Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Física, 2016. / Submitted by Fernanda Percia França (fernandafranca@bce.unb.br) on 2016-12-07T17:15:15Z No. of bitstreams: 1 2016_JoséSilvadaCruzFilho.pdf: 1399057 bytes, checksum: fbb9af5d2a34eb991f05876fa63a4b62 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana(raquelviana@bce.unb.br) on 2016-12-19T15:09:07Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_JoséSilvadaCruzFilho.pdf: 1399057 bytes, checksum: fbb9af5d2a34eb991f05876fa63a4b62 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-12-19T15:09:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_JoséSilvadaCruzFilho.pdf: 1399057 bytes, checksum: fbb9af5d2a34eb991f05876fa63a4b62 (MD5) / Neste trabalho, utilizamos uma representação da mecânica quântica simplética para estudar teorias de calibre abeliano e não abeliano, bem como soluções da equação de Schrödinger para sistemas caóticos no espaço de fase. No âmbito arcabouço das teorias de calibre, utilizamos as quasi-amplitudes de probabilidade no espaço de fase na análise de transformações do tipo ψ(q,p)→e^(-i˄(q,p) )*ψ(q,p) no contexto dos campos de Dirac , Klein-Gordon e Isospin. No bojo da equação de Schrödinger no espaço de fase, as quasi-amplitudes de probabilidade foram utilizadas no cálculo da função de Wigner para potenciais do tipo Hénon-Heiles. A análise da negatividade da função de Wigner para sistemas caóticos foi realizada mediante uma teoria de perturbação independente do tempo para o caso não degenerado. ________________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this work, we use a representation of the symplectic quantum mechanics to study abelian and non-abelian gauge theories, and the solutions of the Schrödinger equation for chaotic systems in the phase space. In the framework of gauge theories, we use the quasi-amplitudes of probabilities in the phase space to analyse transformations of ψ(q,p)→e^(-i˄(q,p) )*ψ(q,p) in the context of the Dirac, Klein-Gordon and Isospin fields. In the core of the Schrödinger equation in phase space, the quasi-amplitudes of probability were used in the calculation of the Wigner function for Hénon-Heiles potential-like. The analysis of the negativity of the Wigner function for chaotic systems was carried out by a time-independent perturbation theory for the nondegenerate case.

A teoria de poda é um caminho para dar uma descrição topologica de famílias de homeomorfismos de superfície. Nesta tese desenvolvemos uma teoria de poda diferenciável. Primeiro definimos discos de poda para o exemplo paradigmático da ferradura de Smale e provamos um teorema de poda diferenciável. Depois, com uma construção similar a derivados de Anosov, extendemos este teorema para difeomorfissmos hiperbólicos. Também aplicamos estas construções ao estudo da família de Hénon real e mostramos como se relaciona esta teoria com a família de Hénon complexa. Assim, provamos a Conjectura da Frente de Poda para alguns parâmetros reais na família de transformações de Hénon. / Pruning is originally a way of giving a topological description of the dynamics of families of surface homeomorphisms. A diferentiable pruning theory is developed here. First pruning discs and the pruning theorem are presented for Smale\'s horseshoe, which is the paradigmatic chaotic dynamical system in dimension 2. Then this is generalized to hyperbolic surface difeomorphisms. This is then combined with complex and numerical techniques to give a computer assisted proof of the Pruning Front Conjecture for certain open sets of (real) parameters in the Hénon family.

