Le groupe de Thompson projectif $T$ est l'ensemble des homéomorphismes du bord du disque hyperbolique qui sont $PSL_2((\bf Z))$ par morceaux avec points de rupture rationnels. Pour un sous-groupe $\Gamma$ de $PSL_2((\bf Z))$ on peut construire le sous-groupe $T_(\Gamma)$ de $T$ des homéomorphismes $\Gamma$ par morceaux, et on se demande si la propriété fondamentale de $T$ d'être de type fini est conservée. Cette étude dépend du genre de la surface associée à $\Gamma$. Le but principal de notre travail est de prouver qu'en genre nul, $T_(\Gamma)$ est de présentation finie (Peter Greenberg a montré qu'en genre strictement positif $T_(\Gamma)$ n'est pas de type fini). Nous commençons par conjuguer $T_(\Gamma)$ à un groupe d'homéomorphismes affines par morceaux dont nous prouvons, à l'aide de groupes de Thompson classiques, qu'il est de type fini. Puis nous donnons une description combinatoire de $T_(\Gamma)$ par des couples de forêts infinies, description qui nous permet de déterminer une présentation infinie régulière du groupe, puis une présentation finie.

Les équivalences sous-linéairement bilipschitziennes ont été introduites par Yves Cornulier afin de décrire les cônes asymptotiques des groupes de Lie. Elles généralisent les quasiisométries. Cette thèse construit des invariants pour l'équivalence sous-linéairement bilipschitzienne entre groupes et espaces hyperboliques au sens de Gromov, en utilisant l'analyse au bord de Gromov. Une classe d'application généralisant les homéomorphismes quasisymétriques, et une dimension conforme associée, sont introduites. Les espaces riemannien de type non-compact et de rang un, ainsi que certains espaces homogènes de courbure strictement négative, sont classifiés à équivalence sous-linéairement bilipschitzienne près. / Sublinearly biLipschitz equivalences have been introduced by Yves Cornulier as a means of describing the asymptotic cones of Lie groups; they include and generalize quasiisometries. This thesis provides invariants for sublinearly biLipschitz equivalence between Gromov-hyperbolic groups and spaces using analysis on the Gromov boundary. A class of applications generalizing quasisymmetric mappings, and a corresponding conformal dimension, are introduced as tools. Riemannian symmetric spaces of noncompact type as well as a subclass of homogeneous negatively curved Riemannian manifolds are classified up to sublinearly biLipschitz equivalence.

Les travaux présentés dans ce mémoire, portent essentiellement sur la théorie géométrique des systèmes dynamiques. Ils sont regroupés dans deux sections distinctes qui couvrent l'essentiel de mes recherches :<ul><li> L'étude de la dynamique et de la morphologie des homéomorphismes des surfaces,</li><li>L'utilisation de méthodes géométriques dans l'étude de certaines équations aux dérivées partielles apparaissant en mécanique et en hydrodynamique.</li></ul>Ce mémoire récapitule les travaux de dix-neuf articles groupés par thèmes et présentés dans l'ordre chronologique de leur élaboration.

Cette thèse concerne les homéomorphismes de surfaces.Soit f un difféomorphisme d'une surface M préservant l'aire et isotope à l'identité. Si f a un point fixe contractile isolé et dégénéré z0 avec un indice de Lefschetz égal à 1, et si l'aire de M est finie, nous prouverons au chapitre 3 que z0 est accumulé non seulement par des points périodiques mais aussi par des orbites périodiques au sens de la mesure. Plus précisément, la mesure de Dirac en z0 est la limite en topologie faible-étoile d'une suite de probabilités invariantes supportées par des orbites périodiques. Notre preuve est totalement topologique et s'applique au cas d'homéomorphismes en considérant l'ensemble de rotation local.Au chapitre 4, nous étudierons des homéomorphismes préservant l’aire et isotope à l’identité. Nous prouverons l’existence d'isotopies maximales particulières: les isotopies maximales à torsion faible. En particulier, lorsque f est un difféomorphisme ayant un nombre fini de points fixes tous non-dégénérés, une isotopie I joignant l'identité à f est à torsion faible si et seulement si pour tout point z fixé le long de I, le nombre de rotation (réel) ρ(I,z), qui est bien défini quand on éclate f en z, est contenu dans (-1,1). Nous démontrerons l'existence d'isotopies maximales à torsion faible, et nous étudierons la dynamique locale de feuilletages transverses à l'isotopie près des singularités isolées.Au chapitre 5, nous énoncerons une généralisation d'un théorème de Poincaré-Birkhoff local au cas où il existe des points fixes au bord. / This thesis concerns homeomorphisms of surfaces.Let f be an area preserving diffeomorphism of an oriented surface M isotopic to the identity. If f has an isolated degenerate contractible fixed point z0 with Lefschetz index one, and if the area of M is finite, we will prove in Chapter 3 that z0 is accumulated not only by periodic points, but also by periodic orbits in the measure sense. More precisely, the Dirac measure at z0 is the limit in weak-star topology of a sequence of invariant probability measures supported on periodic orbits. Our proof is purely topological and will works for homeomorphisms and is related to the notion of local rotation set.In chapter 4, we will define a kind of identity isotopies: torsion-low isotopies. In particular, when f is a diffeomorphism with finitely many fixed points such that every fixed point is not degenerate, an identity isotopy I of f is torsion-low if and only if for every point z fixed along the isotopy, the (real) rotation number ρ(I,z), which is well defined when one blows-up f at z, is contained in (-1,1). We will prove the existence of torsion-low maximal identity isotopies, and we will deduce the local dynamics of the transverse foliations of any torsion-low maximal isotopy near any isolated singularity.In chapter 5, we will generalize a local Poincaré-Birkhoff theorem to the case where there exist fixed points on the boundary

