Le développement durable, défini à l'origine comme un mode de développement qui répond aux besoins du présent sans compromettre la capacité des générations futures à répondre aux leurs, souffre aujourd'hui des limites de cette définition. On dénombre en effet des centaines de définitions rendant le concept flou au point que mesures politiques et économiques les plus diverses se revendiquent durables.L'objectif de cette thèse est de modéliser le développement durable à l'aide des outils mathématiques de la théorie de la viabilité et de rendre sa définition opérationnelle. La théorie de la viabilité permet en effet d'intégrer les principales caractéristiques d'un développement durable : l'approche multi-objectifs, la prise en compte d'un horizon temporel infini, la possibilité de déterminer plusieurs politiques d'actions viables et le respect de l'équité intergénérationnelle. Le principe de la viabilité est l'étude de systèmes dynamiques contrôlés soumis à un ensemble de contraintes. Le concept central est celui de noyau de viabilité, ensemble regroupant tous les états initiaux à partir desquels il existe une évolution restant dans l'ensemble de contraintes. Après avoir mis en évidence les limites des méthodes utilisées dans la modélisation du développement durable telles que l'analyse multicritères, notre démarche scientifique s'appuie sur le développement de deux modèles mathématiques appliqués à la gestion durable du corridor forestier de Fianarantsoa (Madagascar). L'enjeu est alors de déterminer des politiques d'actions permettant de satisfaire un double objectif : la conservation de la forêt et la satisfaction des besoins de la population locale. Nous démontrons alors l'utilité de la théorie de la viabilité pour atteindre ces objectifs en définissant les contraintes adaptées et en calculant des noyaux de viabilité.

Le travail exposé dans ce mémoire consiste en une étude mathématique et numérique d'outils permettant la simulation de la dynamique de structures complexes non-linéaires, quasi-incompressibles, et présentant deux échelles de longueurs caractéristiques. Pour être plus précis concernant ce dernier point, les structures considérées sont supposées comporter des détails géométriques fins sur leur bord. Cette étude, réalisée en partenariat avec la Manufacture Française des Pneumatiques Michelin, est largement motivée par l'importance de calculs dynamiques en roulage du pneumatique afin de prédire la valeur de différentes grandeurs physiques : contraintes dans les matériaux, pressions de contact au sol ou encore rayonnement acoustique. Dans ce cadre, les difficultés d'obtention de simulations complètes et réalistes pour des coûts de calcul raisonnables sont liées à la complexité de la géométrie, au comportement des matériaux, au mode de sollicitation par contact, ou encore à l'intervention de différentes échelles de longueur, de temps ou de rigidité caractéristiques de la structure. Après une description de l'anatomie du pneumatique, nous mentionnons quelques uns des enjeux de la simulation numérique lors de la phase de conception. Nous soulignons ensuite les propriétés intrinsèques de la structure qui rendent ces études délicates. Enfin, nous délimitons les problèmes qui occupent le reste de ce mémoire, et esquissons la démarche adoptée. Référence est faite au contenu des chapitres et aux contributions apportées.

In the first part of this dissertation, we give a new definition of a Laplace operator for Finsler metric as an average, with regard to an angle measure, of the second directional derivatives. This operator is elliptic, symmetric with respect to the Holmes-Thompson volume, and coincides with the usual Laplace--Beltrami operator when the Finsler metric is Riemannian. We compute explicit spectral data for some Katok-Ziller metrics. When the Finsler metric is negatively curved, we show, thanks to a result of Ancona that the Martin boundary is H��lder-homeomorphic to the visual boundary. This allow us to deduce the existence of harmonic measures and some ergodic preoperties. In the second part of this dissertation, we study Anosov flows in 3-manifolds, with leaf-spaces homeomorphic to .... When the manifold is hyperbolic, Thurston showed that the (un)stable foliations induces an "orthogonal" flow. We use this second flow to study isotopy class of periodic orbits of the Anosov flow and existence of embedded cylinders.