Made available in DSpace on 2016-12-12T20:15:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Elementos Pre-Textuais.pdf: 7374343 bytes, checksum: e9469c7859d60daa5c005889409ff1ee (MD5) Previous issue date: 2011-02-21 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / The Hénon map is a paradigmatic two-dimensional discrete-time dynamical system, which was originally proposed as a model to the Poincaré section of the continuous-time Lorenz system, and has been extensively investigated in the last years. Apart from its theoretical importance, some practical applications are possible. As an example, it can be used to model CO2 lasers in the limit of strong dissipation. The Hénon map is characterized by two parameters, namely the nonlinearity and the dissipativity. In this work we consider a situation where these two parameters of one Hénon map are linearly modulated by the solution of another Hénon map whose parameters are constants in time, but which can be adjusted. We investigate periodic and chaotic modulations of the first Hénon map, due to the second, and show that method is able to destroy or create attractors in the phase-space. More specifically, the modulation is able to control the multistability (bistability in the considered case) present in the Hénon map, leading the system to monostability. Finally, we investigate the dynamics of the Hénon map when its parameters are modulated by another Hénon map in a regime close to the conservative limit and in a regime close to the dissipative limit. Lyapunov exponents, bifurcation diagrams, basins of attraction, parameter space and phase-space diagrams are used to characterize the dynamics of the modulated system. / O mapa de Hénon é um sistema dinâmico bidimensional a tempo discreto, originalmente proposto como um modelo para a seção de Poincaré do sistema de Lorenz a tempo contínuo, e tem sido extensivamente investigado nos últimos anos. Além da sua grande importância teórica, algumas aplicações práticas são possíveis. Como por exemplo, pode ser usado para modelar lasers de CO2 no limite de forte dissipação. O mapa de Hénon é caracterizado por dois parâmetros, o de não linearidade e o de dissipação. Neste trabalho nós consideramos a situação onde estes dois parâmetros do mapa de Hénon são linearmente modulados pela solução de outro mapa de Hénon, cujos parâmetros são constantes no tempo, mas que podem ser ajustados. Investigamos modulações periódicas e caóticas do primeiro mapa de Hénon devido ao segundo, e mostramos que este método pode destruir ou criar atratores no espaço de fases, bem como produzir mudanças na localização dos pontos onde ocorrem as bifurcações. Mais especificamente, a modulação permite controlar a multiestabilidade (biestabilidade, nos casos considerados) presente no mapa de Hénon, conduzindo o sistema a monoestabilidade. Por fim, investigamos a dinâmica do mapa de Hénon quando seus parâmetros são modulados por um outro mapa de Hénon em um regime próximo ao limite conservativo e em um regime de alta dissipação. Expoentes de Lyapunov, diagramas de bifurcação, bacias de atração, diagramas do espaço de parâmetros e do espaço de fases são utilizados para caracterizar a dinâmica do sistema modulado.

A teoria de poda é um caminho para dar uma descrição topologica de famílias de homeomorfismos de superfície. Nesta tese desenvolvemos uma teoria de poda diferenciável. Primeiro definimos discos de poda para o exemplo paradigmático da ferradura de Smale e provamos um teorema de poda diferenciável. Depois, com uma construção similar a derivados de Anosov, extendemos este teorema para difeomorfissmos hiperbólicos. Também aplicamos estas construções ao estudo da família de Hénon real e mostramos como se relaciona esta teoria com a família de Hénon complexa. Assim, provamos a Conjectura da Frente de Poda para alguns parâmetros reais na família de transformações de Hénon. / Pruning is originally a way of giving a topological description of the dynamics of families of surface homeomorphisms. A diferentiable pruning theory is developed here. First pruning discs and the pruning theorem are presented for Smale\'s horseshoe, which is the paradigmatic chaotic dynamical system in dimension 2. Then this is generalized to hyperbolic surface difeomorphisms. This is then combined with complex and numerical techniques to give a computer assisted proof of the Pruning Front Conjecture for certain open sets of (real) parameters in the Hénon family.

Submitted by Vasti Diniz (vastijpa@hotmail.com) on 2017-09-12T12:40:16Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 10835500 bytes, checksum: 1e6ccb78ae2f66141a0c4ac238f0245c (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-12T12:40:16Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 10835500 bytes, checksum: 1e6ccb78ae2f66141a0c4ac238f0245c (MD5) Previous issue date: 2016-08-12 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / This work is a computational mapping of the phase space of iterated maps. Initially, a review of the real Hénon map is presented, aiming at the identification of patterns in the stability regions of the parameter space. Then, the algorithm developed is extended to allow complex variables, while still requiring parameters to be real. This procedure permits the observation of different stable loci in phase space. Finally, developed tools and observations are applied in a comparative study of the generalized cubic Hénon map. / Este trabalho lida com o mapeamento computacional do espaço de fase de mapas iterativos. Inicialmente é feita uma revisão sobre o mapa de Hénon real, tendo por objetivo a identificação de padrões nas regiões de estabilidade de seu espaço de parâmetros. Em seguida, o algoritmo desenvolvido para tal intento é estendido para o caso em que as variáveis da transformação são considerados como números complexos. Os parâmetros, contudo, serão mantidos no domínio dos reais durante esse processo. Esse procedimento permitirá a observação de áreas estáveis antes não encontradas no espaço de fase. Por fim, as ferramentas e observações feitas serão utilizadas para o estudo do mapa generalizado de Hénon de ordem cúbica.

