La conception d’un produit industriel requiert parfois des simulations afin de prédire le comportement du produit en question. En pratique ce type de simulations peut être réalisé en utilisant la méthode des éléments finis, cependant la précision et le niveau de détail souhaité génèrent des modèles difficiles à évaluer. En outre, le caractère itératif présent dans de nombreuses conceptions accentue le ralentissement induit par ces simulations couteuses en temps de calculs. Afin de pallier ce problème, une démarche de réduction de modèle est souhaitée par le partenaire industriel. Les grands axes de travail sur cette méthode sont : la recherche d’une haute compacité, la prise en compte de non-linéarités de grands déplacements et l’évaluation de l’amortissement dans les liaisons du système due au phénomène de contact-friction. / The mechanical design of a system involves many investigations, notably the validation of its structural behaviour over its operating frequency range. This kind of analysis can be numerically performed using the finite element method, however in such a context, the required accuracy and detail level imply models whose significant sizes lead to time consuming simulations. Moreover, the optimization process of such a system may request numerous validation computations that turn out extremely slow the design process. In the framework of this PhD we target a reduction methodology whose main features are: being compact, dealing with non-linear displacement and recovering the damping effects of the model joint due to the contact-friction phenomenon.

Cette étude porte sur des non linéarités physiques des géomatériaux à travers une approche micromécanique. Le caractère frottant de ces matériaux nécessite une adaptation des techniques d'homogénéisation non linéaire. Différentes méthodes de détermination de critères de résistance macroscopiques sont élaborées. On détermine notamment les états limites d'un milieu à matrice frottante suivant la nature de la règle d'écoulement dilatante ou non). On élabore ensuite une théorie micromécanique de la poroplasticité. Elle permet d'apporter un éclairage sur l'existence d'une contrainte effective poroplastique. Dans le cas d'une matrice frottante, on montre qu'une telle contrainte effective fait défaut. Les non linéarités dues à la présence de fissures frottantes sont enfin examinées. On met en évidence l'impact de la règle d'écoulement régissant le mouvement relatif des faces des fissures (éventuellement dilatant) et de la propagation de celles-ci sur le comportement macroscopique.

Les phénomènes de contact impliquant des corps déformables abondent dans l'industrie, notamment dans les structures mécaniques. En raison de leur complexité intrinsèque, les phénomènes de contact sont modélisés à l'aide de problèmes aux limites fortement non linéaires. De ce fait, la modélisation de ces phénomènes pose plusieurs difficultés mathématiques. Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation, l'analyse variationnelle et l'analyse numérique de problèmes de contact glissant intervenant en mécanique des solides, pour des matériaux élastiques, viscoélastiques et viscoplastiques. La première partie de cette thèse rappelle quelques résultats préliminaires, notamment des outils mathématiques et mécaniques nécessaires pour réaliser la suite de ce travail. La deuxième partie est consacrée à l'étude de quelques problèmes de contact glissant sous diverses conditions de contact et frottement. Pour chacun de ces problèmes, nous introduisons les formulations fortes et des formulations variationnelles. Ensuite, nous obtenons des résultats d'existence et d'unicité des solutions faibles, sous certaines hypothèses de petitesse, ainsi que des résultats de convergence. Enfin, nous proposons une approximation numérique de certains problèmes de contact à l'aide de schémas discrétisés. Pour ces schémas, nous obtenons des résultats d'estimation de l'erreur. / Contact phenomena involving deformable bodies abound in industry, especially in mechanical structures. Due to their intrinsic complexity, contact phenomena are modelled with strongly nonlinear boundary problems. For this reason, the modelling of these phenomena gives rise to various mathematical difficulties. In this thesis, we are interested in the modelling, the variational analysis and the numerical analysis of problems of sliding contact in solid mechanics for elastic, viscoelastic and viscoplastic materials. The first part of this thesis concerns some preliminary results, in particular the mathematical and mechanical tools necessary to carry out the continuation of this work. The second part is devoted to the study of some problems of sliding contact under various conditions of contact and friction. For each of these problems, we introduce strong formulations and variational formulations. Then, we obtain results of existence and uniqueness of the weak solutions, under smallness assumptions, as well as results of convergence. Finally, we propose a numerical approximation of some contact problems based on the etudy of discretized schemes. For these schemes we obtain error estimates results.

