Cette thèse est consacrée à l'étude des matrices aléatoires et à quelques unes de leurs applications en physique, en particulier en physique statistique et en physique quantique.C'est un travail essentiellement analytique complété par quelques simulations numériques Monte Carlo. Dans un premier temps j'introduis la théorie des matrices aléatoires de façon assez générale : je définis les principaux ensembles de matrices aléatoires (en particulier gaussiens) et décris leurs propriétés fondamentales (distribution des valeurs propres, densité, etc). Dans un second temps je m'intéresse à des systèmes physiques d'interfaces à l'équilibre qui peuvent être modélisés par des marcheurs ''vicieux'', c'est-à-dire des marcheurs aléatoires conditionnés à ne pas se croiser. On peut montrer que la distribution des positions des marcheurs à un temps donné est exactement celle des valeurs propres d'une matrice aléatoire. J'étudie ensuite un problème physique qui relève d'un domaine très différent, celui de l'information quantique, mais qui est également étroitement relié aux matrices aléatoires: celui de l'intrication pour des états aléatoires dans un système quantique bipartite (fait de deux sous-parties) de grande taille. Enfin je m'intéresse à certaines propriétés des matrices aléatoires comme la distribution du nombre de valeurs propres positives ou encore la distribution de la valeur propre maximale (loi de Tracy-Widom près de la moyenne et grandes déviations loin de la moyenne).

Les pères fondateurs de la mécanique quantique exploraient les implications de leur théorie avec des "expériences de pensée". Les améliorations continuelles en matière de manipulation de systèmes quantiques individuels ont ouvert la voie à des recherches théoriques et expérimentales. C'est la base de l'information quantique: quand un contenu informationnel est associé à des transformations et mesures sur des systèmes quantiques, cela offre un nouveau paradigme à la théorie de l'information. Une des promesses de l'information quantique est la réalisation d'un internet quantique: des liaisons quantiques permettraient de partager des états quantiques entre les noeuds du réseau. Le contexte de notre travail est l'optique quantique expérimentale dans des fibres optiques aux longueurs d'onde des télécommunications, avec comme perspective des applications en communication quantique. Nous démontrons une nouvelle méthode pour manipuler des photons intriqués en énergie-temps, en utilisant des composants fibrés et optoélectroniques standard. Les photons produits par paires par une source de conversion paramétrique sont envoyés dans des modulateurs de phase électro-optiques indépendants, qui agissent comme des diviseurs de faisceau en fréquence. Nous utilisons ensuite des filtres fréquentiels et des détecteurs de photons uniques pour discriminer les fréquences des photons. Nos résultats expérimentaux incluent l'obtention d'interférences à deux photons robustes, à haute visibilité et à haute dimension, qui permettent la violation d'inégalités de Bell. Cela montre qu'une telle "intrication en bins fréquentiels" est une plate-forme intéressante pour la communication Quantique. / The founding fathers of quantum mechanics explored the implications of their theory with "gedanken experiments". Continuous improvement of the experimental manipulation of individual quantum systems has opened the way to exciting research, both on blackboards and in laboratories. lt is the basis for quantum information processing : when an information content is associated with transformations and measurements of quantum systems, it offers a new paradigm, full of potentialities, to information theory. One of the promises of quantum information is the realization of a quantum internet: quantum communication links would allow to share quantum states between the nodes of the network.Our work lies in the context of experimental quantum optics in optical fibers at telecommunication wavelengths, in view of quantum communication applications. We demonstrate a new method for manipulating photons entangled in their energy-time degree of freedom, by using standard fiber-optic and optoelectronic components. The photon pairs produced by a parametric down-conversion source are sent through independent electro­optic phase modulators, which act as high-dimensional frequency beam splitters. We then use frequency filters and single-photon detectors to discriminate the frequencies of the photons. Our experimental results include robust, high-visibility and high-dimensional two­photon interference patterns allowing Bell inequality violations. This shows that such a "frequency -bin entanglement" provides an interesting platform for quantum communication.