Neste trabalho, mostramos que fluxos de Reeb dinamicamente convexos em um espaço lenticular $L(p, 1)$, $p>1$, admite uma órbita periódica de Reeb especial $P$ que é o binding de uma decomposição em livro aberto racional, com páginas tipo-disco tal que cada página é uma seção global. O índice de Conley-Zehnder da $p$-ésima iterada de $P$ é $3$. Como corolário, o fluxo de Reeb possui duas ou infinitas órbitas periódicas. Este resultado aplica-se ao Hamiltoniano de Hénon-Heiles, cujo fluxo restrito a energia baixa possui $Z_3$-simetria e define um fluxo de Reeb em $L(3, 1)$. Devido a $Z_4$-simetria aplicamos nosso resultado ao problema lunar de Hill regularizado. Na segunda parte deste trabalho investigamos a existência de uma folheação $3-2^3$ em níveis de energia no sistema Hamiltoniano de Hénon-Heiles, para energia logo acima da crítica. Provamos que certa região de interesse é uma hipersuperfície de contato. Provamos também que o fluxo de Reeb possui uma órbita periódica $Z_3$ simétrica, cujo índice de Conley-Zehnder é $3$ e possui número de auto-enlaçamento $-1$. / We show that a dynamically convex Reeb flow on a lens space $L(p, 1)$, $p>1$ admits a special closed Reeb orbit $P$ which is the binding of a rational open book decomposition with disk-like pages so that each page is a global surface of section. The Conley-Zehnder index of the $p$-th iterate of $P$ is $3$. As a corollary, the Reeb flow has $2$ or infinitely many closed Reeb orbits. This result applies to the Hénon-Heiles Hamiltonian whose flow restricted to low energy levels has $Z_3$-symmetry and descends to $L(3,1)$. Due to a $Z_4$-symmetry we also apply our results to Hill\'s lunar problem. In the second part of this work we investigate the existence of a $3-2^3$ foliation on energy levels of the Hénon-Heiles Hamiltonian, for energies above the critical one. We show that some region is of contact-type and the Reeb flow has a $Z_3$-symmetric periodic orbit, whose Conley-Zehnder is $3$ and has self-linking number $-1$.

Neste trabalho, mostramos que fluxos de Reeb dinamicamente convexos em um espaço lenticular $L(p, 1)$, $p>1$, admite uma órbita periódica de Reeb especial $P$ que é o binding de uma decomposição em livro aberto racional, com páginas tipo-disco tal que cada página é uma seção global. O índice de Conley-Zehnder da $p$-ésima iterada de $P$ é $3$. Como corolário, o fluxo de Reeb possui duas ou infinitas órbitas periódicas. Este resultado aplica-se ao Hamiltoniano de Hénon-Heiles, cujo fluxo restrito a energia baixa possui $Z_3$-simetria e define um fluxo de Reeb em $L(3, 1)$. Devido a $Z_4$-simetria aplicamos nosso resultado ao problema lunar de Hill regularizado. Na segunda parte deste trabalho investigamos a existência de uma folheação $3-2^3$ em níveis de energia no sistema Hamiltoniano de Hénon-Heiles, para energia logo acima da crítica. Provamos que certa região de interesse é uma hipersuperfície de contato. Provamos também que o fluxo de Reeb possui uma órbita periódica $Z_3$ simétrica, cujo índice de Conley-Zehnder é $3$ e possui número de auto-enlaçamento $-1$. / We show that a dynamically convex Reeb flow on a lens space $L(p, 1)$, $p>1$ admits a special closed Reeb orbit $P$ which is the binding of a rational open book decomposition with disk-like pages so that each page is a global surface of section. The Conley-Zehnder index of the $p$-th iterate of $P$ is $3$. As a corollary, the Reeb flow has $2$ or infinitely many closed Reeb orbits. This result applies to the Hénon-Heiles Hamiltonian whose flow restricted to low energy levels has $Z_3$-symmetry and descends to $L(3,1)$. Due to a $Z_4$-symmetry we also apply our results to Hill\'s lunar problem. In the second part of this work we investigate the existence of a $3-2^3$ foliation on energy levels of the Hénon-Heiles Hamiltonian, for energies above the critical one. We show that some region is of contact-type and the Reeb flow has a $Z_3$-symmetric periodic orbit, whose Conley-Zehnder is $3$ and has self-linking number $-1$.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-24T16:13:25Z No. of bitstreams: 1 JACKSON JONAS SILVA COSTA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2010..pdf: 1326944 bytes, checksum: 5f5bb0430a12c8bdeabdea73796d8578 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-24T16:13:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 JACKSON JONAS SILVA COSTA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2010..pdf: 1326944 bytes, checksum: 5f5bb0430a12c8bdeabdea73796d8578 (MD5) Previous issue date: 2010-04 / Capes / Para visualizar o resumo recomendamos do download do arquivo uma vez que o mesmo utiliza fórmulas ou equações matemáticas que não puderam ser transcritas neste espaço. / In order to view the summary we recommend downloading the file as it uses mathematical formulas or equations that could not be transcribed in this space.