In the first part of this dissertation, we give a new definition of a Laplace operator for Finsler metric as an average, with regard to an angle measure, of the second directional derivatives. This operator is elliptic, symmetric with respect to the Holmes-Thompson volume, and coincides with the usual Laplace--Beltrami operator when the Finsler metric is Riemannian. We compute explicit spectral data for some Katok-Ziller metrics. When the Finsler metric is negatively curved, we show, thanks to a result of Ancona that the Martin boundary is H��lder-homeomorphic to the visual boundary. This allow us to deduce the existence of harmonic measures and some ergodic preoperties. In the second part of this dissertation, we study Anosov flows in 3-manifolds, with leaf-spaces homeomorphic to .... When the manifold is hyperbolic, Thurston showed that the (un)stable foliations induces an "orthogonal" flow. We use this second flow to study isotopy class of periodic orbits of the Anosov flow and existence of embedded cylinders.

Dans cette thèse on étudie quelques modèles macroscopiques pour des milieux conducteurs ou élastiques fortement hétérogènes et anisotropes obtenus par homogénéisation. Nous considérons le cas de l'homogénéisation périodique. En particulier pour le système de l'élasticité linéarisée modélisant les petites déformations d'un matériau fibré, nous étudions l'effet de l'anisotropie du matériau sur le modèle macroscopique et nous montrons que sous l'effet conjugué des conditions aux limites et de l'anisotropie des fibres, le système modélisant les déplacements à l'échelle macroscopique fait intervenir des termes non standard. Nous considérons plusieurs scalings et deux situations géométriques : dans la première le rayon des fibres cylindriques est du même ordre de grandeur que la taille de la période du milieu et dans la seconde la rayon est petit devant la période. Les résultats obtenus dans les deux cas, indépendants d'hypothèses de symétrie sur le matériau, permettent de retrouver les résultats déjà connus dans le cas de matériaux isotropes.

Les principaux sujets d'intérêt de cette thèse concerneront deux notions de la complexité d'un mot infini : la complexité abélienne et la complexité de permutation. La complexité abélienne a été étudiée durant les dernières décennies. La complexité de permutation est, elle, une forme de complexité des mots relativement nouvelle qui associe à chaque mot apériodique de manière naturelle une permutation infinie. Nous nous pencherons sur deux sujets dans le domaine de la complexité abélienne. Dans un premier temps, nous nous intéresserons à une notion abélienne de la maximal pattern complexity définie par T. Kamae. Deuxièmement, nous analyserons une limite supérieure de cette complexité pour les mots C-équilibré. Dans le domaine de la complexité de permutation des mots apériodiques binaires, nous établissons une formule pour la complexité de permutation du mot de Thue-Morse, conjecturée par Makarov, en étudiant la combinatoire des sous-permutations sous l'action du morphisme de Thue-Morse. Par la suite, nous donnons une méthode générale pour calculer la complexité de permutation de l'image de certains mots sous l'application du morphisme du doublement des lettres. Finalement, nous déterminons la complexité de permutation de l'image du mot de Thue-Morse et d'un mot Sturmien sous l'application du morphisme du doublement des lettres.

Nous présentons de nouveaux schémas numériques pour l'approximation de problèmes de diffusion hétérogène et anisotrope sur des maillages généraux. Sous des hypothèses correspondant aux cas industriels, nous montrons qu'un premier schéma, qui est centré sur les mailles, possède un petit stencil et converge dans le cas de tenseurs discontinus. La preuve de la convergence repose sur des propriétés de consistance des gradients discrets issus du schéma. Dans une seconde partie, nous proposons des méthodes de correction non linéaire du schéma initial pour obtenir le principe du maximum. L'efficacité de ces schémas est étudiée sur des tests numériques ayant fait l'objet de bancs d'essais d'une grande variété de schémas de volumes finis. Les comparaisons avec les schémas volumes finis classiques montrent l'apport de ces schémas en termes de précision. Nous montrons ainsi le bon comportement de ces schémas sur des maillages déformés, et le maintien de la précision des schémas non-linéaires, alors que les oscillations ont été supprimées.

