Dans de nombreux phénomènes régis par le hasard, le résultat de l'observation provient de la combinaison aléatoire d'événements élémentaires : le gain d'un joueur au jeu de pile ou face est le résultat de parties successives, mélanger un jeu de cartes s'effectue en plusieurs battages consécutifs, l'enchevêtrement d'une molécule d'ADN dans une cellule est le produit, entre autres, de croisements successifs. Ces événements élémentaires ont la particularité d'être réversibles (gagner/perdre au pile ou face, croiser/décroiser des brins d'ADN) et l'aléa régissant leur combinaison possède une certaine indépendance (l'issue d'une partie de pile ou face n'a a priori aucune influence sur la suivante). Un modèle possible pour ces phénomènes consiste à considérer un groupe G, fini ou dénombrable, que l'on munit d'une mesure de probabilité μ. On effectue des tirages successifs d'éléments dans G avec les hypothèses suivantes : les tirages sont indépendants, et, pour chaque tirage, μ(g) est la probabilité de tirer l'élément g. Si g1, g2,...,gn est le résul- tat de n tirages, on forme le produit g1.g2. ... . gn. C'est, par définition, la position à l'instant n de la marche aléatoire sur G de loi μ, et la question est : que peut-on dire du comportement asymptotique de g1.g2. ... .gn lorsque n augmente in- définiment ? La marche aléatoire s'en va-t'elle à l'infini ? Si oui, dans quelle direction ? Et à quelle vitesse ? Mes travaux depuis 2003 sont consacrés, pour l'essentiel, à l'étude du comportement asymptotique des marches aléatoires dans trois familles de groupes infinis, non abéliens et de type fini : les produits libres de groupes finis, les groupes d'Artin diédraux, ainsi que certaines extensions des groupes libres. Ils sont le fruit de collaborations avec Jean Mairesse (CNRS, Paris VI) et François Gautero (Université de Nice). Dans le cas des produits libres de groupes finis, nous décrivons précisément la mesure harmonique pour les marches aléatoires au plus proche voisin dans ces groupes, ce qui permet de calculer la vitesse et l'entropie asymptotique. En particulier, ces quantités dépendent de façon analytique des coefficients de μ. Considérant l'inégalité fondamentale de Yves Guivarc'h entre vitesse, entropie et croissance, nous montrons que les générateurs canoniques des produits libres de groupes finis sont extrémaux au sens de Vershik. Les groupes d'Artin diédraux forment une classe de groupes d'Artin qui généralise le groupe de tresses à trois brins B3 et pour laquelle nous donnons une description précise des géodésiques. La connaissance de la vitesse de fuite des marches aléatoires au plus proche voisin dans le groupe B3 est un premier outil de mesure de la complexité asymptotique d'une tresse aléatoire. Dans ce cas, on montre que la vitesse dépend de façon lipschitzienne mais non différentiable de μ, faisant apparaître certaines transitions de phase. Enfin, en ce qui concerne les extensions du groupe libre, nous montrons que, dans certains cas (comprenant notamment les extensions cycliques) les fonctions μ-harmoniques bornées sont entièrement décrites via le bord du groupe libre sous-jacent. La preuve repose sur l'existence d'actions non triviales de ces groupes sur des arbres réels, couplée à des critères généraux sur les compactifications des groupes développés par Vadim Kaimanovich.

Cette thèse est divisée en deux parties. La première est consacrée à la méthode du barycentre, introduite en 1995 par G. Besson, G. Courtois et S. Gallot pour résoudre la conjecture de l'Entropie Minimale. Dans le Chapitre 1 nous décrivons ses développements les plus récents, notamment l'extension de cette méthode au cadre des variétés dont la courbure sectionnelle est de signe quelconque (voir les énoncés 1.2.1 et 1.4.1). Dans le Chapitre 2 et 3 nous présentons des résultats dans lesquels la méthode du barycentre joue un rôle important. Le problème “deux variétés dont les flots géodésiques sont conjugués sont-elles isométriques ?” (problème de la rigidité par conjugaison des flots) est le thème du Chapitre 2. Après avoir montré que deux telles variétés ont la même géométrie à grande échelle, on montre comment on peut utiliser ce résultat et la méthode du barycentre pour donner une nouvelle preuve de la rigidité (par conjugaison des flots) des variétés plates. Dans le Chapitre 3 nous utilisons la méthode du barycentre (en courbure de signe quelconque) et des inégalités de Sobolev itérées pour démontrer un théorème de comparaison entre les spectres de deux variétés riemanniennes (Y , g) et (X , g') de volumes proches, sachant qu'il existe une approximation de Gromov-Hausdorff de degré non nul entre ces deux variétés. Il s'agit d'un résultat d'approximation avec majoration de l'erreur d'approximation (et pas seulement d'un résultat de convergence). Remarquons qu'il n'est fait aucune autre hypothèse géométrique (et en particulier aucune hypothèse de courbure) sur la variété (Y , g), ce qui autorise un grand nombre de contre-exemples prouvant que le résultat est optimal. Dans la deuxième partie de la thèse (chapitre 4), on démontre un Lemme de Margulis sans hypothèse sur la courbure, qui s'applique aux variétés dont les groupes fondamentaux sont des produits libres (et qui ne possèdent pas d'élément de torsion d'ordre 2). Nous donnons également une borne inférieure de la systole des variétés dont le diamètre et l'entropie volumique sont majorés et dont le groupe fondamental est isomorphe à un produit libre sans torsion. Comme conséquences de ce dernier résultat nous obtenons des résultats de précompacité et de finitude topologique ou différentiable pour les variétés riemanniennes et une minoration de leur volume, tout ceci sans faire d'hypothèse de courbure. / This Ph.D. Thesis is divided into two parts. In the first part we present the barycenter method, a technique which has been introduced by G. Besson, G. Courtois and S. Gallot in 1995, in order to solve the Minimal Entropy conjecture. In Chapter 1 we are interested in the more recent developments of this method, more precisely in the recent extension of the method to the case of manifolds having sectional curvature of variable sign. In Chapters 2 and 3 we shall present some new results whose proofs make use of the barycenter method. The Conjugacy Rigidity problem is the theme of Chapter 2. First we show a general result which provide a comparison between the large scale geometry of the Riemannian universal coverings of two compact manifolds whose geodesic flows are conjugates. Then we shall show how we can apply the latter result and the barycenter method in curvature of variable sign in order to give a new proof of the conjugacy rigidity of flat manifolds. In Chapter 3 we shall give a proof of a spectra comparison theorem for a compact Riemannian manifold which admits a Gromov-Hausdorff-approximation of non zero absolute degree on a fixed compact manifold (X,g') and which has volume almost smaller than the one of the reference manifold. The proof relies on the barycenter method in curvature of variable sign and on iterated Sobolev inequalities. We underline that it is an approximation result (and not just a convergence result) and that no curvature assumptions are made or inferred on (Y,g). The second part of the Thesis consists of a single chapter. In this chapter we prove a Margulis Lemma without curvature assumptions for Riemannian manifolds having decomposable 2-torsionless fundamental group. We shall give also a proof of a universal lower bound for the homotopy systole of compact Riemannian manifolds having bounded volume entropy and diameter, and decomposable torsionless fundamental group. As a consequence of the latter result we shall deduce a Precompactness and Finiteness theorem and a Volume estimate without curvature assumptions.