Gegenstand der Dissertation ist die Untersuchung der asymptotischen Eigenschaften von Lösungen des Cauchy-Problems für eine Wellengleichung mit zeitabhängiger Dämpfung $b=b(t)$ und das Wechselspiel zwischen dem Verhalten des Koeffizienten $b(t)ge0$ und sich ergebenden Abschätzungen der Energie auf der Basis von $L^q$, $qge2$. Dabei stellt sich heraus, dass zwischen zwei Szenarien, dem der nicht-effektiven und dem der effektiven Dämpfung zu unterscheiden ist. In beiden Fällen werden die Hauptterme der Lösungsdarstellung konstruiert und davon ausgehend erstmalig $L^p$--$L^q$ Abschätzung für die Lösung und ihre Ableitungen angegeben. Ebenso wird die Schärfe der Abschätzungen diskutiert und in Form einer modifizierten Scattering-Theorie beziehungsweise des Diffusionsphänomens konkretisiert.

In der vorliegenden Habilitationsschrift wird der Diracsee im äußeren Feld definiert und im Detail im Ortsraum untersucht. Kapitel 1 gibt eine allgemeine Einführung und einen Überblick. In Kapitel 2 wird gezeigt, daß der Diracsee für die Diracgleichung mit allgemeiner Wechselwirkung eindeutig definiert werden kann, wenn man eine Kausalitätsbedingung für den Diracsee fordert. Wir leiten eine explizite Formel für den Diracsee als Potenzreihe in den bosonischen Potentialen ab. Die Konstruktion wird auf Systeme von Diracseen verallgemeinert. Falls das System chirale Fermionen enthält, liefert die Kausalitätsbedingung eine Einschränkung für die bosonischen Potentiale. In Kapitel 3 untersuchen wir den Diracsee in chiralen und skalaren/pseudoskalaren Feldern. Als Vorbereitung wird eine Methode entwickelt, mit der die avancierte und retardierte Greensche Funktion um den Lichtkegel entwickelt werden kann. Dazu werden zunächst alle Feynman-Diagramme entwickelt und anschließend die Störungsreihe aufsummiert. Diese Lichtkegelentwicklung beschreibt die Greenschen Funktionen mittels einer unendlichen Reihe von Linienintegralen über das äußere Potential und dessen partielle Ableitungen. Der Diracsee wird in einen kausalen und einen nichtkausalen Anteil zerlegt. Der kausale Anteil hat eine Lichtkegelentwicklung, die mit der Lichtkegelentwicklung der Greenschen Funktionen eng verwandt ist; sie beschreibt das singuläre Verhalten des Diracsees mit Hilfe geschachtelter Linienintegrale längs des Lichtkegels. Der nichtkausale Anteil ist dagegen in jeder Ordnung Störungstheorie eine glatte Funktion im Ortsraum. / In this habiltation, the Dirac sea in the presence of an external field is defined and analyzed in detail in position space. Chapter 1 gives a general introduction and overview. In Chapter 2, it is shown that the Dirac sea can be uniquely defined for the Dirac equation with general interaction, if we impose a causality condition on the Dirac sea. We derive an explicit formula for the Dirac sea in terms of a power series in the bosonic potentials. The construction is extended to systems of Dirac seas. If the system contains chiral fermions, the causality condition yields a restriction for the bosonic potentials. In Chapter 3, we study the Dirac sea in the presence of chiral and scalar/pseudoscalar fields. In preparation, a method is developed for calculating the advanced and retarded Green''s functions in an expansion around the light cone. For this, we first expand all Feynman diagrams and then explicitly sum up the perturbation series. The light-cone expansion expresses the Green''s functions as an infinite sum of line integrals over the external potential and its partial derivatives. The Dirac sea is decomposed into a causal and a non-causal contribution. The causal contribution has a light-cone expansion which is closely related to the light-cone expansion of the Green''s functions; it describes the singular behavior of the Dirac sea in terms of nested line integrals along the light cone. The non-causal contribution, on the other hand, is, to every order in perturbation theory, a smooth function in position space.

