Bielefeld, Universiẗat, Diss., 1999.

Proefschift Universiteit van Amsterdam. / Met lit. opg. en een samenvatting in het Nederlands.

Zugl.: Erlangen, Nürnberg, University, Diss., 2006.

Berlin, Techn. Univ., Diss., 2004. / Computerdatei im Fernzugriff.

University, Diss., 1999--Freiburg (Breisgau).

Stuttgart, Univ., Diplomarb., 2001.

In der vorliegenden Habilitationsschrift wird der Diracsee im äußeren Feld definiert und im Detail im Ortsraum untersucht. Kapitel 1 gibt eine allgemeine Einführung und einen Überblick. In Kapitel 2 wird gezeigt, daß der Diracsee für die Diracgleichung mit allgemeiner Wechselwirkung eindeutig definiert werden kann, wenn man eine Kausalitätsbedingung für den Diracsee fordert. Wir leiten eine explizite Formel für den Diracsee als Potenzreihe in den bosonischen Potentialen ab. Die Konstruktion wird auf Systeme von Diracseen verallgemeinert. Falls das System chirale Fermionen enthält, liefert die Kausalitätsbedingung eine Einschränkung für die bosonischen Potentiale. In Kapitel 3 untersuchen wir den Diracsee in chiralen und skalaren/pseudoskalaren Feldern. Als Vorbereitung wird eine Methode entwickelt, mit der die avancierte und retardierte Greensche Funktion um den Lichtkegel entwickelt werden kann. Dazu werden zunächst alle Feynman-Diagramme entwickelt und anschließend die Störungsreihe aufsummiert. Diese Lichtkegelentwicklung beschreibt die Greenschen Funktionen mittels einer unendlichen Reihe von Linienintegralen über das äußere Potential und dessen partielle Ableitungen. Der Diracsee wird in einen kausalen und einen nichtkausalen Anteil zerlegt. Der kausale Anteil hat eine Lichtkegelentwicklung, die mit der Lichtkegelentwicklung der Greenschen Funktionen eng verwandt ist; sie beschreibt das singuläre Verhalten des Diracsees mit Hilfe geschachtelter Linienintegrale längs des Lichtkegels. Der nichtkausale Anteil ist dagegen in jeder Ordnung Störungstheorie eine glatte Funktion im Ortsraum. / In this habiltation, the Dirac sea in the presence of an external field is defined and analyzed in detail in position space. Chapter 1 gives a general introduction and overview. In Chapter 2, it is shown that the Dirac sea can be uniquely defined for the Dirac equation with general interaction, if we impose a causality condition on the Dirac sea. We derive an explicit formula for the Dirac sea in terms of a power series in the bosonic potentials. The construction is extended to systems of Dirac seas. If the system contains chiral fermions, the causality condition yields a restriction for the bosonic potentials. In Chapter 3, we study the Dirac sea in the presence of chiral and scalar/pseudoscalar fields. In preparation, a method is developed for calculating the advanced and retarded Green's functions in an expansion around the light cone. For this, we first expand all Feynman diagrams and then explicitly sum up the perturbation series. The light-cone expansion expresses the Green's functions as an infinite sum of line integrals over the external potential and its partial derivatives. The Dirac sea is decomposed into a causal and a non-causal contribution. The causal contribution has a light-cone expansion which is closely related to the light-cone expansion of the Green's functions; it describes the singular behavior of the Dirac sea in terms of nested line integrals along the light cone. The non-causal contribution, on the other hand, is, to every order in perturbation theory, a smooth function in position space.

Techn. Universiẗat, Diss., 2004--Berlin.