Pour les groupes turbo-alternateurs du parc nucléaire français, la situation accidentelle de référence lors du dimensionnement est définie par le départ d'une ailette terminale des corps basse pression. Après avoir détecté la perte de l'ailette, la turbine est déconnectée du réseau électrique, et la turbomachine ralentit progressivement sous l'effet de frottements d'origine fluide. Le dimensionnement consiste alors à vérifier que les structures palières sont capables de supporter l'effort résultant du balourd généré par cette perte d'ailette pendant la phase de ralentissement, notamment lors du passage des vitesses pour lequel des contacts rotor-stator peuvent se produire. A cet effet, un modèle éléments finis de turbine a été développé pour simuler des transitoires de vitesse d'un rotor en considérant la vitesse de rotation de l'arbre comme une inconnue, permettant ainsi d'estimer la décélération angulaire due au contact frottant. Trois modèles de stator ont été proposés appréhender le comportement dynamique du carter, et le couplage des structures est réalisé au moyen des forces de contact calculées par la méthode des multiplicateurs de Lagrange. La résolution des équations non-linéaires du mouvement a nécessité le développement d'un algorithme de contact, adapté à la géométrie de chacun des carters. Des simulations réalisées sur un modèle simple de turbine montrent que la vitesse de rotation et les chargements aux paliers sont bien estimés lors de l'interaction rotor-stator. Ainsi l'outil numérique permet d'étudier la réponse couplée rotor-stator et de prédire l'influence de paramètres tels que le coefficient de friction et les propriétés matérielles du stator.

Les structures fibreuses, formées d'une assemblée d'objets longilignes flexibles, sont très présentes dans notre environnement quotidien, notamment dans des systèmes biologiques tels que les végétaux ou les cheveux. Ces dernières années ont vu se développer diverses techniques de numérisation de la géométrie de fibres, soit par synthèse manuelle, soit par capture automatique. Parallèlement, de nombreux modèles physiques de simulation dynamique de fibres enchevêtrées ont été créés pour animer automatiquement ces objets complexes. Le but de cette thèse est d'établir un pont entre ces deux domaines: la géométrie de fibres d'une part, leur simulation dynamique d'autre part. Plus précisément, nous nous intéressons à la mise en correspondance d'une géométrie de fibres donnée en entrée, représentant un système mécanique à l'équilibre stable sous l'action de forces extérieures (gravité, forces de contact), avec les paramètres d'un modèle physique de fibres en contact. Notre objectif est de calculer les paramètres physiques des fibres de manière à garantir l'état d'équilibre de la géométrie donnée. Nous proposons de résoudre ce problème en choisissant comme modèle physique de fibres une assemblée de super-hélices en contact frottant. Nous proposons deux contributions principales. La première répond au besoin de convertir la géométrie d'une fibre numérisée quelconque, représentée comme une courbe 3d, en la géométrie du modèle des super-hélices, à savoir une courbe $G^1$ en hélices par morceaux. Nous proposons pour cela l'algorithme des tangentes flottantes 3d, qui consiste, en s'appuyant sur la condition de co-hélicité récemment énoncée par Ghosh, à interpoler N+1 tangentes réparties sur la courbe d'origine par N morceaux d'hélice, tout en minimisant l'écart en position. Par ailleurs nous complétons la démonstration partielle de Ghosh pour prouver la validité de notre algorithme dans le cas général. L'efficacité et la précision de notre méthode sont ensuite mises en évidence sur des jeux de données variés, d'abord synthétiques, créés par une artiste, puis issus de la capture de données réelles telles que des cheveux, des fibres musculaires ou des lignes de champ magnétique stellaire. Notre seconde contribution est le calcul de la géométrie au repos du modèle physique d'une assemblée de super-hélices, de sorte que la configuration de ce système à l'équilibre sous l'action des forces extérieures corresponde à la géométrie d'entrée. D'abord, nous considérons une fibre isolée soumise à des forces dérivant d'un potentiel, et montrons que le calcul est trivial dans ce cas. Nous proposons alors un critère simple permettant de décider si l'état d'équilibre est stable, et dans le cas contraire, de le stabiliser. Ensuite, nous considérons une