Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie nous étudions les variétés 2-Fano. Les variétés 2-Fano, définies par De Jong et Starr, satisfont des generalisations de certaines propriétés des varietes Fano. Nous proposons une définition de variété k-Fano (faible) et conjecturons la polyhédralité du cône de k-cycles pseudo-effectives pour ces variétés en analogie avec le cas k=1. Ensuite, nous calculons quelques nombres de Betti d'une grande classe de variétés k-Fano pour prouver un cas particulier de la conjecture. En particulier, la conjecture est vraie pour toutes les variétés 2-Fano d'indice >n-3, et nous complétons également la classification des variétés faibles 2-Fano répondant aux questions 39 et 41 dans l'article d'Araujo et Castravet.Dans la deuxième partie, nous étudions une application rationnelle particulière. Beauville et Donagi ont prouvé que la variété des droites F(Y) d'une hypersurface lisse, cubique Y de dimension quatre est une variété hyperKähler. Récemment, C. Lehn, M. Lehn, Sorger et van Straten ont prouvé qu'on peut naturellement associer une variété hyperKähler Z(Y) à la variété compacte des cubiques rationnelles dans Y. Puis, Voisin a défini une application rationnelle de degré 6 entre le produit direct F(Y)xF(Y) et Z(Y). Nous montrerons que le lieu d'indétermination de cette application est le lieu des droites concourantes dans Y. / This thesis is divided in two parts. In the first part we study the 2-Fano varieties. The 2-Fano varieties, defined by De Jong and Starr, satisfy some higher dimensional analogous properties of Fano varieties. We propose a definition of (weak) k-Fano variety and conjecture the polyhedrality of the cone of pseudoeffective k-cycles for those varieties in analogy with the case k=1. Then, we calculate some Betti numbers of a large class of k-Fano varieties to prove some special case of the conjecture. In particular, the conjecture is true for all 2-Fano varieties of index > n-3, and also we complete the classification of weak 2-Fano varieties answering Questions 39 and 41 in Araujo and Castravet’s article.In the second part, we study a particular rational map. Beauville and Donagi proved that the variety of lines F(Y) of a smooth cubic fourfold Y is a hyperKähler variety. Recently, C. Lehn, M.Lehn, Sorger and van Straten proved that one can naturally associate a hyperKähler variety Z(Y) to the variety of twisted cubics on Y. Then, Voisin defined a degree 6 rational map between the direct product F(Y)xF(Y) and Z(Y). We will show that the indeterminacy locus of this map is the locus of intersecting lines. / Questa tesi è divisa in due parti. Nella prima parte studiamo le varietà 2-Fano. Le varietà 2-Fano, definite da De Jong e Starr, soddisfano alcune proprietà analoghe (in dimensionie superiore) alle varietà Fano. Diamo una definizione di varietà k-Fano (debole) e congetturiamo la poliedricità del cono di k-cicli pseudoeffettivi per tali varietà, in analogia al caso k=1. Quindi calcoliamo alcuni numeri Betti di molte varietà k-Fano, per dimostrare alcuni casi particolari della congettura. In particolare, la congettura è vera per tutte le varietà 2-Fano d'indice >n-3, e inoltre completiamo la classificazione delle varietà 2-Fano deboli rispondendo alle domande 39 e 41 nell'articolo di Araujo e Castravet. Nella seconda parte studiamo una particolare mappa razionale. Beauville e Donagi hanno dimostrato che la varietà delle rette F(Y) di una ipersuperfice cubica liscia Y di dimensione 4 è una varietà hyperKähler. Recentemente, C. Lehn, M.Lehn, Sorger e van Straten hanno dimostrato che è possibile associare in modo naturale una varietà hyperKähler Z(Y) alla varietà delle cubiche razionali in Y. Successivamente, Voisin ha definito una mappa razionale di grado 6 tra il prodotto diretto F(Y)xF(Y) e Z(Y). Mostreremo che il luogo di indeterminazione di questa mappa è il luogo delle rette secanti.