Le thème central de cette thèse cumulative est l’étude de l’intrication multi-partite quantique pour des systèmes de dimension finie. Nous avons developpé un algorithme numérique basé sur un problème d’optimisation semi-définie, qui permet de décider si un état est intriqué ou pas en un nombre fini d’itérations. Cet algorithme est une extension d’algorithmes déjà connus qui ne permettent pas de conclure lorsque l’état en question est séparable. Dans notre cas, si l’état est séparable, l’algorithme permet d’obtenir une décomposition de l’état en une mixture d’états séparables. Ces résultats ont été obtenus en exploitant la correspondance entre le problème de l’intrication et le problème des moments tronqués (truncated moment problem). Nous avons aussi développé une nouvelle manière d’exprimer l’état partiellement transposé d’un état symétrique de plusieurs qubits, simplifiant par la-même nombre de résultats bien connus en théorie de l’intrication.Cette nouvelle manière d’écrire le critère de transposée partielle unifie différentes interprétations et formulations alternatives dudit critère, et fait partie intégrante de notre algorithme d’optimisation semi-définie.Nous avons aussi étudié en détails les propriétés géométriques des états intriqués de deux qubits : nous avons pu répondre à la question de savoir à quelle distance un état pur est de l’enveloppe convexe des états symétriques et séparables, en donnant une formule explicite de l’état symétrique et séparable le plus proche — la distance étant celle de Hilbert-Schmidt. Pour les états mixtes nous avons pu obtenir et une borne supérieure numérique et une borne inférieure analytique pour cette distance. Pour un plus grand6nombre de qubits, nous nous sommes intéressés à la boule des états absolument classique,c’est à dire des états symétriques de plusieurs qubits qui restent séparables sous n’importe quelle transformation unitaire. Nous avons trouvé une borne inférieure analytique pour le rayon de cette boule autour de l’état maximallement mixte ainsi qu’une borne supérieure numérique, cette dernière ayant été obtenue en cherchant un état intriqué aussi proche que possible de l’état maximallement mixte.La représentation tensorielle d’un état symétrique de plusieurs qubits, autrement dit de l’état d’un spin j, nous a permis d’étudier des propriétés de l’intrication en nous basant sur le spectre du tenseur (valeurs propres du tenseur). Le caractère défini du tenseur est relié à l’intrication de l’état qu’il représente, donnant la possibilité de détecter la présence d’intrication à l’aide de la valeur propre minimale du tenseur. Toutefois, les valeurs propres du tenseur sont autrement plus compliquée à calculer que les valeurs propres matricielle, rendant l’analyse numérique plus délicate. La relation entre la valeur propre minimale du tenseur et la quantité d’intrication présente dans l’état a aussi été étudiée.Il en ressort que les deux quantités sont étroitement corrélées pour des systèmes de petite taille, c’est à dire jusqu’à six qubits. L’étude de ces corrélations a nécessité une méthode indépendante pour jauger de la quantité d’intrication présente dans un état. Pour cela nous avons amélioré des méthodes numériques pour déterminer la distance entre un état et l’ensemble composé des états symétriques et séparables, en utilisant une combinaison d’algorithmes d’optimisation quadratique et d’optimisation linéaire. La représentation tensorielle des états symétriques de plusieurs qubits a aussi été utilisée pour définir formellement une nouvelle classe de tenseurs, appellés "regularly decomposable tensors",qui correspond à l’ensemble des états symétriques et séparables de plusieurs qubits. / The main topic of this compilation thesis is the investigation of multipartite entanglement of finite dimensional systems. We developed a numerical algorithm that detects if a multipartite state is entangled or separable in a finite number of steps of a semi-definite optimization task. This method is an extension of previously known semi-definite methods, which are inconclusive when the state is separable. In our case, if the state is separable, an explicit decomposition into a mixture of separable states can be extracted. This was achieved by mapping the entanglement problem onto the mathematically well studied truncated moment problem.Additionally, a new way of writing the partially transposed state for symmetric multi-qubit states was developed which