Methode zur Berechnung einer hochdimensionalen dünnbesetzten FFT basierend auf Abtastwerten an Rang-1-Gittern, wobei diese Methode die Bestimmung unbekannter Frequenzen ermöglicht, welche zu den näherungsweise größten Fourier- oder Chebyshev-Koeffizienten einer Funktion gehören.

In this work, the fast evaluation and reconstruction of multivariate trigonometric polynomials with frequencies supported on arbitrary index sets of finite cardinality is considered, where rank-1 lattices are used as spatial discretizations. The approximation of multivariate smooth periodic functions by trigonometric polynomials is studied, based on a one-dimensional FFT applied to function samples. The smoothness of the functions is characterized via the decay of their Fourier coefficients, and various estimates for sampling errors are shown, complemented by numerical tests for up to 25 dimensions. In addition, the special case of perturbed rank-1 lattice nodes is considered, and a fast Taylor expansion based approximation method is developed. One main contribution is the transfer of the methods to the non-periodic case. Multivariate algebraic polynomials in Chebyshev form are used as ansatz functions and rank-1 Chebyshev lattices as spatial discretizations. This strategy allows for using fast algorithms based on a one-dimensional DCT. The smoothness of a function can be characterized via the decay of its Chebyshev coefficients. From this point of view, estimates for sampling errors are shown as well as numerical tests for up to 25 dimensions. A further main contribution is the development of a high-dimensional sparse FFT method based on rank-1 lattice sampling, which allows for determining unknown frequency locations belonging to the approximately largest Fourier or Chebyshev coefficients of a function. / In dieser Arbeit wird die schnelle Auswertung und Rekonstruktion multivariater trigonometrischer Polynome mit Frequenzen aus beliebigen Indexmengen endlicher Kardinalität betrachtet, wobei Rang-1-Gitter (rank-1 lattices) als Diskretisierung im Ortsbereich verwendet werden. Die Approximation multivariater glatter periodischer Funktionen durch trigonometrische Polynome wird untersucht, wobei Approximanten mittels einer eindimensionalen FFT (schnellen Fourier-Transformation) angewandt auf Funktionswerte ermittelt werden. Die Glattheit von Funktionen wird durch den Abfall ihrer Fourier-Koeffizienten charakterisiert und mehrere Abschätzungen für den Abtastfehler werden gezeigt, ergänzt durch numerische Tests für bis zu 25 Raumdimensionen. Zusätzlich wird der Spezialfall gestörter Rang-1-Gitter-Knoten betrachtet, und es wird eine schnelle Approximationsmethode basierend auf Taylorentwicklung vorgestellt. Ein wichtiger Beitrag dieser Arbeit ist die Übertragung der Methoden vom periodischen auf den nicht-periodischen Fall. Multivariate algebraische Polynome in Chebyshev-Form werden als Ansatzfunktionen verwendet und sogenannte Rang-1-Chebyshev-Gitter als Diskretisierungen im Ortsbereich. Diese Strategie ermöglicht die Verwendung schneller Algorithmen basierend auf einer eindimensionalen DCT (diskreten Kosinustransformation). Die Glattheit von Funktionen kann durch den Abfall ihrer Chebyshev-Koeffizienten charakterisiert werden. Unter diesem Gesichtspunkt werden Abschätzungen für Abtastfehler gezeigt sowie numerische Tests für bis zu 25 Raumdimensionen. Ein weiterer wichtiger Beitrag ist die Entwicklung einer Methode zur Berechnung einer hochdimensionalen dünnbesetzten FFT basierend auf Abtastwerten an Rang-1-Gittern, wobei diese Methode die Bestimmung unbekannter Frequenzen ermöglicht, welche zu den näherungsweise größten Fourier- oder Chebyshev-Koeffizienten einer Funktion gehören.