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La présente thèse est consacrée à l'étude expérimentale et la simulation de la dynamique des gaz granulaires vibro-fluidisés. Les gaz granulaires sont caractérisés par une dissipation due aux collisions inélastiques. Pour maintenir cet état à l'équilibre mécanique (stationnarité), l'énergie est injectée en continu depuis les bords vibrant pour équilibrer la dissipation des vibrations. Ce système fournit une base d'étude de la physique des systèmes non-linéaires, hors équilibre thermodynamique et dissipatifs. Cette thèse insiste sur la nécessité d'intégrer, de comprendre et de rendre compte de la situation inhomogène de la distribution locale dans les gaz granulaires et permet la construction d'un nouveau modèle de gaz granulaires fluidisés par des vibrations. Cette approche inclut (i) des résultats expérimentaux 2d en micro-gravité dans l'Airbus A300 0-g de Novespace, des expériences 2d avec des cellules (et des vibrations) horizontales, des expériences 2d sur plan incliné (avec vibrations et cellules inclinées et avec une gravité effective variable), ainsi que des simulations de dynamique moléculaire par la méthode " event-driven" appliquée à chaque choc. Ces résultats confortent les simulations 3D de Liu et al. Les expériences en micro-gravité dans Airbus A380 (vol parabolique) permettent d'éviter les frottements avec les parois planes et éliminent l'effet de gravité. Les distributions locales de la vitesse dans la direction de vibrations sont asymétriques partout (à l'exception de la zone centrale de la cellule par raison de symétrie). L' équipartition de l'énergie n'est pas vérifiée dans la cellule, l'énergie est distribuée de manière inhomogène, anisotrope et directionnelle. La " température granulaire " n'est plus une mesure efficace pour décrire un tel système. On rend compte de ces résultats à l'aide d'une superposition de deux modèle gaussien pour décrire les profils locaux de vitesse asymétriques le long de la direction de vibration. Les résultats des simulations de dynamique moléculaire 2d en gravité nulle montrent les mêmes tendances et confortent les résultats l'expérimentaux (dissymétrie des distributions de vitesse locales). Cette dissymétrie est un effet à longue portée et est liée à la dissipation du système: Elle augmente si le coefficient de restitution billes-billes diminue ou lorsque le nombre de particules augmente. La dissymétrie disparaît lorsque les chocs billes-billes sont élastiques. Cet effet ne peut être ignoré et doit être traité comme la frontière d'une "nouvelle hydrodynamique". Dans les expériences de vibrations sur cellule 2D et plan inclinés parallèles aux vibrations, l'angle d'inclinaison a été modifié de façon systématique de l'horizontale à la verticale, pour simuler différentes gravités effectives. Les résultats confirment une dissymétrie locale des distributions de vitesse locales, à laquelle se rajoute une dissymétrie supplémentaire liée à la gravité, provoquant une densité différente en haut et en bas de la cellule. Ces études sont les prémices, nous le pensons, d’une nouvelle vision de la mécanique des gaz granulaires réels dissipatifs. / The present thesis is dedicated to the experimental and simulation study of vibro-fluidized granular gases dynamics. Granular gases are characterized by dissipation due to inelastic collisions. To keep a steady state, continuous energy is injected to balance dissipation by vibration. This system provides a platform to study the physics of non-linear, non-equilibrium and dissipative systems. This dissertation insisted on the necessity of understanding the local state in the granular gases and building a new model for vibration-fluidized granular gases. Research approach included experiments in micro-gravity, event-driven molecular dynamic simulation and experiments in tilted plane with various gravity. Micro-gravity experiments were performed on Airbus A380 (Parabolic flight) to avoid friction with the bottom and gravity field. A long range boundary effect is found to exist in 2D vibration granular gases. Local distributions of the velocity component in the vibration direction are asymmetric in the whole cell except for the center bin. In the system, energy equi-partition breaks down. ``Granular temperature" is not efficient to describe such a system. We proposed a superposition of two Gaussian model to describe the local asymmetric velocity profiles along the vibration direction. We demonstrated the performance of this model by the Airbus experimental data and others’ simulation works. Event-driven molecular dynamics simulation was utilized. Results showed support for experiment results. Furthermore, we found this long range boundary effect is related to the system dissipation. This effect becomes pronounced if the coefficient of restitution (e<1) decreased or the number of particles increased. For the elastic situation, there is no such effect. This effect cannot be ignored and treated only as a local boundary effect as in hydrodynamics. We studied a 2D vibration fluidized granular system in a tilted plane systematically. The inclined angle is changed from horizontal to vertical, changing the "effective gravity". These results also showed asymmetric local velocity distributions. Other than the number density profiles deviate from an exponential form, the spatial profiles of the number density of particles moving up and down are not equal, and non symetric from cell center.

Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique et numérique d'une classe d'équations cinétiques collisionnelles, de type équation de Boltzmann. Nous avons porté un intérêt tout particulier à l'équation des milieux (ou gaz) granulaires, initialement introduite dans la littérature physique pour décrire le comportement hors équilibre de matériaux composés d'un grand nombre de grains, ou particules, non nécessairement microscopiques, et interagissant par des collisions dissipant l'énergie cinétique. Ces modèles se sont révélés avoir une structure mathématique très riche. Cette thèse se structure en trois partie pouvant être lues de manière indépendante, mais néanmoins en rapport avec des équations cinétiques collisionnelles en général, et l'équation des milieux granulaires en particulier. La première partie est dédiée à l'étude mathématique du comportement asymptotique de certaines équations cinétiques collisionnelles dans un cadre homogène en espace. Nous y montrons des résultats de type explosion et convergence vers la solution autosimilaire avec calcul explicite des taux, pour des opérateurs de type Boltzmann, grâce à l'utilisation (entre autre) d'une nouvelle méthode de changement de variables dépendant directement de la solution de l'équation considérée. En particulier, nous démontrons que pour un modèle de gaz granulaire - dit anormal - il est possible d'observer une explosion en temps fini. Dans la deuxième partie, orientée analyse numérique et calcul scientifique, nous nous intéressons développement et à l'étude de méthodes spectrales pour la résolution de problèmes multi-échelles, issus de la théorie des équations cinétiques collisionnelles. Les méthodes de changement de variables tiennent aussi une place importante dans cette partie, et permettent d'observer numériquement des phénomènes non triviaux qui apparaissent lors de l'étude de gaz granulaires, comme la création d'amas de matière ou la caractérisation précise du retour vers l'équilibre. La troisième et dernière partie est dédiée à l'étude spectrale de l'opérateur des milieux granulaires avec bain thermique, linéarisé au voisinage d'un équilibre homogène en espace, afin d'établir des résultats de type stabilité et convergence vers une limite hydrodynamique. Ce travail est en fait la généralisation d'un résultat célèbre dans la théorie de l'équation de Boltzmann, dû à R. Ellis et M. Pinsky, et établissant rigoureusement la première limite hydrodynamique vers les équations d'Euler compressibles linéaires puis Navier-Stokes de cette équation / This dissertation is dedicated to the mathematical and numerical study of a class of collisional kinetic equations, such as the Boltzmann equation of perfect gases. We took a particular interest in the granular media (or gases) equation, which has been first introduced in the physical literature to describe the nonnequilibrium behavior of materials composed of a large number of grains (the particles) of macroscopic size, interacting through energy dissipative collisions. These models have a very rich mathematical structure. This dissertation is divided in three independent part, all related to the theory of collisional kinetic equation, with a strong emphasis on granular media. The first part concerns the mathematical study of the asymptotic behavior of space homogeneous Boltzmann-like kinetic equations. We prove some blow up results, as well as convergence towards self-similarity, with explicit rates for two different models. One of the key tools of our proofs is the use of a new scaling method, where the scaling function depends on the solution itself. We especially prove that for a particular model of granular gases (also know as anomalous), finite time blow up occurs. The second part is dedicated to the development and study of spectral methods for the resolution of multi-scale problems, coming from the theory of collisional kinetic equations. Some rescaling methods take a very important place in this part, allowing to observe numerically some nontrivial phenomena such as the clustering in space which occurs in the time evolution of a space inhomogeneous granular gas, or to investigate numerically the trend to equilibrium for this equation. The whole third (and last) part is dedicated to the spectral study of the granular gases operator with a thermal bath, linearized near a space homogeneous self-similar profile. The goal of this work is to prove some stability results for the complete space inhomogeneous equation, and to investigate the hydrodynamic limit of the model. This work is based and extend the famous result of R. Ellis and M. Pinsky on the spectrum of the linearized Boltzmann equation, intended to establish rigorously the hydrodynamic limit of this equation towards the linearized Euler and Navier-Stokes equations

