Cette thèse se propose de comprendre la formation de structures dans les équations de champs neuronaux en présence de symétrie ainsi que la conséquence pour la modélisation du cortex visuel. Les équations de champs neuronaux sont des modèles mésoscopiques qui décrivent l'activité spatio-temporelle de populations de neurones. Elles ont été introduites dans les années 1970 et sont souvent appelées les équations de Wilson-Cowan-Amari en référence à leurs auteurs. D'un point de vue mathématique, les équations de champs neuronaux sont des équations intégro-différentielles posées sur des domaines qui dépendent des propriétés anatomiques et/ou fonctionnelles modélisées. Dans la première partie, nous rappelons quelques éléments de biologie du cortex visuel, dérivons les équations de champs neuronaux de manière générale et introduisons ensuite une nouvelle classe de champs neuronaux pour le problème de modélisation de la perception des textures. La seconde partie de cette thèse est dédiée à l'étude de formation de structures en géométrie non-euclidienne et s'appuie principalement sur la théorie des systèmes dynamiques en dimension infinie en présence de symétrie. Cette seconde partie est relativement indépendante des autres et est écrite de manière suffisamment générale pour pouvoir être appliquée de façon systématique à tout problème de formation de structures en géométrie non-euclidienne satisfaisant certaines conditions de généricité. Enfin, dans la dernière partie, nous étudions l'existence de solutions localisées pour une certaine classe de champs neuronaux définis sur des domaines non bornés.

Thesis (Ph.D.)--Indiana University, Dept. of Physics, 2005. / Source: Dissertation Abstracts International, Volume: 66-04, Section: B, page: 2112. Adviser: John L. Challifour. "Title from dissertation home page (viewed Nov. 22, 2006)."

Cette thèse se porte sur la segmentation affine par régions des cartes de profondeurs obtenues par stéréoscopie en milieu urbain.Cette détection est constituée de 3 étapes.Tout d'abord, un modèle statistique a contrario est introduit afin de déterminer de manière automatique la valeur de certains paramètres courants dans ce genre de problèmes: seuil de validation d'un groupe comme plan, seuil de rejet des points aberrants. Ce modèle permet de plus la comparaison de plusieurs solutions.Dans un second temps, un algorithme glouton est proposé pour obtenir la segmentation plane par morceaux y compris dans des conditions parcimonieuses. Cet algorithme est basé uniquement sur l'information 3D fournie par la carte de profondeur.Enfin, une dernière étape est proposée afin d'affiner le résultat de la segmentation notamment dans les zones où les disparités sont inconnues ou éventuellement fausses. Cette dernière étape est basée sur la combinaison des informations 3D et images de la paire stéréo.

La première partie de cette thèse est dévolue à l'étude d'une conjecture combinatoire dont la validité assure l'existence de familles infinies de fonctions booléennes dotées de propriétés cryptographiques intéressantes. Quoique particulièrement innocente au premier abord, la validité de cette conjecture reste un problème ouvert. Néanmoins, l'auteur espère que les résultats théoriques et expérimentaux présentés ici permettront au lecteur d'acquérir un tant soit peu de familiarité avec la conjecture. Dans la seconde partie de ce manuscrit, des liens entre fonctions (hyper-)courbes -- une classe particulière de fonctions booléennes --, sommes exponentielles et courbes (hyper)elliptiques sont présentés. Les fonctions (hyper-)courbes sont en effet particulièrement difficiles à classifier et à construire. L'étude des liens mentionnés ci-dessus permet de résoudre de façon élégante des problèmes d'ordre tout aussi bien théorique que pratique. La troisième et dernière partie pousse plus avant l'étude des courbes (hyper)elliptiques d'un point de vue sensiblement différent. De nombreuses constructions cryptographiques reposent en effet sur l'utilisation de classes particulières de telles courbes qui ne peuvent être construites en utilisant des méthodes classiques. Cependant, la méthode CM permet de donner une réponse positive à ce problème. Les polynômes de classes sont des objets fondamentaux de cette méthode. Habituellement, leur construction n'est envisagée que pour des ordres maximaux. La modeste contribution de l'auteur est d'expliciter comment une telle construction -- la méthode analytique complexe -- s'étend aux ordres non-maximaux.

La thèse porte sur l'étude des propriétés dynamiques de grands réseaux de neurones. Nous étudions des neurones à taux de décharge, dotés d'une dynamique intrinsèque linéaire, et prenons en compte différents types de bruit microscopique affectant le comportement des neurones individuels. L'approche "champ moyen" consiste à étudier la limite du système d'équations différentielles stochastiques décrivant le réseau, lorsque le nombre de neurones tend vers l'infini. Le bruit est soit additif, soit multiplicatif s'il affecte les poids synaptiques, et ceux-ci sont soit figés au début de l'évolution, soit dynamiques. Nous obtenons donc trois types d'équations qui sont étudiées dans cette thèse. Un résultat important est qu'à chaque fois la propriété de propagation du chaos est vérifiée. Nous analysons tout particulièrement l'influence du bruit sur la dynamique (en montrant par exemple le role de celui-ci dans la création de cycles) et discutons des implications en neurosciences.

