Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Le but de notre travail est d’accélérer les méthodes de visualisation afin d’obtenir un rendu interactif de modèles volumineux. Ceci est particulièrement problématique pour les applications dont les données dépassent plusieurs millions de polygones. Ces modèles sont généralement composés de nombreux petits objets (ex : plate-forme pétrolière), ou sont très détaillés (ex : objets naturels haute qualité). Nous avons étudié la littérature qui traite de la visualisation en la classant en fonction de son échelle d’application : au niveau de la scène (visibilité des objets), macroscopique (dessin de la géométrie), mésoscopique (ajout de détails pour le rendu final) et microscopique (effets d’éclairage microscopique). Nous nous sommes particulièrement intéressés au niveau macroscopique en introduisant de nouvelles représentations de surfaces, algorithmes de conversion, et primitives basées sur le GPU. Nous classifions les modèles massifs en deux catégories commuite suit : (I) Naturels : Pour les objets très triangulés, les triangles représentent à la fois la partie macroscopique et mésoscopique. Notre idée est d’appliquer un algorithme approprié pour les mésostructures à l’objet en entier. Nous représentons les modèles naturels avec des Geometry Textures (représentation géométrique basée sur des cartes des hauteurs) en conservant la qualité de rendu et en gagnant un comportement de type LOD. (II) Industriels : Nous avons centré notre travail sur la visualisation de sites industriels dont les objets sont principalement constitués de primitives simples. Normalement elles sont triangulées avant le rendu. Nous proposons de les remplacer par nos primitives GPU implicites qui utilisent les équations originelles des primitives. Les bénéfices sont : qualité d’image, mémoire et efficacité de rendu. Nous avons aussi développé un algorithme de récupération de surface qui fourni les équations géométriques originales à partir des maillages polygonaux. / The goal of our work is to speed-up visualization methods in order to obtain interactive rendering of massive models. This is especially challenging for applications whose usual data has a significant size (millions of polygons). These massive models are usually composed either by numerous small objects (such as an oil platform) or by very detailed geometry information (such as high-quality natural models). We have reviewed the visualization literature from the scale-level point-of-view: scene (which concerns objects visibility), macroscale (covering geometry rendering issues), mesoscale (characterized by introducing details in the final rendering) and microscale (responsible for reproducing microscopic lighting effects). We have focused our contributions on the macroscale level, introducing new surface representations, conversion algorithms and GPU-based primitives. We have classified massive models into two different categories as follows: (I) Natural models: For over-tessellated objects, triangles represent both macro and mesostructures. The main idea is to use a visualization algorithm that is adequate to mesostructure but applied to the complete object. We represent natural objects through geometry textures (a geometric representation for surfaces based on height maps), preserving rendering quality and presenting LOD speed-up. (II) Manufactured models : We have focused our work on industrial plant visualization, whose objects are mostly described by combining simple primitives. Usually, these primitives are tessellated before rendering. We suggest replacing them with our GPU implicit primitives that use their original equation. The benefits are: image quality (perfect silhouette and per-pixel depth), memory and rendering efficiency. We have also developed a reverse engineering algorithm to recover original geometric equations from polygonal meshes.

