L'objet de cette thèse est l'étude, sur les variétés riemanniennes compactes $(V_n,g)$ de dimension $n>4$, de l'équation aux dérivées partielles elliptique de quatrième ordre $$(E)\; \Delta^2u+\nabla [a(x)\nabla u] +h(x)u= f(x)|u|^(N-2)u$$ où $a$, $h$, $f$ sont fonction $C^\infty $, avec $f(x)$ fonction constante ou partout positive et $N=(2n\over((n-4)))$ est l'exposant critique. En utilisant la méthode variationnelle on prouve dans le théorème principal que l'équation $(E)$ admet une solution $C^((5,\alpha))(V)$ $0<\alpha<1$ non nulle si une certaine condition qui dépend de la meilleure constante dans les inclusion de Sobolev ($H_2\subset L_(2n\over(n-4))$) est satisfaite. De plus on montre que si $a$ et $h$ sont des fonctions constantes bien précisées la solution de l'équation est positive et $C^\infty(V)$. Lorsque $n\geq 6$, on donne aussi des applications du théorème principal. Dans la dernière partie de cette thèse sur une variété riemannienne compacte à bord de dimension $n$, $(\overline(W)_n,g )$ nous nous intéressons au problème : $$ (P_N) \; \left\lbrace \begin(array)(c) \Delta^2 v+\nabla [a(x)\nabla u] +h(x) v= f(x)|v |^(N-2)v \; \hbox(sur)\; W \\ \Delta v =\delta \, , \, v = \eta \;\hbox(sur) \;\partial W \end(array)\right.$$ avec $\delta$,$\eta$,$f$ fonctions $C^\infty (\overline (W))$ avec $f(x)$ fonction partout positive et on démontre l'existence d'une solution non triviale pour le problème $(P_N)$.

Let us have a boundary value problem for the fourth order homogeneous linear ordinary differential equation with constant coefficients, four zero boundary conditions and one additional unilateral condition in the interior of the domain. We prove the existence of a sequence of non-trivial solutions for three types of boundary conditions.

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