assemblée de fibres soumises à des forces de contact frottant, modélisées par la loi non-régulière de Signorini-Coulomb. En considérant le matériau homogène, de masse et de raideur connues, et en nous appuyant sur une estimation de la géométrie au repos, nous construisons un problème d'optimisation quadratique convexe avec contraintes du second ordre. Nous montrons que ce problème inverse peut être résolu efficacement en utilisant un solveur conçu initialement pour le problème dynamique direct. Pour une géométrie d'entrée constituée de quelques milliers de fibres soumises à plusieurs dizaines de milliers de contacts frottants, nous calculons en quelques secondes une approximation plausible de la géométrie au repos des fibres, ainsi que des forces de contact en jeu. Nous appliquons finalement la combinaison de nos deux contributions à la synthèse automatique de coiffures physiques. Notre méthode permet d'initialiser un moteur physique de cheveux avec la géométrie issue des captures de coiffures réelles les plus récentes, et d'animer ensuite ces coiffures. / Fibrous structures, which consist of an assembly of flexible slender objects, are ubiquitous in our environment, notably in biological systems such as plants or hair. Over the past few years, various techniques have been developed for digitalizing fibers, either through manual synthesis or with the help of automatic capture. Concurrently, advanced physics based models for the dynamics of entangled fibers have been introduced in order to animate these complex objects automatically. The goal of this thesis is to bridge the gap between those two areas: on the one hand, the geometric representation of fibers; on the other hand, their dynamic simulation. More precisely, given an input fiber geometry assumed to represent a mechanical system in stable equilibrium under external forces (gravity, contact forces), we are interested in the mapping of such a geometry onto the static configuration of a physics-based model for a fiber assembly. Our goal thus amounts to computing the parameters of the fibers that ensure the equilibrium of the given geometry. We propose to solve this inverse problem by modeling a fiber assembly physically as a discrete collection of super-helices subject to frictional contact. We propose two main contributions. The first one deals with the problem of converting the digitalized geometry of fibers, represented as a space curve, into the geometry of the super-helix model, namely a $G^1$ piecewise helical curve. For this purpose we introduce the 3d floating tangents algorithm, which relies upon the co-helicity condition recently stated by Ghosh. More precisely, our method consists in interpolating N+1 tangents distributed on the initial curve by N helices, while minimizing points displacement. Furthermore we complete the partial proof of Ghosh for the co-helicity condition to prove the validity of our algorithm in the general case. The efficiency and accuracy of our method are then demonstrated on various data sets, ranging from synthetic data created by an artist to real data captures such as hair, muscle fibers or lines of the magnetic field of a star. Our second contribution is the computation of the geometry at rest of a super-helix assembly, so that the equilibrium configuration of this system under external forces matches the input geometry. First, we consider a single fiber subject to forces deriving from a potential, and show that the computation is trivial in this case. We propose a simple criterion for stating whether the equilibrium is stable, and if not, we show how to stabilize it. Next, we consider a fiber assembly subject to dry frictional contact (Signorini-Coulomb law). Considering the material as homogeneous, with known mass and stiffness, and relying on an estimate of the geometry at rest, we build a well-posed convex quadratic optimization problem with second order cone constraints. For an input geometry consisting of a few thousands of fibers subject to tens of thousands frictional contacts, we compute within a few seconds a plausible approximation of both the geometry of the fibers at rest and the contact forces at play. We finally apply the combination of our two contributions to the automatic synthesis of natural hairstyles. Our method is used to initialize a physics hair engine with the hair geometry taken from the latest captures of real hairstyles, which can be subsequently animated physically.