Nous étudions le comportement analytique de la fonction zêta associée à une certaine hauteur anticanonique sur une variété torique projective et lisse, le corps de définition étant un corps global de caractéristique positive. Ce comportement est étroitement lié à l'évolution asymptotique du nombre de points de hauteur bornée sur la variété. Manin et ses collaborateurs ont proposé des formules conjecturales pour le nombre de points de hauteur bornée sur une variété de Fano ou presque de Fano. Dans le cas des variétés toriques définies sur un corps de nombres ces formules ont été démontrées par Batyrev et Tschinkel, puis redémontrées par Salberger sous des hypothèses plus restrictives mais par une méthode entièrement différente. Nous nous intéressons donc dans cette thèse à la version fonctionnelle de ces résultats. Nous commençons par traiter le cas d'une variété torique déployée, en nous inspirant de la méthode de Salberger, basée sur une paramétrisation des points rationnels donnée par les torseurs universels ainsi que sur une inversion de Möbius. Nous expliquons ensuite comment les techniques utilisées dans cette situation peuvent s'appliquer aussi à un contexte motivique, mais notre calcul repose en partie sur une hypothèse non demontrée. Enfin pour examiner le cas de la compactification d'un tore non déployé nous adaptons au cas fonctionnel l'approche de Batyrev et Tshinkel. Leur idée est d'utiliser la formule de Poisson pour obtenir une représentation intégrale de la fonction zêta des hauteurs, intégrale que l'on évalue à l'aide du théorème des résidus. Nous obtenons une formule conforme aux prédictions de Manin et al., modulo le calcul d'un invariant du tore, invariant spécifique à la caractéristique non nulle. Nous n'avons pu mener à bien le calcul de cet invariant que pour des familles particulières de tores algébriques, et dans ce cas la formule obtenue est celle attendue. La question de savoir si la situation est la même pour un tore algébrique quelconque reste ouverte.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Dans cette thèse on définit et étudie un certain nombre de notions dans le cadre de la géométrie d'Arakelov qui, d'une part, possèdent un intérêt intrinsèque et, d'autre part, sont susceptibles d'applications à la théorie de l'approximation diophantienne.<br /><br />La plus grande partie du texte est consacrée à l'élaboration d'une théorie des hauteurs pour les sous-schémas et à la preuve de «formules de Hilbert-Samuel» pour ces hauteurs. Pour deux classes importantes de sous-schémas (les sous-schémas intègres et les sous-schémas «lisses avec multiplicités») on montre que la hauteur du sous-schéma relativement à une grande puissance d'un fibré en droites positif est asymptotiquement déterminée par la hauteur du cycle associé. La démonstration repose essentiellement sur le «théorème de Hilbert-Samuel arithmétique» de Gillet et Soulé, auquel elle se ramène par l'utilisation de techniques de géométrie analytique hermitienne. On fait ensuite une analyse plus fine du développement asymptotique des hauteurs de certains sous-schémas particuliers. Notamment, dans le cas de la dimension relative zéro, on exprime le terme constant du développement asymptotique en fonction de la ramification du sous-schéma, ce qui résout une question de Michel Laurent sur les hauteurs des matrices d'interpolation.<br /><br />Enfin, dans une partie indépendante, on expose diverses applications de méthodes arakeloviennes à des problèmes d'approximation diophantienne. En particulier on donne une nouvelle démonstration d'un critère classique d'indépendance algébrique dont l'originalité est qu'elle n'utilise plus de théorie de l'élimination mais uniquement des techniques de théorie de l'intersection arithmétique.

Un théorème célèbre de Faltings affirme que les points rationnels sur un corps de nombres d'une sous-variété d'une variété abélienne ne sont pas denses dans cette sous-variété sauf si elle possède elle-même une structure de variété abélienne. Grâce au thèorème de Mordell-Weil, cet énoncé est équivalent à la non-densité de l'intersection de la sous-variété considérée avec un sous-groupe de type fini. Nous montrons comment la méthode introduite par Vojta et étendue par Faltings permet d'étudier des intersections plus générales que celles-ci.

Le problème de Lehmer consiste à minorer la hauteur de Weil d'un nombre algébrique en fonction de son degré sur Q. Si la question originelle de Lehmer reste aujourd'hui sans réponse, la conjecture optimale correspondante a été démontrée à un epsilon près. Par ailleurs, ce problème admet plusieurs généralisations. D'une part, on peut formuler le même type de conjecture en remplaçant le corps des rationnels par une extension abélienne d'un corps de nombres. D'autre part, on peut généraliser ces énoncés en dimension supérieure. Il s'agit alors de minorer la hauteur normalisée d'un point ou d'une sous-variété d'un tore ; dans ce cas, on substitue au degré un invariant plus fin : l'indice d'obstruction. Il est ensuite naturel de chercher à combiner ces deux généralisations : c'est le problème de Lehmer relatif dans un tore.<br /><br />Dans cette thèse, nous considérons tout d'abord le problème de Lehmer relatif unidimensionnel. Nous donnons une minoration pour la hauteur d'un nombre algébrique en fonction de son degré sur une extension abélienne d'un corps de nombres. Il s'agit d'une amélioration d'un théorème d'Amoroso et Zannier, obtenue à l'aide d'une démonstration techniquement plus simple. De plus, nous explicitons la dépendance de la borne inférieure en le corps de base. Puis nous abordons le problème de Lehmer relatif en dimension supérieure et minorons la hauteur d'une hypersurface en fonction de son indice d'obstruction sur une extension abélienne de Q. Enfin, nous obtenons un résultat analogue pour un point, sous réserve que celui-ci satisfasse une hypothèse technique. Nous montrons ainsi les conjectures les plus fines à un epsilon près.

