Dans cette thèse, nous construisons un produit sur le complexe de Floer associé à une paire de cobordismes lagrangiens, où ce complexe de Floer est un complexe quotient du complexe de Cthulhu défini par Chantraine, Dimitroglou-Rizell, Ghiggini et Golovko. Plus précisément, pour tout triplet de cobordismes lagrangiens exacts transverses dans la symplectisation d’une variété de contact, nous définissons une application m2 en comptant des courbes holomorphes rigides à bord sur les cobordismes et asymptotes à des points d’intersection et à des cordes de Reeb dans les bouts legendriens négatifs des cobordismes. En étudiant les dégénérescences de courbes holomorphes, on montre que m2 satisfait la relation de Leibniz sur les complexes de Floer associés. / We construct a product on the Floer complex associated to a pair of Lagrangian cobordisms. This complex is a quotient complex of the Cthulhu complex defined by Chantraine, Dimitroglou-Rizell, Ghiggini and Golovko. More precisely, given three exact transverse Lagrangian cobordisms in the symplectization of a contact manifold, we define a map m2 by a count of rigid holomorphic curves with boundary on the cobordisms and asymptotic to intersection points and Reeb chords in the negative Legendrian ends of the cobordisms. By studying breakings of holomorphic curves, we prove that m2 satisfy the Leibniz rule on Floer complexes.

D'après le travail de Rickard, nous savons que deux anneaux possèdent la même catégorie d´erivée s'il existe un complexe basculant, construit à partir de modules projectifs sur le premier anneau de telle sorte que le deuxième anneau soit l'anneau des endomormorphismes de ce complexe basculant.<br />Dans cette thèse je décris, sous certaines conditions, l'anneau des endomorphismes de complexes à n termes à partir de l'anneau des endomorphismes d'une structure plus élémentaire, les homologies des complexes.<br />Le cas de complexes basculants à 2 termes sur un ordre de Gorenstein tel que les homologies sont sans torsion a été fait par S.König et A.Zimmermann.

Nous proposons et commençons ici l'étude des cobordismes lagrangiens reliant deux noeuds legendriens dans la symplectisation d'une variété de contact (M,ξ). En étudiant l'homomorphisme naturel du groupe des contactomorphismes de (M, ξ) vers les symplectomorphsimes de sa symplectisation, nous démontrons que l'existence d'un tel cobordisme ne dépend que de la classe d'isotopie des noeuds legendriens en question. Nous étudions ensuite le comportement des invariants classiques sous la relation de cobordisme lagrangien. A l'aide de l'inégalité de Bennequin et de ses généralisations, nous étudions les liens existants entre cette relation et la topologie des noeuds, notamment nous obtenons un critère pour calculer le 4-genre d'un noeud dans certaines situations. Nous en concluons notamment une nouvelle preuve de la conjecture locale de Thom. Parmi les applications nous donnons le lien entre les cobordismes lagrangiens et les cobordismes symplectiques via les chirurgies legendriennes. Nous démontrons aussi l'existence d'un homomorphisme induit en homologie de contact incluant cette relation dans le tableau global de la théorie symplectique des champs. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Géométrie de contact et symplectique, Lagrangien, Legendrien, Conjecture locale de Thom, Homologie de contact.

Thèse doctorat : Mathématiques : Strasbourg 1 : 2007. / Titre provenant de l'écran-titre. Bibliogr. 3 p.

L'explosion de la quantité de données numériques à traiter dans les sciences a poussé les chercheurs à développer des méthodes algorithmiques pour automatiser cette tâche. Parmi ces méthodes, on reconnaît les méthodes topologiques, qui utilisent des concepts issus de la topologie algébrique pour étudier les données. Cette thèse vise à décrire diverses méthodes topologiques qui sont utilisées dans les domaines de l'imagerie et de la comparaison de formes et à démontrer mathématiquement que les résultats numériques ainsi obtenus sont corrects. Elle est aussi accompagnée de tests qui servent à illustrer ces résultats.