Le dimensionnement des liaisons boulonnées représente une part non négligeable du travail des bureaux d’études des industries aéronautiques. En effet leur nombre peut varier de plusieurs milliers à plusieurs millions selon le type d’avion. À l’heure actuelle la mise au point de ce type d’attache se fait grâce à des éléments finis en trois dimensions. La complexité des phénomènes mis en jeux par ce type de connexion tels que le contact le frottement et les jeux entraînent des calculs non linéaires très chronophages.L’objectif des travaux de thèse a été de proposer un connecteur élément fini remplaçant l’ensemble de la discrétisation 3D d’un boulon pour les calculs numériques de dimensionnement en étant basé sur des paramètres liés au comportement mécanique.La mise au point d’un algorithme prenant en compte le contact afin de modéliser le comportement global des parties assemblées fut le point de départ de la réflexion.Cet algorithme a été implémenté au sein du logiciel Samcef à travers une routine codée en Fortran 77.Des tests de qualifications du comportement normal et tangentiel ont été effectués afin de valider l’algorithme mis au point.Une méthode d’identification des paramètres du connecteur est ici proposée : certains peuvent être déterminés de manière analytique et d’autres de manière numérique.Enfin des cas tests de validation sur des assemblages industriels ont été effectués afin de mettre en évidence un gain en temps de calcul conséquent tout en maintenant une qualité suffisante pour le dimensionnement. / The design of bolted connections represents a significant part of the work of research department of aeronautical industries. Indeed, their number can vary from several thousands to several millions depending on the aircraft type. At the present time, the development of this type of attachment is done with finite elements in three dimensions. The complexity of concerned phenomena by this type of connection as the contact friction and gaps requires nonlinear computations which are very time consuming.The aim of the thesis was to propose a finite element connector for replacing the whole 3D discretisation of a bolt during the design computations while being based on parameters related to mechanical behaviour.The development of an algorithm taking into account contacts to model the overall behaviour of the parts was the starting point of the reflexion.Then this algorithm was implemented in the SAMCEF software through a routine coded in Fortran 77.Normal and tangential behaviour qualification tests were performed to validate the algorithm developed.A method for identifying connector parameters is proposed here, some of these parameters can be determined using an analytical approach, others need a numerical one.Finally, validations on industrial test cases were carried out to prove a substantial cpu time savings while maintaining a good level of quality.

Dans cette thèse, nous présentons et étudions une nouvelle formulation du problème de contact frottant entre deux corps élastiques se basant sur la méthode de Nitsche. Dans cette méthode les conditions de contact sont imposées faiblement, grâce à un terme additionnel consistant et stabilisé par un paramètre gamma. En premier lieu, nous introduisons, l’étude effectuée en petites déformations pour une version non biaisée de la méthode. La non-distinction entre une surface maître et une surface esclave permettera à la méthode d’être plus générique et applicable directement au problème d’auto-contact. Le cadre restrictif des petites déformations nous permet d’obtenir des résultats théoriques sur la stabilité et la convergence de la méthode. Ces résultats sont complétés par une validation numérique. Ensuite, nous introduisons l’extension de la méthode de Nitsche au cadre des grandes déformations qui est d’avantage pertinent pour les applications industrielles et les situations d’auto-contact. La méthode de Nitsche est formulée pour un matériau hyper-élastique avec frottement de Coulomb et se décline en deux versions : biaisée ou non. La formulation est généralisée à travers un paramètre theta pour couvrir toute une famille de méthodes. Chaque variante particulière a des propriétés différentes du point de vue théorique et numérique, en termes de précision et de robustesse. La méthode est testée et validée à travers plusieurs cas tests académiques et industriels. Nous effectuons aussi une étude de l’influence de l’intégration numérique sur la précision et la convergence de la méthode. Cette étude couvre une comparaison entre plusieurs schémas d’intégration proposés dans la littérature pour d’autres méthodes intégrales. / In this thesis, we present and study a new formulation of frictional contact between two elastic bodies based on Nitsche’s method. This method aims to treat the interface conditions in a weak sense, thanks to a consistent additional term stabilized with the parameter gamma. At first, we introduce the study carried out in the small strain framwork for an unbiased version of the ethod. The non-distinction between a master surface and a slave one will allow the method to be more generic and directly applicable to the self-contact problem. The restrictive framework of small strain allowed us to obtain theoretical results on the consistency and convergence of the method. Then, we present the extension of the Nitsche method to the large strain case more relevant for industrial applications and situations of self-contact. This Nitsche’s method is formulated for an hyper-elastic material and declines in the two versions: biased and unbiased. We describe a class of methods through a generalisation parameter theta . Particular variants have different properties from a numerical point of view, in terms of accuracy and robustness. To prove the accuracy of the method for large deformations, we provide several academic and industrial tests. We also study the influence of numerical quadrature on the accuarcy and convergence of the method. This study covers a comparison of several integration rules proposed in the literature for other integral methods.