Cette thèse porte sur un système dissipatif modèle, les gaz granulaires. Au moyen de méthodes issues de la théorie cinétique et des processus stochastiques, nous avons cherché à déterminer les propriétés statistiques d'observables globales, mimant ainsi la démarche qui prévaut l'équilibre. Parmi celles-ci, l'énergie qu'il faut fournir au gaz granulaire pour le maintenir dans un état stationnaire joue un rôle central. Elle est d'intérêt expérimental, mais elle est aussi pertinente comme mesure de la distance à l'équilibre, et c'est à ce titre qu'elle est récemment intervenue dans le contexte des relations de fluctuation. Nous avons complètement caractérisé la distribution de cette énergie injectée dans le système. Nous avons montré qu'elle ne pouvait être invoquée dans les relations de fluctuation, mais aussi que la distribution de cette grandeur macroscopique permettait d'obtenir des informations sur la dynamique microscopique. Plusieurs questions se sont développées autour de ce travail, dont la pertinence de la notion d'entropie dans un système dissipatif ou les limitations intrinsèques des relations de fluctuations.

Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique et numérique d'une classe d'équations cinétiques collisionnelles, de type équation de Boltzmann. Nous avons porté un intérêt tout particulier à l'équation des milieux (ou gaz) granulaires, initialement introduite dans la littérature physique pour décrire le comportement hors équilibre de matériaux composés d'un grand nombre de grains, ou particules, non nécessairement microscopiques, et interagissant par des collisions dissipant l'énergie cinétique. Ces modèles se sont révélés avoir une structure mathématique très riche. Cette thèse se structure en trois partie pouvant être lues de manière indépendante, mais néanmoins en rapport avec des équations cinétiques collisionnelles en général, et l'équation des milieux granulaires en particulier. La première partie est dédiée à l'étude mathématique du comportement asymptotique de certaines équations cinétiques collisionnelles dans un cadre homogène en espace. Nous y montrons des résultats de type explosion et convergence vers la solution autosimilaire avec calcul explicite des taux, pour des opérateurs de type Boltzmann, grâce à l'utilisation (entre autre) d'une nouvelle méthode de changement de variables dépendant directement de la solution de l'équation considérée. En particulier, nous démontrons que pour un modèle de gaz granulaire - dit anormal - il est possible d'observer une explosion en temps fini. Dans la deuxième partie, orientée analyse numérique et calcul scientifique, nous nous intéressons développement et à l'étude de méthodes spectrales pour la résolution de problèmes multi-échelles, issus de la théorie des équations cinétiques collisionnelles. Les méthodes de changement de variables tiennent aussi une place importante dans cette partie, et permettent d'observer numériquement des phénomènes non triviaux qui apparaissent lors de l'étude de gaz granulaires, comme la création d'amas de matière ou la caractérisation précise du retour vers l'équilibre. La troisième et dernière partie est dédiée à l'étude spectrale de l'opérateur des milieux granulaires avec bain thermique, linéarisé au voisinage d'un équilibre homogène en espace, afin d'établir des résultats de type stabilité et convergence vers une limite hydrodynamique. Ce travail est en fait la généralisation d'un résultat célèbre dans la théorie de l'équation de Boltzmann, dû à R. Ellis et M. Pinsky, et établissant rigoureusement la première limite hydrodynamique vers les équations d'Euler compressibles linéaires puis Navier-Stokes de cette équation.