In this thesis, we are interested in numerically preserving stationary solutions of balance laws. We start by developing finite volume well-balanced schemes for the system of Euler equations and the system of MHD equations with gravitational source term. Since fluid models and kinetic models are related, this leads us to investigate AP schemes for kinetic equations and their ability to preserve stationary solutions. Kinetic models typically have a stiff term, thus AP schemes are needed to capture good solutions of the model. For such kinetic models, equilibrium solutions are reached after large time. Thus we need a new technique to numerically preserve stationary solutions for AP schemes. We find a criterion for SP schemes for kinetic equations which states, that AP schemes under a particular discretization are also SP. In an attempt to mimic our result for kinetic equations in the context of fluid models, for the isentropic Euler equations we developed an AP scheme in the limit of the Mach number going to zero. Our AP scheme is proven to have a SP property under the condition that the pressure is a function of the density and the latter is obtained as a solution of an elliptic equation. The properties of the schemes we developed and its criteria are validated numerically by various test cases from the literature. / In dieser Arbeit interessieren wir uns für numerisch erhaltende stationäre Lösungen von Erhaltungsgleichungen. Wir beginnen mit der Entwicklung von well-balanced Finite-Volumen Verfahren für das System der Euler-Gleichungen und das System der MHD-Gleichungen mit Gravitationsquell term. Da Strömungsmodelle und kinetische Modelle miteinander verwandt sind, untersuchen wir asymptotisch erhaltende (AP) Verfahren für kinetische Gleichungen und ihre Fähigkeit, stationäre Lösungen zu erhalten. Kinetische Modelle haben typischerweise einen steifen Term, so dass AP Verfahren erforderlich sind, um gute Lösungen des Modells zu erhalten. Bei solchen kinetischen Modellen werden Gleichgewichtslösungen erst nach langer Zeit erreicht. Daher benötigen wir eine neue Technik, um stationäre Lösungen für AP Verfahren numerisch zu erhalten. Wir finden ein Kriterium für stationär-erhaltende (SP) Verfahren für kinetische Gleichungen, das besagt, dass AP Verfahren unter einer bestimmten Diskretisierung auch SP sind. In dem Versuch unser Ergebnis für kinetische Gleichungen im Kontext von Strömungsmodellen nachzuahmen, haben wir für die isentropen Euler-Gleichungen ein AP Verfahren für den Grenzwert der Mach-Zahl gegen Null, entwickelt. Unser AP Verfahren hat nachweislich eine SP Eigenschaft unter der Bedingung, dass der Druck eine Funktion der Dichte ist und letztere als Lösung einer elliptischen Gleichung erhalten wird. Die Eigenschaften des von uns entwickelten und seine Kriterien werden anhand verschiedener Testfälle aus der Literatur numerisch validiert. / In this thesis, we are interested in numerically preserving stationary solutions of balance laws. We start by developing finite volume well-balanced schemes for the system of Euler equations and the system of Magnetohydrodynamics (MHD) equations with gravitational source term. Since fluid models and kinetic models are related, this leads us to investigate Asymptotic Preserving (AP) schemes for kinetic equations and their ability to preserve stationary solutions. In an attempt to mimic our result for kinetic equations in the context of fluid models, for the isentropic Euler equations we developed an AP scheme in the limit of the Mach number going to zero. The properties of the schemes we developed and its criteria are validated numerically by various test cases from the literature.

Im Jahr 2006, in einem Papier in Compositio Titel "Bounds auf kanonische Green-Funktionen" J. Jorgenson und J. Kramer, haben optimale Schranken für den hyperbolischen und kanonischen Green-Funktionen auf einem kompakten hyperbolischen Riemannschen Fläche definiert abgeleitet. Diese Schätzungen wurden im Hinblick auf abgeleitete Invarianten aus hyperbolischen Geometrie der Riemannschen Fläche. Als Anwendung abgeleitet sie Schranken für die kanonische Green-Funktionen durch Abdeckungen und für Familien von Modulkurven. In dieser Arbeit erweitern wir ihre Methoden nichtkompakten hyperbolischen Riemann Oberflächen und leiten ähnliche Schranken für den hyperbolischen und kanonischen Green-Funktionen auf einem nichtkompakten hyperbolischen Riemannschen Fläche definiert. / In 2006, in a paper in Compositio titled "Bounds on canonical Green''s functions", J. Jorgenson and J. Kramer have derived optimal bounds for the hyperbolic and canonical Green''s functions defined on a compact hyperbolic Riemann surface. These estimates were derived in terms of invariants coming from hyperbolic geometry of the Riemann surface. As an application, they deduced bounds for the canonical Green''s functions through covers and for families of modular curves. In this thesis, we extend their methods to noncompact hyperbolic Riemann surfaces and derive similar bounds for the hyperbolic and canonical Green''s functions defined on a noncompact hyperbolic Riemann surface.