Il est intéressant d'observer qu'une grande partie des objets déformables qui nous entourent sont caractérisés par une forme élancée : soit filiforme, comme les cheveux, les plantes, les fils ; soit surfacique, comme le papier, les feuilles d'arbres, les vêtements ou la plupart des emballages. Simuler (numériquement) la mécanique de telles structures présente alors un intérêt certain : cela permet de prédire leur comportement dynamique, leur forme statique ou encore les efforts qu'elles subissent. Cependant, pour pouvoir réaliser correctement ces simulations, plusieurs problèmes se posent. Les modèles (mécaniques, numériques) utilisés doivent être adaptés aux phénomènes que l'on souhaite reproduire ; le modèle mécanique choisi doit pouvoir être traité numériquement ; enfin, il est nécessaire de connaître les paramètres du modèle qui permettront de reproduire l'instance du phénomène souhaitée. Dans cette thèse nous abordons ces trois points, dans le cadre de la simulation de structures élancées.Dans la première partie, nous proposons un modèle discret de tiges de Kirchhoff dynamiques, de haut degré, basé sur des éléments en courbures et torsion affines par morceaux : les Super-Clothoïdes 3D. Cette discrétisation spatiale est calculée de manière précise grâce à une méthode dédiée, adaptée à l'arithmétique flottante, utilisant des développements en séries entières. L'utilisation des courbures et de la torsion comme degrés de liberté permet d'aboutir à un schéma d'intégration stable grâce à une implicitation, à moindres frais, des forces élastiques. Le modèle a été utilisé avec succès pour simuler la croissance de plantes grimpantes ou le mouvement d'une chevelure. Nos comparaisons avec deux modèles de référence de la littérature ont montré que pour des tiges bouclées, notre approche offre un meilleur compromis en termes de précision spatiale, de richesse de mouvements générés et d'efficacité en temps de calcul.Dans la seconde partie, nous nous intéressons à l'élaboration d'un algorithme capable de retrouver la géométrie au repos (non déformée) d'une coque en contact frottant, connaissant sa forme à l'équilibre et les paramètres physiques du matériau qui la compose. Un tel algorithme trouve son intérêt lorsque l'on souhaite simuler un objet pour lequel on dispose d'une géométrie (numérisée) « à l'équilibre » mais dont on ne connaît pas la forme au repos. En informatique graphique, un exemple d'application est la modélisation de vêtements virtuels sous la gravité et en contact avec d'autres objets : simplement à partir de la forme objectif et d'un simulateur de vêtement, le but consiste à identifier automatiquement les paramètres du simulateur tels que la forme d'entrée corresponde à un équilibre mécanique stable. La formulation d'un tel problème inverse comme un problème aux moindres carrés nous permet de l'attaquer avec la méthode de l'adjoint. Cependant, la multiplicité des équilibres, donnant au problème direct son caractère mal posé, nous conduit à « guider » la méthode en pénalisant les équilibres éloignés de la forme objectif. On montre enfin qu'il est possible de considérer du contact et du frottement solide dans l'inversion, en reformulant le calcul d'équilibres en un problème d'optimisation sous contraintes coniques, et en adaptant la méthode de l'adjoint à ce cas non-régulier. Les résultats que nous avons obtenus sont très encourageants et nous ont permis de résoudre des cas complexes où l'algorithme se comportait de manière intuitive. / It is interesting to observe that many of the deformable objects around us are characterized by a slender structure: either in one dimension, like hair, plants, strands, or in two dimensions, such as paper, the leaves of trees or clothes. Simulating the mechanical behavior of such structures numerically is useful to predict their static shape, their dynamics, or the stress they undergo. However, to perform these simulations, several problems need to be addressed. First, the model (mechanical, numerical) should be adapted to the phenomena which it is aimed at reproducing. Then, the chosen mechanical model should be discretized consistently. Finally, it is necessary to identify the parameters of the model in order to reproduce a specific instance of the phenomenon. In this thesis we shall discuss these three points, in the context of the simulation of slender structures.In the first part, we propose a discrete dynamic Kirchhoff rod model of high degree, based on elements with piecewise affine curvature and twist: the Super-Space-Clothoids. This spatial discretization is computed accurately through a dedicated method, adapted to floating-point arithmetic, using power series expansions. The use of curvature and twist as degrees of freedom allows us to make elastic forces implicit in the integration scheme. The model has been used successfully to simulate the growth of climbing plants or hair motion. Our comparisons with two reference models have shown that in the case of curly rods, our approach offers the best trade-off in terms of spatial accuracy, richness of motion and computational efficiency.In the second part, we focus on identifying the undeformed configuration of a shell in the presence of frictional contact forces, knowing its shape at equilibrium and the physical parameters of the material. Such a method is of utmost interest in Computer Graphics when, for example, a user often wishes to model a virtual garment under gravity and contact with other objects regardless of physics. The goal is then to interpret the shape and provide the right ingredients to the cloth simulator, so that the cloth is actually at equilibrium when matching the input shape. To tackle such an inverse problem, we propose a least squares formulation which can be optimized using the adjoint method. However, the multiplicity of equilibria, which makes our problem ill-posed, leads us to "guide" the optimization by penalizing shapes that are far from the target shape. Finally, we show how it is possible to consider frictional contact in the inversion process by reformulating the computation of equilibrium as an optimization problem subject to conical constraints. The adjoint method is also adjusted to this non-regular case. The results we obtain are very encouraging andhave allowed us to solve complex cases where the algorithm behaves intuitively.