simplifies many results previously known in entanglement theory. This new way of writing the partial transpose criterion unifies different interpretations and alternative formulations of the partial transpose criterion and it is also a part in the aforementioned semi-definite algorithm.The geometric properties of entangled symmetric states of two qubits were studied in detail: We could answer the question of how far a given pure state is from the convex hull of symmetric separable states, as measured by the Hilbert-Schmidt distance, by giving an explicit formula for the closest separable symmetric state. For mixed states we could provide a numerical upper and analytical lower bound for this distance.For a larger number of qubits we investigated the ball of absolutely classical states, i.e.~symmetric multi-qubit states that stay separable under any unitary transformation. We found an analytical lower bound for the radius of this ball around the maximally mixed symmetric state and gave a numerical upper bound on this radius, by searching for an entangled state as close as possible to the maximally mixed symmetric state.The tensor representation of a symmetric multi-qubit state, or spin-$j$ state, allowed us to study entanglement properties based on the spectrum of the tensor via tensor eigenvalues. The definiteness of this tensor relates to the entanglement of the state it represents and, hence, the smallest tensor eigenvalue can be used to detect entanglement. However, the tensor eigenvalues are more difficult to determine than the familiar matrix eigenvalues which made the investigation computationally more challenging.The relationship between the value of the smallest tensor eigenvalue and the amount of entanglement in the state was also investigated. It turned out that they are strongly correlated for small system sizes, i.e.~for up to six qubits. However, to investigate this correlation we needed an independent way to gauge the amount of entanglement of a state and in order to do so we improved existing numerical methods to determine the distance of a state to the set of separable symmetric states, using a combination of linear and quadratic programming.The tensor representation of symmetric multi-qubit states was also used to formally define a new tensor class of regularly decomposable tensors that corresponds to the set of separable symmetric multi-qubit states.

Nous avons étudié la dynamique quantique d'un circuit supraconducteur constitué d'un SQUID dc couplé à un transistor à paires de Cooper fortement asymétrique (ACPT). Le SQUID dc est un qubit de phase contrôlé par un courant de polarisation et un champ magnétique. L'ACPT est un qubit de charge contrôlé par un courant de polarisation, un champ magnétique et une tension de la grille.<br /><br />Nous avons mesuré par spectroscopie micro-onde les premiers niveaux d'énergie du circuit couplé en fonction des paramètres de contrôle. Les mesures des états quantiques des qubits de charge et de phase sont réalisées par une mesure d'échappement du SQUID dc avec une impulsion de flux nanoseconde appliquée dans celui-ci. La mesure de l'ACPT utilise un nouveau processus quantique : l'état excité de l'ACPT est transféré adiabatiquement vers l'état excité du SQUID durant l'impulsion de flux.<br /><br />Notre circuit permet de manipuler indépendamment chaque qubit tout comme il permet d'intriquer les états quantiques des deux circuits. Nous avons observé des anti-croisements des niveaux d'énergie des deux qubits lorsqu'ils sont mis en résonance. Le couplage a été mesuré sur une large gamme de fréquence, pouvant varier de 60 MHz à 1.1 GHz. Nous avons réussi à obtenir un couplage variable entre le qubit de charge et le qubit de phase. Nous avons analysé théoriquement la dynamique quantique de notre circuit. Cette analyse a permis de bien expliquer le couplage variable mesuré par une combinaison entre un couplage Josephson et un couplage capacitif entre les deux qubits.

Ce mémoire couvre l'ensemble de mes activités de recherche au laboratoire Charles Fabry, dans le groupe d'optique quantique dirigé par Philippe Grangier. Ces activités entrent dans le cadre de l'information quantique, discipline au carrefour de la théorie de l'information et de la mécanique quantique. Nous nous sommes ainsi attachés à synthétiser et à étudier différents états quantiques de la lumière, avec pour objectif la mise au point de protocoles de cryptographie quantique.

