A research report submitted to the Faculty of Humanities, University of the Witwatersrand, Johannesburg, in partial fulfilment of the requirements for the degree of Master of Arts (History of Art), March 2017 / Within this research report, I explore how the (re-)integration of writing and photography enhances an understanding of the role of the personal within documentary practices. I focus on a portion of the Frobenius Archive as my case study, specifically the documents produced during the five-week Natal leg of the ninth expedition in early 1929. The German Leo Frobenius (b.1873–d.1938) was a primarily self-taught Africanist ethnographer, who had an interdisciplinary practice that blurred the boundaries between anthropology, archaeology and history. He conducted a total of twelve expeditions within Africa between 1904 and 1935, and his objective on these expeditions was to record ways of life that he felt were vulnerable to changes due to modernity. The documents collected during the Natal leg consist of field notes, photographs, hand-drawn pictures and diary entries. The field notes comprise of a set of eleven rock art site descriptions that have been constructed by the three artists: Maria Weyersberg, Elisabeth Mannsfeld and Agnes Schulz. Weyersberg’s diary entries provide a more impressionistic set of notes, tracking the day-today unfolding of their journey (but with many gaps). The subject matter of the photographs ranges from the rock art sites and the landscapes these sites are a part of, to the people they encountered along the way. I engaging with the concept of writing, particularly through the example of Weyersberg’s personal diaries, and the ways in which these entries relate to the photographs, creating a space in between where the personal relationships would have played themselves out. Within this research report I demonstrate that writing and photography can be brought back together in order to restore something of the original encounter and that this (re-)integration offers an opportunity for a new dialogue and a new understanding to be achieved. / MT2018

[pt] Estudaremos dinâmicas simbólicas associadas a alfabetos finitos. Consideraremos seqüências bi-infinitas e espaços com memória finita. Estudaremos propriedades invariantes por conjugação. Analisaremos a relação entre os espaços de seqüências e propriedades de matrizes não negativas. O principal exemplo desta correlação é o Teorema de Perron- Frobenius que relaciona a entropia de um espaço de seqüências e os autovalores de uma matriz não negativa associada ao espaço. Neste contexto, certos grafos e suas propriedades aparecem de forma natural. / [en] We study symbolic dynamics associated to finite alphabets. We consider bi-infinite sequences and spaces with finite memory. We pay attention to properties which are invariant by conjugations. We analyze the relation between spaces of sequences and properties of non-negative matrices. The main example is given by the Perron-Frobenius theorem relating the entropy of a space of sequences and the eigerrvalues of a non-negative matrix associated to the space. In this setting, certain graphs and their properties appear in a natural way.

L'algèbre linéaire est une brique de base essentielle du calcul scientifique. Initialement dominée par le calcul numérique, elle connaît depuis les dix dernières années des progrès considérables en calcul exact. Ces avancées algorithmiques rendant l'approche exacte envisageable, il est devenu nécessaire de considérer leur mise en pratique. Nous présentons la mise en oeuvre de routines de base en algèbre linéaire exacte dont l'efficacité sur les corps finis est comparable celles des BLAS numériques. Au délà des applications propres au calcul exact, nous montrons qu'elles offrent une alternative au calcul numérique multiprécision pour la résolution de certains problèmes numériques mal conditionnés.<br /><br />Le calcul du polynôme caractéristique est l'un des problèmes classiques en algèbre linéaire. Son calcul exact permet par exemple de déterminer la similitude entre deux matrices, par le calcul de la forme normale de Frobenius, ou la cospectralité de deux graphes. Si l'amélioration de sa complexité théorique reste un problème ouvert, tant pour les méthodes denses que boîte noire, nous abordons la question du point de vue de la praticabilité : des algorithmes adaptatifs pour les matrices denses ou boîte noire sont dérivés des meilleurs algorithmes existants pour assurer l'efficacité en pratique. Cela permet de traiter de façon exacte des problèmes de dimensions jusqu'alors inaccessibles.

La these s'integre dans la theorie des representations d'un groupe reductif fini. Un tel groupe est defini comme <b>G</b>^F, ou <b>G</b> est un groupe reductif connexe sur un corps algebriquement clos de caracteristique p>0 et F est un endomorphisme tel que l'ensemble des points fixes <b>G</b>^F est fini.<br />Dans cette situation, on obtient une famille de groupes finis en remplacant F par une puissance F^m. Cette idee joue un role important dans la theorie generale des groupes reductifs finis; elle est notamment developpee par Lusztig.<br />Dans le cas ou m=2, F agit comme un automorphisme sur <b>G</b>^F². On peut donc former le produit semi-direct de <b>G</b>^F² par F; la descente de Shintani definit alors une isometrie de l'espace des fonctions centrales sur la tranche <b>G</b>^F².F dans l'espace des fonctions centrales sur <b>G</b>^F. Le but de la these est d'etudier cette isometrie dans le cas des groupes de Suzuki et de Ree de type B₂ et G₂, definis par un endomorphisme F "tres tordu" (dans le sens que F n'est pas un endomorphisme de Frobenius). Ce dernier fait entraine un certain nombre de problemes au niveau de la theorie generale. Nous determinons donc explicitement la table des valeurs des fonctions centrales sur la tranche <b>G</b>^F².F.<br />Comme applications, nous pouvons explicitement determiner les valeurs propres associees par Lusztig aux representations unipotentes cuspidales du groupe de Suzuki et de Ree. Nous pouvons aussi verifier un certain nombre de conjectures dans la theorie des representations modulaires: conjecture de Broue, existence des ensembles basiques. Plus generalement, la determination des tables des caracteres des extensions cycliques rentre dans le projet de determiner les tables des caracteres de toutes les extensions des groupes finis simples.