Die vorgelegte Dissertation befasst sich mit der Frage unter welchen Bedingungen und in welchen Funktionenräumen hyperbolische Cauchy Probleme korrekt gestellt sind, wenn die Koeffizienten niedrige Regularität haben. Startpunkt der Betrachtungen sind strikt hyperbolische Cauchy Probleme beliebiger Ordnung mit Koeffizienten, die bezüglich der Zeit nicht differenzierbar aber glatt in allen Ortsvariablen sind. Abhängig von der Regularität der Koeffizienten bezüglich der Zeit, wird gezeigt in welchen Räumen Problem dieser Art korrekt gestellt sind. Insbesondere werden Zusammenhänge zwischen der Regularität der Koeffizienten und den Lösungsräumen deutlich. Basierend auf den Erkenntnissen für strikt hyperbolische Cauchy Probleme werden anschließend schwach hyperbolische Cauchy Probleme untersucht. Hier wird eine verallgemeinerte Levi Bedingung eingeführt und gezeigt, welcher Zusammenhang zwischen dem Einfluss der Levi Bedingungen und der niedrigen Regularität der Koeffizienten auf die Lösungsräume besteht. Schließlich wird noch den Fall von strikt hyperbolischen Cauchy Problemen betrachtet, die Koeffizienten mit niedriger Regularität in allen Variablen haben.

In dieser Arbeit wird eine neue Methode zur Reduktion der Boltzmann-Gleichung auf ein System partieller Differentialgleichungen diskutiert. Nach einer kurzen Einführung in die kinetische Theorie einer Mischung inerter Gase wird ein Überblick in die aus der Literatur bekannten Momentenmethoden gegeben. Der anschließend vorgestellten Kumulantenmethode liegt die Annahme zugrunde, daß durch Stoßprozesse in einem Gas Korrelationen höherer Ordnung schneller abgebaut werden als solche niedrigerer Ordnung. Basierend auf dieser Annahme werden die Bewegungsgleichungen für die Kumulanten und die Produktionsterme der resultierenden Bilanzgleichungen für eine Mischung inerter Maxwell-Gase berechnet. Die Untersuchung der Relaxation zum Gleichgewicht erlaubt den Bezug zu bekannten Modellen der Kontinuumsmechanik und untermauert die Gültigkeit der Annahme für die Begründung des o.g. Ansatzes in diesem Fall. Im zweiten Teil der Arbeit werden die Ergebnisse numerischer Untersuchungen vorgestellt, wobei Simulationen mit verschiedenen Randbedingungen für Couette- und Poiseulle- Strömungen durchgeführt wurden. Es werden verschiedene Eigenschaften von Modellen für verdünnte Gase als auch des Navier-Stokes-Modells beobachtet. Dabei ist jedoch eine sehr starke Abhängigkeit von den angewendeten Randbedingungen festzustellen. Abschließend werden Momentenmethoden als eine besondere Form von Diskretisierungen der Boltzmann-Gleichung nach der Methode der gewichteten Residuen diskutiert, was einen Ausblick auf zukünftige Arbeiten erlaubt.

University, Diss., 2005--Saarbrücken. / Parallelt.: From pixels to regions.

Die extensive Zunahme von lebendigem Wachstum am Beispiel der mathematischen Fibonacci-Folge ergibt räumliche Strukturen von eigentümlichen Stülpungen und Auffaltungen, die den universellen Gesetzmäßigkeiten des Kosmos gehorchen. Solche mathematisch-abstrakten Ideen wollte ich dreidimensional in Skulpturen umsetzen und versuchte erst vergeblich, mir die daraus enstehenden räumlichen Körper rein imaginär vorzustellen und zeichnerisch oder klassisch skulptural umzusetzen – doch erst als mir die Idee kam, entlang dieser Gesetzmäßigkeiten zu häkeln, gelang es.