Cette thèse se situe à l'interface entre la géométrie algébrique et les systèmes dynamiques. Le but est d'analyser la dynamique des automorphismes (ou, plus généralement, des transformations birationnelles) de variété compactes kaehleriennes avec première classe de Chern nulle, notamment des variétés hyperkaehleriennes. J'étudie l'existence de structures géométriques invariantes par la dynamique, en particulier fibrations et feuilletages, sous des hypothèses sur l'action en cohomologie de la transformation considérée / This thesis lies at the interface between algebraic geometry and dynamical systems. The goal is to analyse the dynamical behaviour of automorphisms (or, more generally, of birational transformations) of compact Kaehler manifolds having trivial first Chern class, in particular of hyperkaehler manifolds. I study the existence of geometric structures which are preserved by the dynamics, in particular fibrations and foliations, under some assumptions about the cohomological action of the transformation

This thesis concerns the hyperkähler eightfold constructed by Lehn, Lehn, Sorgen, and van Straten, built from twisted cubics on a cubic fourfold. We study its period, its birational properties and we describe some geometric features.

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Non-linear sigma models with extended supersymmetry have constrained target space geometries, and can serve as effective tools for investigating and constructing new geometries. Analyzing the geometrical and topological properties of sigma models is necessary to understand the underlying structures of string theory. The most general two-dimensional sigma model with manifest N=(2,2) supersymmetry can be parametrized by chiral, twisted chiral and semichiral superfields. In the research presented in this thesis, N=(4,4) (twisted) supersymmetry is constructed for a semichiral sigma model. It is found that the model can only have additional supersymmetry off-shell if the target space has a dimension larger than four. For four-dimensional target manifolds, supersymmetry can be introduced on-shell, leading to a hyperkähler manifold, or pseudo-supersymmetry can be imposed off-shell, implying a target space which is neutral hyperkähler. Different sigma models and corresponding geometries can be related to each other by T-duality, obtained by gauging isometries of the Lagrangian. The semichiral vector multiplet and the large vector multiplet are needed for gauging isometries mixing semichiral superfields, and chiral and twisted chiral superfields, respectively. We find transformations that close off-shell to a N=(4,4) supersymmetry on the field strengths and gauge potentials of the semichiral vector multiplet, and show that this is not possible for the large vector multiplet. A sigma model parametrized by chiral and twisted chiral superfields can be related to a semichiral sigma model by T-duality. The N=(4,4) supersymmetry transformations of the former model are linear and close off-shell, whereas those of the latter are non-linear and close only on-shell. We show that this discrepancy can be understood from T-duality, and find the origin of the non-linear terms in the transformations.

L'objet de cette thèse est la construction d'objets géométriques sur une variété C paramétrant des courbes rationnelles dans l'espace des twisteurs d'une variété hyperkählérienne. On établira une correspondance entre la géométrie complexe de l'espace des twisteurs et des propriétés différentielles sur C (opérateurs différentiels et courbure de la structure riemanienne complexe héritée de la variété hyperkählérienne). Les premiers chapitres précisent le cadre et les résultats connus. Dans les chapitres 4, 5 et 6 on établit une équivalence de catégories entre fibrés triviaux en restriction à chaque droite de l'espace des twisteurs et les fibrés à connexion sur C satisfaisant une condition de courbure. Le chapitre 7 prolonge cette correspondance sur le plan cohomologique tandis que le chapitre 8 en fait l'étude infinitésimale en reliant la courbure de la connexion avec les épaississements infinitésimaux des fibrés le long des droites. / The purpose of this thesis is to construct geometric objects on a manifold C parametrizing rational curves in the twistor space of a hyperkähler manifold. We shall establish a correspondence between the complex geometry of the twistor space and some differential properties of C (differential operators and curvature of a complex riemannian structure inherited from the base hyperkähler manifold). The first chapters gather some classical results of the theory of hyperkähler manifolds and their twistor spaces. In the chapters 4, 5 and 6, we construct an equivalence of categories between bundles on the twistor space which are trivial on each line and bundles with a connexion of C satisfying certain curvature conditions. The chapter 7 extends this correspondence on the cohomological level whereas the chapter 8 explores its infinitesimal version ; it links curvature of the connexion with thickening (in the sense of LeBrun) of the bundle along the lines.