Les moteurs de recherche jouent un rôle essentiel sur le Web. Ils rassemblent des informations sur les pages web et pour chaque requête d'un internaute, ils donnent une liste ordonnée de pages pertinentes. Ils utilisent divers algorithmes pour classer les pages en fonction de leur contenu textuel ou de la structure d'hyperlien du Web. Ici, nous nous concentrons sur les algorithmes qui utilisent cette structure d'hyperliens, comme le PageRank, HITS, SALSA et HOTS. La notion fondamentale pour tous ces algorithmes est le graphe du web. C'est le graphe orienté qui a un noeud pour chaque page web et un arc entre les noeuds i et j si il y a un hyperlien entre les pages i et j. Le problème original considéré dans cette thèse est l'optimisation du référencement des pages d'un site web donné. Il consiste à trouver une stratégie optimale de liens qui maximise une fonction scalaire d'un classement donné sous des contraintes de design. Le PageRank, HITS et SALSA classent les pages par un vecteur de Perron, c'est-à-dire qu'ils correspondent au vecteur propre principal d'une matrice à coefficients positifs. Quand on optimise le référencement, on optimise donc une fonction scalaire du vecteur propre de Perron sur un ensemble de matrices positives irréductibles. La matrice est construite à partir du graphe du web, donc commander les hyperliens revient à commander la matrice elle-même. Nous étudions d'abord un problème général d'optimisation du PageRank avec une fonction d'utilité correspondant au revenu total du site et des contraintes de design. Ce cas est d'un intérêt particulier car pour de nombreux sites la valeur du PageRank est corrélée au chiffre d'affaires. Nous avons réduit le problème d'optimisation du PageRank à des problèmes de décision markoviens dont les ensembles d'action sont définis implicitement comme étant les points extrêmes de polytopes qui ont un oracle de séparation polynomial. Nous montrons que de tels problèmes de décision markoviens sont solubles en temps polynomial et nous donnons un algorithme qui passe à l'échelle pour la résolution effective du problème d'optimisation du PageRank sur de grandes bases de données. Ensuite, nous étudions le problème général de l'optimisation d'une fonction scalaire du vecteur propre de Perron sur un ensemble de matrices positives irréductibles. Cela couvre tous les classements par vecteur de Perron, HITS et SALSA compris. Nous montrons que la matrice des dérivées partielles de la fonction objectif a un petit rang et peut être calculée par un algorithme qui a les mêmes propriétés de convergence que la méthode de la puissance utilisée pour calculer le classement. Nous donnons un algorithme d'optimisation qui couple les itérations puissance et gradient et nous prouvons sa convergence vers un point stationnaire du problème d'optimisation. En considérant HOTS comme un vecteur de Perron non linéaire, nous montrons que l'algorithme HOTS converge géométriquement et nous résolvons l'optimisation locale de HOTS. Finalement, nous étendons le domaine d'application des méthodes d'optimisation du vecteur propre et de la valeur propre de Perron à l'optimisation de la chimiothérapie, sous l'hypothèse que les cellules se comportent différemment suivant l'heure de la journée. Nous voulons profiter de cette caractéristique pour minimiser le taux de croissance des cellules cancéreuses tout en maintenant le taux de croissance des cellules saines au dessus d'un seuil de toxicité donné. L'objectif et la contrainte peuvent s'écrire comme les valeurs propres de Floquet de modèles d'EDP structurés en âge avec des coefficients périodiques, qui sont approchés par des valeurs propres de Perron dans le problème discrétisé. Nous cherchons des stratégies d'injection de médicament localement optimales par une méthode des multiplicateurs où les minimisations sans contrainte sont faites en utilisant l'algorithme couplant les itérations puissance et gradient développé dans le cadre de l'optimisation du référencement.

