University, Diss., 2001--München.

Modem measurement methods ofthe surface turbulent fluxes (STF) of heat, moisture and momentum in the near surface atmospheric layer by the eddy correlation method and their calculation, relay on the validity of the similarity theory of Monin-Obukhov, which requests stationarity and horizontal homogeneity. Experimental data taken at specially selected sites allowed to develop this concept. Recently performed experiments, purposely conducted in non-ideal conditions showed an underestimation ofthe STF values. To systematise this effect it is suggested to parameterize such underestimation as the influence of inhomogeneity and nonstationarity of the landscape and the atmosphere around the point of observation. This scheme might prove to be useful for the design of new validation experiments in non-ideal terrain. / Modeme Meßmethoden zur Erfassung der turbulenten Oberflächenflüsse für fühlbare und latente Wärme sowie Impuls mit Hilfe der Eddy-Korrelations-Methode basieren für die bodennahe Grenzschicht auf der Monin-Obukhov-Turbulenztheorie, die stationäre und horizontal homogene Verhältnisse voraussetzt. Über speziell ausgewählten Oberflächen wurde dieses Konzept häufig mit Erfolg überprüft. Experimente jedoch, die gezielt unter inhomogenen Verhältnissen durchgeführt werden, zeigen oft eine Unterschätzung der turbulenten Oberflächenflüsse. Es wird vorgeschlagen, diese Unterschätzungen als einen Einfluß inhomogener Umbegungsbedingungen und instationärer atmosphärischer Prozesse zu interpretieren und zu systematisieren. Dieses Schema kann dazu beitragen, eine neue Art von Validierungsexperimenten unter natürlichen Verhältnissen einer inhomogenen Umgebung zu entwerfen.

Modem measurement methods ofthe surface turbulent fluxes (STF) of heat, moisture and momentum in the near surface atmospheric layer by the eddy correlation method and their calculation, relay on the validity of the similarity theory of Monin-Obukhov, which requests stationarity and horizontal homogeneity. Experimental data taken at specially selected sites allowed to develop this concept. Recently performed experiments, purposely conducted in non-ideal conditions showed an underestimation ofthe STF values. To systematise this effect it is suggested to parameterize such underestimation as the influence of inhomogeneity and nonstationarity of the landscape and the atmosphere around the point of observation. This scheme might prove to be useful for the design of new validation experiments in non-ideal terrain. / Modeme Meßmethoden zur Erfassung der turbulenten Oberflächenflüsse für fühlbare und latente Wärme sowie Impuls mit Hilfe der Eddy-Korrelations-Methode basieren für die bodennahe Grenzschicht auf der Monin-Obukhov-Turbulenztheorie, die stationäre und horizontal homogene Verhältnisse voraussetzt. Über speziell ausgewählten Oberflächen wurde dieses Konzept häufig mit Erfolg überprüft. Experimente jedoch, die gezielt unter inhomogenen Verhältnissen durchgeführt werden, zeigen oft eine Unterschätzung der turbulenten Oberflächenflüsse. Es wird vorgeschlagen, diese Unterschätzungen als einen Einfluß inhomogener Umbegungsbedingungen und instationärer atmosphärischer Prozesse zu interpretieren und zu systematisieren. Dieses Schema kann dazu beitragen, eine neue Art von Validierungsexperimenten unter natürlichen Verhältnissen einer inhomogenen Umgebung zu entwerfen.

For a bounded Lipschitz domain with Lipschitz interface we show the following compactness theorem: Any L2-bounded sequence of vector fields with L2-bounded rotations and L2-bounded divergences as well as L2-bounded tangential traces on one part of the boundary and L2-bounded normal traces on the other part of the boundary, contains a strongly L2-convergent subsequence. This generalises recent results for homogeneous mixed boundary conditions in Bauer et al. (SIAM J Math Anal 48(4):2912-2943, 2016) Bauer et al. (in: Maxwell’s Equations: Analysis and Numerics (Radon Series on Computational and Applied Mathematics 24), De Gruyter, pp. 77-104, 2019). As applications we present a related Friedrichs/Poincaré type estimate, a div-curl lemma, and show that the Maxwell operator with mixed tangential and impedance boundary conditions (Robin type boundary conditions) has compact resolvents.