The thesis comprises two parts. In the first part, we investigate various cohomological aspects of hypercomplex manifolds and analyse the existence of special metrics. In the second part, we define Seiberg-Witten equations on the leaf space of manifolds which admit a Riemannian foliation of codimension four. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Dans cette thèse on s’intéresse à deux types de structures conformes non-dégénérées sur une variété complexe compacte donnée. La première c’est une forme holomorphe symplectique twistée (THS), i.e. une deux-forme holomorphe non-dégénérée à valeurs dans un fibré en droites. Dans le deuxième contexte, il s’agit des métriques localement conformément kähleriennes (LCK). Dans la première partie, on se place sur un variété de type Kähler. Les formes THS généralisent les formes holomorphes symplectiques, dont l’existence équivaut à ce que la variété admet une structure hyperkählerienne, par un théorème de Beauville. On montre un résultat similaire dans le cas twisté, plus précisément: une variété compacte de type kählerien qui admet une structure THS est un quotient fini cyclique d’une variété hyperkählerienne. De plus, on étudie sous quelles conditions une variété localement hyperkählerienne admet une structure THS. Dans la deuxième partie, les variétés sont supposées de type non-kählerien. Nous présentons quelques critères pour l’existence ou non-existence de métriques LCK spéciales, en terme du groupe de biholomorphismes de la variété. En outre, on étudie le problème d’irréductibilité analytique des variétés LCK, ainsi que l’irréductibilité de la connexion de Weyl associée. Dans un troisième temps, nous étudions les variétés LCK toriques, qui peuvent être définies en analogie avec les variétés de Kähler toriques. Nous montrons qu’une variété LCK torique compacte admet une métrique de Vaisman torique, ce qui mène à une classification de ces variétés par le travail de Lerman. Dans la dernière partie, on s’intéresse aux propriétés cohomologiques des variétés d’Oeljeklaus-Toma (OT). Plus précisément, nous calculons leur cohomologie de de Rham et celle twistée. De plus, on démontre qu’il existe au plus une classe de de Rham qui représente la forme de Lee d’une métrique LCK sur un variété OT. Finalement, on détermine toutes les classes de cohomologie twistée des métriques LCK sur ces variétés. / In this thesis, we are concerned with two types of non-degenerate conformal structures on a given compact complex manifold. The first structure we are interested in is a twisted holomorphic symplectic (THS) form, i.e. a holomorphic non-degenerate two-form valued in a line bundle. In the second context, we study locally conformally Kähler (LCK) metrics. In the first part, we deal with manifolds of Kähler type. THS forms generalise the well-known holomorphic symplectic forms, the existence of which is equivalent to the manifold admitting a hyperkähler structure, by a theorem of Beauville. We show a similar result in the twisted case, namely: a compact manifold of Kähler type admitting a THS structure is a finite cyclic quotient of a hyperkähler manifold. Moreover, we study under which conditions a locally hyperkähler manifold admits a THS structure. In the second part, manifolds are supposed to be of non-Kähler type. We present a few criteria for the existence or non-existence for special LCK metrics, in terms of the group of biholomorphisms of the manifold. Moreover, we investigate the analytic irreducibility issue for LCK manifolds, as well as the irreducibility of the associated Weyl connection. Thirdly, we study toric LCK manifolds, which can be defined in analogy with toric Kähler manifolds. We show that a compact toric LCK manifold always admits a toric Vaisman metric, which leads to a classification of such manifolds by the work of Lerman. In the last part, we study the cohomological properties of Oeljeklaus-Toma (OT) manifolds. Namely, we compute their de Rham and twisted cohomology. Moreover, we prove that there exists at most one de Rham class which represents the Lee form of an LCK metric on an OT manifold. Finally, we determine all the twisted cohomology classes of LCK metrics on these manifolds.

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