Dans cette thèse, nous étudions l’équation parabolique non linéaire ∂ t u = ∆u + a |x|⎺⥾ |u|ᵅ u, t > 0, x ∈ Rᴺ \ {0}, N ≥ 1, ⍺ ∈ R, α > 0, 0 < Ƴ < min(2,N) et avec une donnée initiale u(0) = φ. On établit l’existence et l’unicité locale dans Lq(Rᴺ) et dans Cₒ(Rᴺ). En particulier, la valeur q = N ⍺/(2 − γ) joue un rôle critique. Pour ⍺ > (2 − γ)/N, on montre l’existence de solutions auto-similaires globales avec données initiales φ(x) = ω(x) |x|−(2−γ)/⍺, où ω ∈ L∞(Rᴺ) homogène de degré 0 et ||ω||∞ est suffisamment petite. Nous montrons ainsi que si φ(x)∼ω(x) |x| ⎺(²⎺⥾)/⍺ pour |x| grande, alors la solution est globale et asymptotique dans L∞(Rᴺ) à une solution auto-similaire de l’équation non linéaire. Tandis que si φ(x)∼ω(x) |x| (x)|x|−σ pour des |x| grandes avec (2 − γ)/⍺ < σ < N, alors la solution est globale, mais elle est asymptotique dans L∞(Rᴺ) à eᵗ∆(ω(x) |x|−σ). L’équation avec un potentiel plus général, ∂ t u = ∆u + V(x) |u|ᵅ u, V(x) |x |⥾ ∈ L∞(Rᴺ), est également étudiée. En particulier, pour des données initiales φ(x)∼ω(x) |x| ⎺(²⎺⥾)/⍺, |x| grande, nous montrons que le comportement à grand temps est linéaire si V est à support compact au voisinage de l’origine, alors qu’il est non linéaire si V est à support compact au voisinage de l’infini. Nous étudions également le système non linéaire ∂ t u = ∆u + a |x|⎺⥾ |v|ᴾ⎺¹v, ∂ t v = ∆v + b |x|⎺ ᴾ |u|q⎺¹ u, t > 0, x ∈ Rᴺ \ {0}, N ≥ 1, a,b ∈ R, 0 < y < min(2,N)? 0 < p < min(2,N), p,q > 1. Sous des conditions sur les paramètres p, q, γ et ρ nous montrons l’existence et l’unicité de solutions globales avec données initiales petites par rapport à certaines normes. En particulier, on montre l’existence de solutions auto-similaires avec donnée initiale Φ = (φ₁, φ₂), où φ₁, φ₂ sont des données initiales homogènes. Nous montrons également que certaines solutions globales sont asymptotiquement auto-similaires. Comme deuxième objectif, nous considérons l’équation de la chaleur non linéaire ut = ∆u + |u|ᴾ⎺¹u - |u| q⎺¹u, avec t ≥ 0 et x ∈ Ω, la boule unité de Rᴺ, N ≥ 3, avec des conditions aux limites de Dirichlet. Soit h une solution stationnaire à symétrie radiale avec changement de signe de (E). On montre que la solution de (E) avec donnée initiale λh explose en temps fini si |λ − 1| > 0 est suffisamment petit et si 1 < q < p < Ps = N+2/N−2 et p suffisamment proche de Ps. Ceci prouve que l’ensemble des données initiales pour lesquelles la solution est globale n’est pas étoilé au voisinage de 0. / In this thesis, we study the nonlinear parabolic equation ∂ t u = ∆u + a |x|⎺⥾ |u|ᵅ u, t > 0, x ∈ Rᴺ \ {0}, N ≥ 1, ⍺ ∈ R, α > 0, 0 < Ƴ < min(2,N) and with initial value u(0) = φ. We establish local well-posedness in Lq(Rᴺ) and in Cₒ(Rᴺ). In particular, the value q = N ⍺/(2 − γ) plays a critical role.For ⍺ > (2 − γ)/N, we show the existence of global self-similar solutions with initial values φ(x) = ω(x) |x|−(2−γ)/⍺, where ω ∈ L∞(Rᴺ) is homogeneous of degree 0 and ||ω||∞ is sufficiently small. We then prove that if φ(x)∼ω(x) |x| ⎺(²⎺⥾)/⍺ for |x| large, then the solution is global and is asymptotic in the L∞-norm to a self-similar solution of the nonlinear equation. While if φ(x)∼ω(x) |x| (x)|x|−σ for |x| large