In dieser Arbeit untersuchen wir das Problem der Maximierung bestimmter konkaver Funktionale auf dem Raum der optionalen, zufälligen Maße. Deartige Funktionale treten in der mikroökonomischen Literatur auf, wo ihre Maximierung auf die Bestimmung des optimalen Konsumplans eines ökomischen Agenten hinausläuft. Als Alternative zu den wohlbekannten Methoden der dynamischen Programmierung wird ein neuer Zugang vorgestellt, der es erlaubt, die Struktur der maximierenden Maße in einem über den üblicherweise angenommenen Markovschen Rahmen hinausgehenden, allgemeinen Semimartingalrahmen zu klären. Unser Zugang basiert auf einer unendlichdimensionalen Version des Kuhn-Tucker-Theorems. Die implizierten Bedingungen erster Ordnung erlauben es uns, das Maximierungsproblem auf ein neuartiges Darstellungsproblem für optionale Prozesse zu reduzieren, das damit als ein nicht-Markovsches Substitut für die Hamilton-Jacobi-Bellman Gleichung der dynamischen Programmierung dient. Um dieses Darstellungsproblem im deterministischen Fall zu lösen, führen wir eine zeitinhomogene Verallgemeinerung des Konvexitätsbegriffs ein. Die Lösung im allgemeinen stochastischen Fall ergibt sich über eine enge Beziehung zur Theorie des Gittins-Index der optimalen dynamischen Planung. Unter geeigneten Annahmen gelingt ihre Darstellung in geschlossener Form. Es zeigt sich dabei, daß die maximierenden Maße absolutstetig, diskret und auch singulär sein können, je nach Struktur der dem Problem zugrundeliegenden Stochastik. Im mikroökonomischen Kontext ist es natürlich, daß Problem in einen Gleichgewichtsrahmen einzubetten. Der letzte Teil der Arbeit liefert hierzu ein allgemeines Existenzresultat für ein solches Gleichgewicht. / In this thesis, we study the problem of maximizing certain concave functionals on the space of optional random measures. Such functionals arise in microeconomic theory where their maximization corresponds to finding the optimal consumption plan of some economic agent. As an alternative to the well-known methods of Dynamic Programming, we develop a new approach which allows us to clarify the structure of maximizing measures in a general stochastic setting extending beyond the usually required Markovian framework. Our approach is based on an infinite-dimensional version of the Kuhn-Tucker Theorem. The implied first-order conditions allow us to reduce the maximization problem to a new type of representation problem for optional processes which serves as a non-Markovian substitute for the Hamilton-Jacobi-Bellman equation of Dynamic Programming. In order to solve this representation problem in the deterministic case, we introduce a time-inhomogeneous generalization of convexity. The stochastic case is solved by using an intimate relation to the theory of Gittins-indices in optimal dynamic scheduling. Closed-form solutions are derived under appropriate conditions. Depending on the underlying stochastics, maximizing random measures can be absolutely continuous, discrete, and also singular. In the microeconomic context, it is natural to embed the above maximization problem in an equilibrium framework. In the last part of this thesis, we give a general existence result for such an equilibrium.

Die Least-Squares Finite-Elemente-Methoden (LSFEMn) basieren auf der Minimierung des Least-Squares-Funktionals, das aus quadrierten Normen der Residuen eines Systems von partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung besteht. Dieses Funktional liefert einen a posteriori Fehlerschätzer und ermöglicht die adaptive Verfeinerung des zugrundeliegenden Netzes. Aus zwei Gründen versagen die gängigen Methoden zum Beweis optimaler Konvergenzraten, wie sie in Carstensen, Feischl, Page und Praetorius (Comp. Math. Appl., 67(6), 2014) zusammengefasst werden. Erstens scheinen fehlende Vorfaktoren proportional zur Netzweite den Beweis einer schrittweisen Reduktion der Least-Squares-Schätzerterme zu verhindern. Zweitens kontrolliert das Least-Squares-Funktional den Fehler der Fluss- beziehungsweise Spannungsvariablen in der H(div)-Norm, wodurch ein Datenapproximationsfehler der rechten Seite f auftritt. Diese Schwierigkeiten führten zu einem zweifachen Paradigmenwechsel in der Konvergenzanalyse adaptiver LSFEMn in Carstensen und Park (SIAM J. Numer. Anal., 53(1), 2015) für das 2D-Poisson-Modellproblem mit Diskretisierung niedrigster Ordnung und homogenen Dirichlet-Randdaten. Ein neuartiger expliziter residuenbasierter Fehlerschätzer ermöglicht den Beweis der Reduktionseigenschaft. Durch separiertes Markieren im adaptiven Algorithmus wird zudem der Datenapproximationsfehler reduziert. Die vorliegende Arbeit verallgemeinert diese Techniken auf die drei linearen Modellprobleme das Poisson-Problem, die Stokes-Gleichungen und das lineare Elastizitätsproblem. Die Axiome der Adaptivität mit separiertem Markieren nach Carstensen und Rabus (SIAM J. Numer. Anal., 55(6), 2017) werden in drei Raumdimensionen nachgewiesen. Die Analysis umfasst Diskretisierungen mit beliebigem Polynomgrad sowie inhomogene Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen. Abschließend bestätigen numerische Experimente mit dem h-adaptiven Algorithmus die theoretisch bewiesenen optimalen Konvergenzraten. / The least-squares finite element methods (LSFEMs) base on the minimisation of the least-squares functional consisting of the squared norms of the residuals of first-order systems of partial differential equations. This functional provides a reliable and efficient built-in a posteriori error estimator and allows for adaptive mesh-refinement. The established convergence analysis with rates for adaptive algorithms, as summarised in the axiomatic framework by Carstensen, Feischl, Page, and Praetorius (Comp. Math. Appl., 67(6), 2014), fails for two reasons. First, the least-squares estimator lacks prefactors in terms of the mesh-size, what seemingly prevents a reduction under mesh-refinement. Second, the first-order divergence LSFEMs measure the flux or stress errors in the H(div) norm and, thus, involve a data resolution error of the right-hand side f. These difficulties led to a twofold paradigm shift in the convergence analysis with rates for adaptive LSFEMs in Carstensen and Park (SIAM J. Numer. Anal., 53(1), 2015) for the lowest-order discretisation of the 2D Poisson model problem with homogeneous Dirichlet boundary conditions. Accordingly, some novel explicit residual-based a posteriori error estimator accomplishes the reduction property. Furthermore, a separate marking strategy in the adaptive algorithm ensures the sufficient data resolution. This thesis presents the generalisation of these techniques to three linear model problems, namely, the Poisson problem, the Stokes equations, and the linear elasticity problem. It verifies the axioms of adaptivity with separate marking by Carstensen and Rabus (SIAM J. Numer. Anal., 55(6), 2017) in three spatial dimensions. The analysis covers discretisations with arbitrary polynomial degree and inhomogeneous Dirichlet and Neumann boundary conditions. Numerical experiments confirm the theoretically proven optimal convergence rates of the h-adaptive algorithm.