This thesis considers a model of a scalar partial differential equation in the presence of a singular source term, modeling the interaction between an inviscid fluid represented by the Burgers equation and an arbitrary, finite amount of particles moving inside the fluid, each one acting as a point-wise drag force with a particle related friction constant. \begin{align*} \partial_t u + \partial_x (u^2/2) &= \sum_{i \in N(t)} \lambda_i \Big(h_i'(t)-u(t,h_i(t)\Big)\delta(x-h_i(t)) \end{align*} The model was introduced for the case of a single particle by Lagoutière, Seguin and Takahashi, is a first step towards a better understanding of interaction between fluids and solids on the level of partial differential equations and has the unique property of considering entropy admissible solutions and the interaction with shockwaves. The model is extended to an arbitrary, finite number of particles and interactions like merging, splitting and crossing of particle paths are considered. The theory of entropy admissibility is revisited for the cases of interfaces and discontinuous flux conservation laws, existing results are summarized and compared, and adapted for regions of particle interactions. To this goal, the theory of germs introduced by Andreianov, Karlsen and Risebro is extended to this case of non-conservative interface coupling. Exact solutions for the Riemann Problem of particles drifting apart are computed and analysis on the behavior of entropy solutions across the particle related interfaces is used to determine physically relevant and consistent behavior for merging and splitting of particles. Well-posedness of entropy solutions to the Cauchy problem is proven, using an explicit construction method, L-infinity bounds, an approximation of the particle paths and compactness arguments to obtain existence of entropy solutions. Uniqueness is shown in the class of weak entropy solutions using almost classical Kruzkov-type analysis and the notion of L1-dissipative germs. Necessary fundamentals of hyperbolic conservation laws, including weak solutions, shocks and rarefaction waves and the Rankine-Hugoniot condition are briefly recapitulated. / Diese Arbeit befasst sich mit dem Modell einer skalaren partiellen Differentialgleichung mit singulärem Quellterm, das die Interaktion zwischen einem reibungsfreiem Fluid, dargestellt durch die Burgers Gleichung, und einer gegebenen, endlichen Menge von sich in dem Fluid bewegenden Partikeln beschreibt, die eine punktweise Zugkraft auf das Fluid auswirken und durch eine entsprechende Reibungskonstante charakterisiert sind. \begin{align*} \partial_t u + \partial_x (u^2/2) &= \sum_{i \in N(t)} \lambda_i \Big(h_i'(t)-u(t,h_i(t)\Big)\delta(x-h_i(t)) \end{align*} Das Modell wurde für den Fall der Interaktion mit einem einzelnen Partikel durch Lagoutière, Seguin and Takahashi eingeführt, stellt einen ersten Schritt zu einem besseren Verständnis der Interaktion zwischen einem Fluid und Festkörpern auf dem Level der partiellen Differentialgleichungen dar und hat die einzigartige Eigenschaft, dass Entropielösungen und die Interaktion mit Schockwellen berücksichtigt werden. Das Modell wird zu einer beliebigen, endlichen Anzahl von Partikeln erweitert und Interaktionen wie das Verschmelzen und Spaltung von Partikeln werden behandelt. Existierende Theorie der Entropie-Zulässigkeit im Hinblick auf Interfaces und Erhaltungsgleichungen mit unstetiger Flussfunktion wird zusammengefasst, die Resultate werden verglichen und für die Regionen mit Partikelinteraktionen angepasst. Zu diesem Zweck wird die Theorie der Germs, eingeführt von Andreianov, Karlsen und Risebro, auf den vorliegenden Fall eines nicht-erhaltenden Interfaces erweitert. Für das Riemann Problem von auseinanderdriftenden Partikeln werden die exakten Lösungen berechnet und eine Analyse des Verhaltens von Entropielösungen über die von den Partikeln erzeugten Interface wird genutzt, um ein physikalisch sinnvolles und mit der Theorie eines einzelnen Partikels konsistentes Verhalten beim Verschmelzen und Spalten von Partikeln herzuleiten. Mit Hilfe einer expliziten Konstruktionsmethode, hergeleiteten L-infinity Beschränkungen, einer Approximation der Partikelpfade und Kompaktheitsargumenten wird gezeigt, dass das entsprechende Cauchy Problem wohlgestellt ist. Eindeutigkeit im Raum der schwachen Entropielösungen wird mit beinahe klassischen Argumenten der Theorie von Kruzkov sowie der Theorie von L1-dissipativen Germs gezeigt. Notwendige Grundlagen zu hyperbolischen Erhaltungsgleichungen, unter anderem die Theorie schwacher Lösungen, Schock- und Verdünnungswellen sowie die Rankine-Hugoniot Bedingung, werden in Grundzügen am Anfang der Arbeit wiederholt.

Gegenstand der Dissertation ist die Untersuchung der asymptotischen Eigenschaften von Lösungen des Cauchy-Problems für eine Wellengleichung mit zeitabhängiger Dämpfung $b=b(t)$ und das Wechselspiel zwischen dem Verhalten des Koeffizienten $b(t)ge0$ und sich ergebenden Abschätzungen der Energie auf der Basis von $L^q$, $qge2$. Dabei stellt sich heraus, dass zwischen zwei Szenarien, dem der nicht-effektiven und dem der effektiven Dämpfung zu unterscheiden ist. In beiden Fällen werden die Hauptterme der Lösungsdarstellung konstruiert und davon ausgehend erstmalig $L^p$--$L^q$ Abschätzung für die Lösung und ihre Ableitungen angegeben. Ebenso wird die Schärfe der Abschätzungen diskutiert und in Form einer modifizierten Scattering-Theorie beziehungsweise des Diffusionsphänomens konkretisiert.