with (2 − γ)/α < σ < N, then the solution is global but is asymptotic in the L∞-norm toe t(ω(x) |x|−σ). The equation with more general potential, ∂ t u = ∆u + V(x) |u|ᵅ u, V(x) |x |⥾ ∈ L∞(Rᴺ), is also studied. In particular, for initial data φ(x)∼ω(x) |x| ⎺(²⎺⥾)/⍺, |x| large , we show that the large time behavior is linear if V is compactly supported near the origin, while it is nonlinear if V is compactly supported near infinity. we study also the nonlinear parabolic system ∂ t u = ∆u + a |x|⎺⥾ |v|ᴾ⎺¹v, ∂ t v = ∆v + b |x|⎺ ᴾ |u|q⎺¹ u, t > 0, x ∈ Rᴺ \ {0}, N ≥ 1, a,b ∈ R, 0 < y < min(2,N)? 0 < p < min(2,N), p,q > 1. Under conditions on the parameters p, q, γ and ρ we show the existence and uniqueness of global solutions for initial values small with respect of some norms. In particular, we show the existence of self-similar solutions with initial value Φ = (φ₁, φ₂), where φ₁, φ₂ are homogeneous initial data. We also prove that some global solutions are asymptotic for large time to self-similar solutions. As a second objective we consider the nonlinear heat equation ut = ∆u + |u|ᴾ⎺¹u - |u| q⎺¹u, where t ≥ 0 and x ∈ Ω, the unit ball of Rᴺ, N ≥ 3, with Dirichlet boundary conditions. Let h be a radially symmetric, sign-changing stationary solution of (E). We prove that the solution of (E) with initial value λ h blows up in finite time if |λ − 1| > 0 is sufficiently small and if 1 < q < p < Ps = N+2/N−2 and p sufficiently close to Ps. This proves that the set of initial data for which the solution is global is not star-shaped around 0.

Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie, on considère le système de réaction-diffusion-advection (Pε), qui est un modèle d'haptotaxie, mécanisme lié à la dissémination de tumeurs cancéreuses. Le résultat principal concerne la convergence de la solution du systeme (Pε) vers la solution d'un problème à frontière libre (P0) qui est bien défini. Dans la seconde partie, on considère une classe générale d'équations elliptiques du type Hénon:−∆u = |x|^{α} f(u) dans Ω ⊂ R^N avec α > -2. On examine deux cas classiques : f(u) = e^u, |u|^{p−1} u et deux autres cas : f(u) = u^{p}_{+} puis f(u) nonlinéarité générale. En étudiant les solutions stables en dehors d'un ensemble compact (en particulier, solutions stables et solutions avec indice de Morse fini) avec différentes méthodes, on obtient des résultats de classification. / This thesis is divided into two main parts. In the first part, we consider an example of reaction-diffusion-taxis system (Pε), which is a haptotaxis model - a mechanism about the spread of cancer cells. The main result concerns the convergence of the solution of System (Pε) to the solution of a free boundary problem (P0), where system (P0) is well-posed. In the second part, we consider a general class of Hénon type elliptic equations : −∆u = |x|^{α} f(u) in Ω ⊂ R^Nwith α > −2. We investigate two classical cases f(u) = e^u, |u|^{p−1} u and two others cases f(u) = u^{p}_{+} , f(u) is a general function. By studying the solutions which are stable outside a compact set (in particular, stable solutions and finite Morse index solutions) with different methods, we establish some classification results.