Cette thèse traite de l'analyse robuste du comportement dynamique des systèmes frottants. Ces derniers constituent une classe particulière des systèmes non linéaires et sont caractérisés par des comportements dynamiques très sensibles aux variations des paramètres de conception en particulier aux dispersions des lois de frottement. Cette sensibilité se traduit par des variations qualitatives importantes du comportement dynamique (stabilité, niveaux vibratoire) qui peuvent alors affecter négativement les performances des systèmes frottants. Il est ainsi important, voire indispensable, de pouvoir tenir compte de la dispersion des lois de frottement dans l'étude et l'analyse du comportement dynamique des systèmes frottants afin d'en garantir la robustesse et, dans une perspective plus générale, d'asseoir une démarche de conception robuste des systèmes frottants. Des méthodes spectrales basées sur le concept du chaos polynomial sont proposées dans cette thèse pour traiter de l'analyse robuste du comportement dynamique des systèmes frottants. Pouvant modéliser les fonctions et processus stochastiques, ces méthodes sont adaptées au problème en particulier à l'analyse de la stabilité et à la prédiction des niveaux vibratoires en tenant compte de la dispersion des lois de frottement. Différentes procédures sont proposées et développées pour traiter de ces deux questions. Une efficacité importante a été illustrée à travers l'évaluation des différentes méthodes proposées (chaos polynomial généralisé, chaos polynomial multi-éléments, chaos de Wiener-Haar) en les appliquant sur un exemple de système frottant. En effet, il est montré que ces méthodes offrent une alternative très intéressante à la méthode prohibitive, mais référentielle, de Monte Carlo puisque, pour des niveaux de précision et de confiance similaires, le coût en nombre, en volume et nécessairement en temps de calcul occasionné par les méthodes spectrales sur les différentes analyses (de la stabilité et des niveaux vibratoire) est largement inférieur à celui requis par la technique de Monte Carlo.

Lors de la conception d'un frein, le confort et le bien-être du consommateur font partie des critères principaux. En effet, les instabilités de crissement, qui engendrent une des pollutions acoustiques les plus importantes, représentent un challenge actuel pour la communauté scientifique et les industriels du domaine. Dans le cadre de cette thèse, nous nous sommes intéressés à la mise en évidence du caractère variable du crissement, observé pour deux systèmes de freinage d'un même véhicule, grâce à des plans d'expériences, expérimental et numérique. Pour être représentatif d'une famille de structures, il est désormais indéniable qu'il faille prendre en compte les variabilités observées sur de multiples paramètres liés au système étudié dès la phase de conception. L'enrichissement des simulations déterministes actuelles nécessite la mise en place d'outils non déterministes rapides et respectant le conservatisme des solutions étudiées. Pour ce faire, nous avons contribué au développement de méthodes numériques dédiées à la propagation des données floues dans le cas des graphes de coalescence, à la détermination des positions d'équilibre de corps en contact frottant à partir d'une méthode de régulation basée sur la logique floue. Cette solution permet d'appliquer une technique de projection pour réduire le coût numérique en utilisant des bases modales des composants réanalysées par un développement homotopique.