L'objectif de cette thèse concerne la manipulation à l'échelle quantique du champ électromagnétique dans le cadre de l'information quantique à variables continues. Pour ce faire nous mélangeons les outils de l'optique quantique à variables discrètes, où la lumière est décrite en termes de photons, avec l'approche continue, traitant des quadratures du champ. Cette technique permet de produire des états non-classiques décrits par des fonctions de Wigner prenant des valeurs négatives. Nous avons pu générer des états intriqués à partir d'impulsions lumineuses initialement indépendantes et pouvant être séparées par une longue distance, l'intrication s'effectuant au travers d'un canal acceptant de fortes pertes. Nous avons ensuite démontré et caractérisé expérimentalement un protocole non-déterministe permettant d'amplifier de faibles signaux sans en amplifier le bruit quantique, augmentant ainsi le rapport signal sur bruit. Puis nous avons mis en œuvre et comparé expérimentalement différentes mesures de non-gaussianité d'un état quantique : ce caractère propre à une description continue de la lumière est d'un intérêt capital pour l'information quantique. Enfin nous avons développé et testé deux améliorations pour notre dispositif. La première est un amplificateur femtoseconde pour notre laser impulsionnel, qui permettra d'obtenir de meilleurs états de départ pour nos expériences. La deuxième est un appareil capable de discriminer le nombre de photon, donnant ainsi des résultats plus précis que ceux des détecteurs dont nous disposons actuellement qui sont uniquement capable de détecter la présence de photons.

In the twentieth century, the founding fathers of quantum mechanics explored the implications of their theory by designing gedanken experiments. In recent years, continuous improvement of the experimental manipulation of individual quantum systems has opened the way to exciting research, both on blackboards and in laboratories, and even towards field experiments. The manipulation of individual quantum systems is the basis for quantum information processing: when an information content is associated with transformations and measurements of quantum systems, it offers a new paradigm, full of potentialities, to information theory. This leads to quantum random number generation, quantum computing, quantum communication, including quantum teleportation and quantum cryptography, etc. One of the promises of quantum information is the realization of a quantum internet: quantum communication links would allow to share quantum states between the nodes (quantum computers) of the network.<p><p>Our work lies in the context of experimental quantum optics in optical fibers at telecommunication wavelengths, in view of quantum communication applications. More particularly, we study photon pairs entangled in their energy-time degree of freedom. The traditional approach to manipulate energy-time entangled photons is based on the notion of time bin: quantum information is encoded in the relative phase between distinct spatio-temporal paths, which interfere via Mach-Zehnder interferometers. The aim of our work is to demonstrate an alternative approach to manipulate energy-time entangled photons in optical fibers at telecommunication wavelengths. We investigate and implement an original method for their manipulation by building on proven techniques for their production, transmission and detection (namely nonlinear waveguides, optical fibers and single-photon detectors, respectively). The photon pairs produced by a parametric down-conversion source are sent through independent electro-optic phase modulators, which act as high-dimensional frequency beam splitters, transforming the photonic states in the frequency domain. We then use frequency filters to discriminate the photons' frequencies. Such experimental methods, whose classical origin can be traced back to coherent communication, have been previously used with attenuated coherent states as approximations of single photons.<p><p>In the present work, we aim to show that frequency-bin entanglement provides an interesting alternative platform for quantum communication. Our main experimental results towards this goal are the obtaining of high-visibility two-photon interference patterns allowing Bell inequality violations. Our method provides decisive advantages: high dimensionality, use of standard optical and optoelectronic components, inherent stability and robustness, no need for active stabilization in laboratory conditions, visibilities comparable to the highest obtained using other degrees of freedom, etc. It has however a few drawbacks, mainly high losses and the somewhat complexity of the radio-frequency system which is not standard in quantum optics. Exploiting the high dimensionality is also challenging. Overall, our method allows the implementation of traditional and original quantum optics experiments with interesting perspectives for quantum information and communication. / Doctorat en Sciences de l'ingénieur / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Dans