Die vorliegende Dissertation befasst sich mit der mathematischen Modellierung semi-klassischer Licht-Materie-Interaktion. Im semiklassischen Bild wird Materie durch eine Dichtematrix "rho" beschrieben. Das Konzept der Dichtematrizen ist quantenmechanischer Natur. Auf der anderen Seite wird Licht durch ein klassisches elektromagnetisches Feld "(E,H)" beschrieben. Wir stellen einen mathematischen Rahmen vor, in dem wir systematisch dissipative Effekte in die Liouville-von-Neumann-Gleichung inkludieren. Bei unserem Ansatz sticht ins Auge, dass Lösungen der resultierenden Gleichung eine intrinsische Liapunov-Funktion besitzen. Anschließend koppeln wir die resultierende Gleichung mit den Maxwell-Gleichungen und erhalten ein neues selbstkonsistentes, dissipatives Modell vom Maxwell-Bloch-Typ. Der Fokus dieser Arbeit liegt auf der intensiven mathematischen Studie des dissipativen Modells vom Maxwell-Bloch-Typ. Da das Modell Lipschitz-Stetigkeit vermissen lassen, kreieren wir eine regularisierte Version des Modells, das Lipschitz-stetig ist. Wir beschränken unsere Analyse im Wesentlichen auf die Lipschitz-stetige Regularisierung. Für regularisierte Versionen des dissipativen Modells zeigen wir die Existenz von Lösungen des zugehörigen Anfangswertproblems. Der Kern des Existenzbeweises besteht aus einem Resultat von ``compensated compactness'''', das von P. Gérard bewiesen wurde, sowie aus einem Lemma vom Rellich-Typ. In Teilen folgt dieser Beweis dem Vorgehen einer älteren Arbeit von J.-L. Joly, G. Métivier und J. Rauch. / This thesis deals with the mathematical modeling of semi-classical matter-light interaction. In the semi-classical picture, matter is described by a density matrix "rho", a quantum mechanical concept. Light on the other hand, is described by a classical electromagnetic field "(E,H)". We give a short overview of the physical background, introduce the usual coupling mechanism and derive the classical Maxwell-Bloch equations which have intensively been studied in the literature. Moreover, We introduce a mathematical framework in which we state a systematic approach to include dissipative effects in the Liouville-von-Neumann equation. The striking advantage of our approach is the intrinsic existence of a Liapunov function for solutions to the resulting evolution equation. Next, we couple the resulting equation to the Maxwell equations and arrive at a new self-consistent dissipative Maxwell-Bloch type model for semi-classical matter-light interaction. The main focus of this work lies on the intensive mathematical study of the dissipative Maxwell-Bloch type model. Since our model lacks Lipschitz continuity, we create a regularized version of the model that is Lipschitz continuous. We mostly restrict our analysis to the Lipschitz continuous regularization. For regularized versions of the dissipative Maxwell-Bloch type model, we prove existence of solutions to the corresponding Cauchy problem. The core of the proof is based on results from compensated compactness due to P. Gérard and a Rellich type lemma. In parts, this proof closely follows the lines of an earlier work due to J.-L. Joly, G. Métivier and J. Rauch.

The investigation of the hidden metric space behind complex network topologies is a fervid topic in current network science and the hyperbolic space is one of the most studied, because it seems associated to the structural organization of many real complex systems. The popularity-similarity-optimization (PSO) model simulates how random geometric graphs grow in the hyperbolic space, generating realistic networks with clustering, small-worldness, scale-freeness and rich-clubness. However, it misses to reproduce an important feature of real complex networks, which is the community organization. The geometrical-preferential-attachment (GPA) model was recently developed in order to confer to the PSO also a soft community structure, which is obtained by forcing different angular regions of the hyperbolic disk to have a variable level of attractiveness. However, the number and size of the communities cannot be explicitly controlled in the GPA, which is a clear limitation for real applications. Here, we introduce the nonuniform PSO (nPSO) model. Differently from GPA, the nPSO generates synthetic networks in the hyperbolic space where heterogeneous angular node attractiveness is forced by sampling the angular coordinates from a tailored nonuniform probability distribution (for instance a mixture of Gaussians). The nPSO differs from GPA in other three aspects: it allows one to explicitly fix the number and size of communities; it allows one to tune their mixing property by means of the network temperature; it is efficient to generate networks with high clustering. Several tests on the detectability of the community structure in nPSO synthetic networks and wide investigations on their structural properties confirm that the nPSO is a valid and efficient model to generate realistic complex networks with communities.