Cette thèse propose le développement d'une méthodologie permettant l'obtention des débits distribués dans le bassin amazonien à partir des hauteurs d'eau altimétriques. Au vu des derniers travaux et des avancées récentes dans ce domaine, ce travail a particulièrement porté sur les informations connexes pouvant être extraites des résultats. Nous avons utilisé des relations hauteur-débit basées sur l'équation de Manning et optimisées au travers d'un algorithme d'optimisation globale correctement paramétré. Les hauteurs d'eau ont été obtenues à partir des hauteurs altimétriques fournies par les missions ENVISAT et Jason-2, et les débits ont été estimés sur la même période par le modèle MGB-IPH sur l'ensemble du bassin. L'utilisation de l'algorithme d'optimisation SCEM-UA a permis de définir des intervalles a priori pour les paramètres ajustables ainsi que de gérer les notions d'erreur dans les données d'entrée, et d'incertitude dans les paramètres de sortie. Une des productions de ce travail est la construction d'une base de données d'un millier de courbes de tarage avec les intervalles de confiance associés. La validité spatiale de ces courbes de tarage a pu être vérifiée par comparaison avec les débits du modèle ainsi que les débits in situ disponibles. Leur stabilité dans le temps, quant à elle, a été confirmée par notre capacité à estimer des débits cohérents avec des informations de hauteurs d'eau provenant d'autres missions et d'autres périodes que celle à partir de laquelle les relations hauteur-débit avaient été estimées. Ce travail a également mis en évidence, par validation in situ, modélisation inverse et analyse de cas tests sur des rivières synthétiques, la capacité de la méthodologie proposée à identifier les caractéristiques géomorphologiques des sections étudiées. / This thesis proposes the development of a methodology that aims to obtain distributed discharges in the Amazon basin based on satellite altimetry data and modeled discharges. Given recent works and advances, this work focused particularly on the information that can be inferred from the resulting relationships. We used stage-discharge relationships based on Manning's equation that were optimized through a global optimization algorithm adequately configured. Altimetry data was taken from ENVISAT and Jason-2 missions and discharges were estimated for an overlapping period by the MGB-IPH model. A-priori intervals were defined into the SCEM-UA scheme for each optimization's parameter, and the algorithm allowed us to deal with input errors and output uncertainties. We produced a thousand gross database of rating curves and associated confidence intervals. Hydrological coherence was proved by validation with both modeled and in situ discharges. Successfully using an ENVISAT-based RC with Jason-2 data to estimate discharge at a cross-over, we proved that rating curves are not mission-dependent and can be used with any incoming water height data. Geomorphological characteristics of studied section given by our rating curves were validated through comparison with in situ data, inverse modeling of a braided river reach and synthetic rivers test cases.

Cette thèse aborde des sujets d'approximation diophantienne et de transcendance liés aux fonctions exponentielles. Il est tout d'abord établit des liens entre les coefficients d'approximants de Hermite-Padé, ceux de polynômes d'interpolation de Hermite et certains cofacteurs d'un déterminant de Vandermonde généralisé. Nous utilisons ensuite la notion de hauteur d'une matrice (que nous majorons grâce aux liens précédemment fournis) afin de donner une nouvelle démonstration de la transcendance de $e$. Ces résultats nous permettent finalement d'obtenir de nouveaux énoncés d'approximation diophantienne tels que la minoration de la distance de l'exponentielle d'un nombre algébrique (de hauteur absolue logarithmique de Weil bornée) à un autre nombre algébrique (lui aussi de hauteur absolue logarithmique de Weil bornée) en fonction de ces mêmes bornes. Il est ensuite donné, pour différentes valeurs de nombres rationnels $a$, quelques estimations remarquables telles que le minimum, sur l'ensemble des entiers non nuls $b$ et $c$, de la distance $|e^(b)-a^(c)|$.

Nous étudions dans cette thése la relation entre certaines hauteurs d'Arakelov de cycles de variétés toriques et les caractéristiques arithmétiques des polynômes de Laurent qui les définissent. Pour cela, nous associons _a un polynôme de Laurent des fonctions concaves que nous appelons fonctions de Ronkin et fonctions supérieures. Nous donnons des bornes supérieures pour la hauteur d'une intersection compléte faisant intervenir les fonctions supérieures associées. Dans le cas d'une hypersurface, nous montrons une formule liant sa hauteur _a la fonction de Ronkin de son polynôme de Laurent. Nous proposons une égalité analogue pour des hauteurs moyennes appropriées en codimension supérieure et nous indiquons une stratégie pour la preuve d'un cas particulier. Dans ces travaux, nous utilisons des notions de géométrie convexe telles que les polytopes, les mesures de Monge-Ampére réelles et la dualité de Legendre- Fenchel de fonctions concaves. Nous les présentons dans un cadre algébrique adapté et nous développons l'étude des intégrales mixtes. / We investigate in this work the relation between suitable Arakelov heights of a cycle in a toric variety and the arithmetic features of its defining Laurent polynomials. To this purpose, we associate to a Laurent polynomial certain concave functions which we call Ronkin functions and upper functions. We give upper bounds for the height of a complete intersection in terms of the associated upper functions. For a hypersurfaces, we prove a formula relating its height to the Ronkin function of the associated Laurent polynomial. We conjecture an analogous equality for a suitable average height in higher codimensions and indicate a strategy for the proof of a particular case. In all the treatment, we deal with convex geometrical objects such as polytopes, real Monge-Ampère measures and Legendre-Fenchel duality of concave functions. We suggest an algebraic framework for such a study and deepen the understanding of mixed integrals.