Bielefeld, Univ., Diss., 2005.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Dans ce mémoire, on étudie l'amenabilite et les notions analogues introduites plus récemment. On consacre le chapitre deux à rappeler des définitions et à donner des exemples. Dans le chapitre trois, on étudie l'article [1]. On montre que le produit interne dans une algèbre A admet deux prolongement sur A**. On étudie ces deux prolongements et on donne des conditions nécessaires et suffisantes pour que le prolongement sur A** soit unique. Le chapitre quatre porte essentiellement sur l'amenabilite des algèbres de Banach. On étudie la relation entre une algèbre amenable et l'existence d'une unité approchée, ainsi que le lien entre A et A** du point de vue de l'amenabilite. Dans cette partie, on se base sur [2] et [4]. Dans le chapitre cinq, on étudie l'amenabilite approximative, qui est une notion plus faible que l'amenabilite. On fait ressortir les analogues avec les résultats du chapitre quatre. Ce chapitre porte essentiellement sur les articles [7] et [9].

La condition de monotonie pour les sous-variétés lagrangiennes a été introduite par Oh en 1993. C'est une version relative d'une condition définie par Floer pour les variétés symplectiques. Ces conditions permettent d'obtenir la bonne définition d'homologies de type Floer, en particulier de l'homologie de Floer lagrangienne, outil très utile pour l'étude de plongements lagrangiens.<br /> <br />Dans cette thèse, nous exploitons les hypothèses de monotonie en théorie de Floer sous deux aspects. Un premier aspect est l'étude d'une nouvelle famille d'exemples de variétés symplectiques monotones et de leurs sous-variétés lagrangiennes monotones. Cette famille d'exemples est construite par découpe symplectique à partir du cotangent de variétés munies d'une action libre du cercle. Un second aspect est la construction d'une homologie de type Floer-Novikov pour des sous-variétés lagrangiennes d'un cotangent qui sont dites monotones sur les lacets. On en déduit de nouveaux résultats d'obstruction de plongements lagrangiens monotones sur les lacets dans le cotangent de variétés qui fibrent sur le cercle.

Les algèbres Artin-Schelter régulières sont des analogues non-commutatifs d'algèbres de polynomes. En dimension globale 3, ces algèbres graduées sont homogènes et ont des relations de degré 2 ou 3. Dans cette thèse, nous nous intéressons à certaines algèbres Artin-Schelter régulières de dimension globale 3, à relations cubiques. Nous commencons par calculer l'homologie de Hochschild des algèbres Artin-Schelter régulières de dimension globale 3, cubiques de type A à coefficients génériques. Soit $A$ une telle algèbre. Nous suivons la méthode employée par M. Van den Bergh (K-Theory 8 (1994) 213-230) dans le cas quadratique, en considérant cette algèbre comme déformation d'une algèbre de polynomes, avec crochet de Poisson remarquable. Nous calculons alors l'homologie de Poisson et nous montrons que la suite spectrale de Brylinski associée dégénère. Pour cela, nous utilisons le fait que cette algèbre est de Koszul au sens généralisé défini par R. Berger (J. Algebra 239 (2001) 705-734) et nous donnons un nouveau quasi-isomorphisme entre la résolution de Koszul de $A$ par des $A$-$A$-bimodules et la bar-résolution de $A$. Nous déduisons la cohomologie de de Rham, l'homologie cyclique et l'homologie cyclique périodique de l'homologie de Hochschild de $A$, en utilisant des résultats classiques. La propriété de Koszul généralisée nous permet d'écrire un quasi-isomorphisme explicite entre le complexe qui calcule la cohomologie de Hochschild de $A$ et le complexe qui calcule l'homologie de Hochschild de $A$, obtenant ainsi une dualité de Poincaré. Nous déduisons alors la cohomologie de Hochschild de $A$ de l'homologie de Hochschild de $A$. Nous déterminons le centre de $A$, ce qui n'était pas connu. Nous terminons par divers compléments. En particulier, nous explicitons une injection de la résolution de Koszul par des $A$-$A$-bimodules vers la bar-résolution de $A$, valable pour toute algèbre de Koszul généralisée $A$.