Au début des années 90, P. Greenberg entame une étude géométrique du groupe de Thompson $T$, dans le contexte des homéomorphismes du cercle projectifs par morceaux, appelé géométrie CPP. Nous reprenons cette étude en établissant un pont entre la géométrie CPP et l'espace de Teichmüller universel décoré de Penner. Ce dernier est muni d'un système de coordonnées affines global. A l'aide de ces coordonnées, nous montrons que l'espace des homéomorphismes du cercle normalisés, de classe CPP et à points de coupure rationnels est homéomorphe à une limite directe d'espaces euclidiens, donc contractile. Puis, nous analysons l'action du groupe sur cet espace, dans le système des coordonnées. Nous en déduisons un classifiant du groupe $T$, dans la géométrie CPP. En application, nous donnons une version géométrique d'un théorème de Ghys et Sergiescu reliant l'homologie de $T$ à celle de l'espace des lacets libres sur la sphère de dimension 3.

Cette thèse rassemble des travaux qui abordent des sujets de la dynamique topologique par le biais de la logique et de la théorie descriptive des ensembles, et réciproquement. La première partie est consacrée à l'étude des groupes polonais Roelcke précompacts. Cette famille comprend plusieurs groupes de permutations, d'isométries et d'homéomorphismes d'objets mathématiques distingués. Basés sur des travaux précédents de Ben Yaacov et Tsankov, nous développons une traduction modèle-théorique de plusieurs aspects dynamiques de ces groupes. Puis nous utilisons cette traduction pour obtenir une compréhension précise, dans ce cas, de la hiérarchie dynamique étudiée par Glasner et Megrelishvili. Ensuite (avec I. Ben Yaacov et T. Tsankov), nous donnons une description modèle-théorique de la compactification hilbertienne des groupes oligomorphes, et nous caractérisons les groupes oligomorphes Eberlein. Nous étudions également les groupes d'automorphismes des structures randomisées, ainsi que les modèles séparables de la théorie des belles paires de randomisations. Dans la deuxième partie (avec J. Melleray), nous étudions les groupes pleins d'homéomorphismes minimaux de l'espace de Cantor et leurs mesures invariantes. Nous montrons que les groupes pleins des homéomorphismes minimaux n'admettent pas de topologie polonaise, puis qu'ils sont des sous-ensembles non-boréliens du groupe d'homéomorphismes de l'espace de Cantor. Ensuite, nous étudions les clôtures des groupes pleins au moyen de la théorie de Fraïssé. Finalement, nous donnons une caractérisation des ensembles de mesures invariantes des homéomorphismes minimaux de l'espace de Cantor / This thesis gathers different works approaching subjects of topological dynamics by means of logic and descriptive set theory, and conversely. The first part is devoted to the study of Roelcke precompact Polish groups, which are the same as the automorphism groups of N0-categorical structures. They form a rich family of examples of infinite-dimensional topological groups, including several interesting permutation groups, isometry groups and homeomorphism groups of distinguished mathematical objects. Building on previous work of Ben Yaacov and Tsankov, we develop a model-theoretic translation of several dynamical aspects of these groups. Then we use this translation to obtain a precise understanding, in this case, of the dynamical hierarchy studied by Glasner and Megrelishvili. Later, with I. Ben Yaacov and T. Tsankov, we provide a model-theoretic description of the Hilbert-compactification of oligomorphic groups, and we give a characterization of Eberlein oligomorphic groups. We also study automorphism groups of randomized structures, as well the separable models of the theory of beautiful pairs of randomizations. The second part, with J. Melleray, studies full groups of minimal homeomorphisms of the Cantor space and their invariant measures. We show that full groups of minimal homeomorphisms do not admit a Polish group topology, and are moreover non-Borel subsets of the homeomorphism group of the Cantor space. We then study the closures of full groups by means of Fraïssé theory. Finally, we give a characterization of the sets of invariant measures of minimal homeomorphisms of the Cantor space