Cette thèse porte sur des équations aux dérivées partielles hamiltoniennes à conditions initiales aléatoires. En effet, on étudie ici l'évolution de certaines mesures à travers le flot de telles équations. Cette étude suit deux axes.Premièrement, on considère le caractère globalement bien posé de l'équation d'onde non linéaire quand la donnée initiale est de faible régularité. Cette donnée initiale est une variable aléatoire et on obtient le caractère globalement bien posé de façon presque sûre par rapport à la mesure induite par cette variable. La faible régularité fait référence à l'espace auquel appartient les valeurs de la variable aléatoires et dénote une régularité moins contraignante que celle requise par la théorie déterministe.Dans certaines conditions, des propriétés d'invariance de la loi de la donnée initiale sont nécessaires à la démonstration du caractère bien posé. C'est pourquoi le deuxième axe comprend la question de l'invariance de mesures et leurs stabilités à travers le flot d'EDPs.On donne ainsi une loi invariante à travers le flot de l'équation d'onde cubique et une autre à travers celui de l'équation de Benjamin-Bona-Mahony (BBM). la mesure invariante pour BBM est telle que les amplitudes associées à chaque longueur d'onde de la solution sont des variables aléatoires indépendantes les unes des autres. On considère alors la stabilité de l'invariance pour BBM lorsqu'on ajoute des corrélations entre ces amplitudes.Enfin, en s'inspirant de la littérature physique à propos de la turbulence faible, on s'est demandé ce qu'il advenait de l'indépendance entre les amplitudes dans un contexte plus général. Plus précisément, on a cherché à si les covariances des amplitudes restent petites lorsque celles-ci sont initialement indépendantes et que le terme non quadratique de l'énergie associée à l'équation étudiée est très petit devant l'énergie totale.

Soient k un corps algébriquement clos de caractéristique p > 0 et C/k une courbe projective, lisse, intègre de genre g > 1 munie d'un p-groupe d'automorphismes G tel que |G| > 2p/(p-1)g. Le couple (C,G) est appelé grosse action. Si (C,G) est une grosse action, alors |G| <=4p/(p-1)^2g^2 (*). Dans cette thèse, nous étudions les répercussions arithmétiques des propriétés géométriques de grosses actions. Nous étudions d'abord l'arithmétique de l'extension de monodromie sauvage maximale de courbes sur un corps local K d'inégale caractéristique p à corps résiduel algébriquement clos, de genre arbitrairement grand ayant pour potentielle bonne réduction une grosse action satisfaisant le cas d'égalité de (*). On étudie en particulier les conducteurs de Swan attachés à ces courbes. Nous donnons ensuite les premiers exemples, à notre connaissance, de grosses actions (C,G) telles que le groupe dérivé D(G) soit non abélien. Ces courbes sont obtenues comme revêtements de S-corps de classes de rayons de P1(Fq) pour S non vide un sous-ensemble fini de P1(Fq). Enfin, on donne une méthode de calcul des S-corps de classes de Hilbert de revêtements abéliens de la droite projective d'exposant p et supersinguliers que l'on illustre pour des courbes de Deligne-Lusztig.

L'objectif de cette thèse est l'étude des jeux différentiels stochastiques à information incomplète. Nous considérons un jeu à deux joueurs adverses qui contrôlent une diffusion afin de minimiser, respectivement de maximiser un paiement spécifique. Pour modéliser l'incomplétude des informations, nous suivrons la célèbre approche d'Aumann et Maschler. Nous supposons qu'il existe des états de la nature différents dans laquelle le jeu peut avoir lieu. Avant que le jeu commence, l'état est choisi au hasard. L'information est ensuite transmise à un joueur alors que le second ne connaît que les probabilités respectives pour chaque état.Dans cette thèse nous établissons une représentationduale pour les jeux différentiels stochastiques à information incomplète. Ici, nous utilisons largement la théorie des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs), qui se révèle être un outilindispensable dans cette étude. En outre, nous montrons comment, sous certaines restrictions, cette représentation permetde construire des stratégies optimales pour le joueur informé. Ensuite, nous donnons, en utilisant la représentation duale, une preuve particulièrement simple de la semiconvexité de la fonction valeur des jeux différentiels à information incomplète.Un autre partie de la thèse est consacré à des schémas numériques pour les jeux différentiels stochastiques à informationincomplète. Dans la dernière partie nous étudions des jeux d'arrêt optimal en temps continue, appelés jeux de Dynkin, à information incomplète. Nous établissons également une représentation duale, qui est utilisé pour déterminer des stratégies optimales pour le joueur informé dans ce cas.