Numerical analysis becomes a powerful resource in the study of partial differential equations (PDEs), allowing to illustrate existing theorems and find conjectures. By using sophisticated methods, questions which seem inaccessible before, like rapid oscillations or blow-up of solutions can be addressed in an approached way. Rapid oscillations in solutions are observed in dispersive PDEs without dissipation where solutions of the corresponding PDEs without dispersion present shocks. To solve numerically these oscillations, the use of efficient methods without using artificial numerical dissipation is necessary, in particular in the study of PDEs in some dimensions, done in this work. As studied PDEs in this context are typically stiff, efficient integration in time is the main problem. An analysis of exponential and symplectic integrators allowed to select and find the more efficient method for each PDE studied. The use of parallel computing permitted to address numerically questions of stability and blow-up in the Davey-Stewartson equation, in both stiff and non-stiff regimes.

Cette thèse présente une étude des propriétés des courbes de Brody, dont la plupart est motivée par des questions issues des calculs de dimension moyenne. On se positionne donc en quelque sorte à l'opposée du cadre qui leur a engendré, l'hyperbolicité des variétés complexes, où ces courbes sont plutôt rares. Dans cette voie, on montre que l'espace de courbes de Brody à valeurs dans une surface de Hopf est de dimension moyenne nulle, tandis que celles à valeurs dans certains complémentaires d'hyperplans de $P^n$ constituent un espace de dimension moyenne positive. On sera aussi amené à comprendre la distribution des valeurs pour les courbes de Brody, en retrouvant des contraintes supplémentaires que leur structure particulière induit, dans la direction d'un second théorème.

Ce travail de thèse est consacré à deux thèmes de recherche en Calcul Scientifique liés par l'approximation numérique de problèmes en mécanique des fluides. Le premier thème concerne l'approximation numérique des équations de Stokes, modélisant les écoulements de fluides incompressibles à vitesse faible. Ce thème est présent dans plusieurs travaux en Calcum Scientifique. La discrétisation en temps est réalisée à l'aide de la méthode de projection. La discrétisation en espace utilise la méthode des éléments finis hybrides qui permet d'imposer de façon exacte la contrainte d'incompressibilité. Cette approche est originale : la méthode des éléments mixtes hybrides est couplée avec une méthode d'éléments finis standards. L'ordre de convergence des deux méthodes est préservé. Le second thème concerne la mise au point de méthodes numériques de type volumes finis pour la résolution de l'équation Level Set. Ces équations interviennent de manière essentielle dans la résolution des problèmes de propagation d'interfaces. Dans cette partie, nous avons développé une nouvelle méthode d'ordre 2 de type MUSCL pour résoudre le système hyperbolique résultant de l'équation Level Set. Nous illustrons ces propriétés par des applications numériques. En particulier nous avons regardé le cas du problème des deux demi-plans pour lequel notre schéma donne une approximation pour le gradient de la fonction Level Set. Par ailleurs, l'ordre de précision attendu est obtenu avec les normes L1 et Linfini pour des fonctions régulières. Pour finir, il est à noter que notre méthode peut être facilement étendue aux problèmes d'Hamilton-Jacobi du premier et du second ordre

Soit A un opérateur pseudo-différentiel elliptique auto-adjoint d'ordre 1 invariant à gauche sur un groupe de Lie G. Mon travail a consisté à approximer de e-itA par un OFI invariant à gauche. Puis, j'ai étudié les représentations unitaires irréductibles et la méthode des orbites de Kirillov. Enfin, j'ai fait la démonstration d'une formule asymptotique de Weyl pour pi(a) ou a est un élément formellement positif elliptique de U(g).

Notre travail ici concerne certaines pistes pour des constructions nouveaux groupes, et en particulier de contre-exemples à la conjecture de Cherlin-Zilber. On parvient à trouver une réponse pour la stabilité de groupes CSA existentiellement clos. On exhibe un mot de groupe en deux variables qui a la propriété d'indépendance par rapport à la classe de groupes hyperboliques sans torsion. On en déduit que l'équation correspondante donne la propriété d'indépendance des groupes CSA existentiellement clos, ce qui en particulier implique leur instabilité. En outre, on prouve que les équations, et en particulier les ensembles définissables sans quantificateurs, définissent des ensembles stables dans les boules bornées des produits libres de groupes, en utilisant la version finie du théorème de Ramsey. Enfin, on introduit certains groupes construits comme tours particulières de produits libres et d'extensions HNN.