Práce se zabývá otázkami reprezentace zvolené částky pomocí libovolného množství mincí předep- saného typu. V první kapitole odvozujeme vzorce pro počet nereprezentovatelných částek a hodnotu největší nereprezentovatelné částky pro dvoumincové systémy. Dále ukazujeme grafový algoritmus pro výpočet Frobeniova čísla a d·kaz NP-úplnosti rozhodovacího problému reprezentovatelnosti zvolené částky v systému s více mincemi. V druhé kapitole se zabýváme výpočtem počtu reprezentací částky zvláš' v systémech o dvou nebo více mincích. Ve třetí kapitole se věnujeme otázce, zda lze ve zvoleném systému mincí použít hladový algoritmus pro nalezení reprezentace částky pomocí nejmenšího možného množství mincí. Poslední kapitola obsahuje sbírku řešených logických úloh o mincích. 1

When a nanostructure is coupled between two leads, the electron transmission probability as a function of energy, E, is used in the Landauer formula to obtain the electrical conductance of the nanodevice. The electron transmission probability as a function of energy, T (E), is calculated from the appropriate solution of the time independent Schrödinger equation. Recently, a large class of nanostructures called quantum dragons has been discovered. Quantum dragons are nanodevices with correlated disorder but still can have electron transmission probability unity for all energies when connected to appropriate (idealized) leads. Hence for a single channel setup, the electrical conductivity is quantized. Thus quantum dragons have the minimum electrical conductance allowed by quantum mechanics. These quantum dragons have potential applications in nanoelectronics. It is shown that for dimerized leads coupled to a simple two-slice (l = 2, m = 1) device, the matrix method gives the same expression for the electron transmission probability as renormalization group methods and as the well known Green's function method. If a nanodevice has m atoms per slice, with l slices to calculate the electron transmission probability as a function of energy via the matrix method requires the solution of the inverse of a (2 + ml) (2 + ml) matrix. This matrix to invert is of large dimensions for large m and l. Taking the inverse of such a matrix could be done numerically, but getting an exact solution may not be possible. By using the mapping technique, this reduces this large matrix to invert into a simple (l + 2) (l + 2) matrix to invert, which is easier to handle but has the same solution. By using the map-and-tune approach, quantum dragon solutions are shown to exist for single-layer planar rectangular crystals with different boundary conditions. Each chapter provides two different ways on how to find quantum dragons. This work has experimental relevance, since this could pave the way for planar rectangular nanodevices with zero electrical resistance to be found. In the presence of randomness of the single-band tight-binding parameters in the nanodevice, an interesting quantum mechanical phenomenon called Fano resonance of the electron transmission probability is shown to be observed.

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The dynamics of a complex system can be understood by analyzing the phase space structure of that system. We apply geometric and statistical techniques to two Hamiltonian systems to find and exploit structure in the phase space that helps us get qualitative and quantitative results about the phase space transport. While the structure can be revealed by the study of invariant manifolds of fixed points and periodic orbits in the first system, there do not exist any fixed points (and hence invariant manifolds) in the second system. The use of statistical (or measure theoretic) and topological methods reveals the phase space structure even in the absence of fixed points or stable and unstable invariant manifolds. The first problem we study is the four-body problem in the context of a spacecraft in the presence of a planet and two of its moons, where we exploit the phase space structure of the problem to devise an intelligent control strategy to achieve mission objectives. We use a family of analytically derived controlled Keplerian Maps in the Patched-Three-Body framework to design fuel efficient trajectories with realistic flight times. These maps approximate the dynamics of the Planar Circular Restricted Three Body Problem (PCR3BP) and we patch solutions in two different PCR3BPs to form the desired trajectories in the four body system. The second problem we study concerns phase space mixing in a two-dimensional time dependent Stokes flow system. Topological analysis of the braiding of periodic points has been recently used to find lower bounds on the complexity of the flow via the Thurston-Nielsen classification theorem (TNCT). We extend this framework by demonstrating that in a perturbed system with no apparent periodic points, the almost-invariant sets computed using a transfer operator approach are the natural objects on which to pin the TNCT. / Ph. D.

The aim of this thesis is to present an extension to the string graphs of Dixon, Duncan and Kissinger that allows the finite representation of certain infinite families of graphs and graph rewrite rules, and to demonstrate that a logic can be built on this to allow the formalisation of inductive proofs in the string diagrams of compact closed and traced symmetric monoidal categories. String diagrams provide an intuitive method for reasoning about monoidal categories. However, this does not negate the ability for those using them to make mistakes in proofs. To this end, there is a project (Quantomatic) to build a proof assistant for string diagrams, at least for those based on categories with a notion of trace. The development of string graphs has provided a combinatorial formalisation of string diagrams, laying the foundations for this project. The prevalence of commutative Frobenius algebras (CFAs) in quantum information theory, a major application area of these diagrams, has led to the use of variable-arity nodes as a shorthand for normalised networks of Frobenius algebra morphisms, so-called "spider notation". This notation greatly eases reasoning with CFAs, but string graphs are inadequate to properly encode this reasoning. This dissertation firstly extends string graphs to allow for variable-arity nodes to be represented at all, and then introduces !-box notation – and structures to encode it – to represent string graph equations containing repeated subgraphs, where the number of repetitions is abitrary. This can be used to represent, for example, the "spider law" of CFAs, allowing two spiders to be merged, as well as the much more complex generalised bialgebra law that can arise from two interacting CFAs. This work then demonstrates how we can reason directly about !-graphs, viewed as (typically infinite) families of string graphs. Of particular note is the presentation of a form of graph-based induction, allowing the formal encoding of proofs that previously could only be represented as a mix of string diagrams and explanatory text.