cette thèse, nous démontrons la création et la caractérisation d'états intriqués dans un ensemble atomique à l'aide d'un résonateur optique de haute finesse. Notre dis- positif expérimental consiste en une cavité fibrée placée en dessous d'une puce à atomes. Les atomes sont tous piégés dans un seul ventre du piège dipolaire créé dans la cavité. Ainsi, ils sont également couplés au mode lumineux de la cavité. Nous présentons une méthode basée sur une mesure collective et non-destructive et une évolution conditionnelle qui sert à créer des états intriqués et symétriques puis à les analyser, avec la résolution d'une particule unique, en mesurant d'une manière directe leur fonction Husimi Q. En utilisant cette méthode, nous créons et caractérisons des états W contenant jusqu'à 41 atomes. Nous reconstituons la partie symétrique de la matrice densité à partir des données expérimentales de la fonction Husimi Q en utilisant différentes méthodes de reconstruction quantique et nous obtenons une fidélité de 0.42. Par ailleurs, nous avons établi un critère d'intrication qui consiste à comparer seulement deux populations de la matrice densité. Nous l'utilisons pour déterminer le degré d'intrication présent dans les états expérimentalement créés et nous trouvons que l'état de fidélité maximale contient au moins 13 particules intriquées. Pour finir, nous présentons des résultats préliminaires concernant des expériences de dénombrement d'atomes dans la cavité en régime de mesures non-destructives ainsi que des expériences de création d'états intriqués en se servant de la dynamique Zénon quantique. / In this thesis, we demonstrate the creation and characterization of multiparticle entangled states of neutral atoms with the help of a high finesse cavity. Our experimental setup consists of a fibre-based high finesse cavity above the surface of an atom chip. It allows us to prepare an ensemble of 87Rb atoms with well-defined atom number. The atoms are trapped in a single antinode of an intracavity standing wave dipole trap and are therefore all equally coupled to the cavity mode. We present a scheme based on a collective, quantum non-destructive (QND) measurement and conditional evolution to create symmetric entangled states and to analyze them at the single-particle level by directly measuring their Husimi Q function. We use this method to create and characterize W states of up to 41 atoms. From the tomography curve of the Q function, we reconstruct the symmetric part of the density matrix via different reconstruction techniques and obtain a fidelity of 0.42. Furthermore, we have devised an entanglement criterion which only relies on comparing two populations of the density matrix. We use it to infer the degree of multiparticle entanglement in our experimentally created states and find that the state with highest fidelity contains at least 13 entangled particles. In addition, we show preliminary results on experiments to count the atom number inside a cavity in the QND regime and to create entangled states via quantum Zeno dynamics.

L’interaction entre la lumière et un nuage atomique désordonné et dilué donne lieu à des effets de cohérence collectifs dus à l’interaction des dipôles induits par le biais du champ lumineux. L'influence de tels effets de cohérence en diffusion multiple suscite beaucoup d’intérêt. Nous présentons deux modèles théoriques qui décrivent ces effets de cohérence dans différents régimes de diffusion. Le traitement du processus à travers un développement en ordres successifs de diffusion nous permet de mettre en évidence la contribution du premier et second ordres ainsi que l'interférence entre les champs diffusés qui en résultent. Dans le régime de diffusion multiple, nous montrons que la force de pression de radiation n'est pas une bonne observable pour sonder les effets coopératifs. Par ailleurs, nous mettons en évidence une surprenante cohérence de phase qui suggère une persistance des effets coopératifs en diffusion multiple. Cela pourrait être le résultat d'une synchronisation entre les dipôles atomiques couplés. Dans une deuxième partie, nous étudions l'effet d'une déformation de l'algèbre de Weyl-Heisenberg sur l'intrication des états cohérents. Une telle approche permet de décrire la décohérence dans des systèmes quantiques intriqués soumis à une perturbation extérieure. Nous construisons des états cohérents déformés intriqués et nous calculons leur concurrence. Nous montrons que la déformation de l'algèbre pourrait avoir un impact non négligeable sur la qualité de l'intrication bipartie des états cohérents, si cette dernière n'est pas maximale. / This work is devoted on the one hand to the investigation of coherence effects in multiple scattering of light by an atomic cloud and on the other hand to the entanglement of a deformed coherent state. The interaction between light and a dilute disordered atomic cloud gives rise to collective coherent effects due to the interaction of the induced dipoles via the external field. The behavior of such coherent effects in multiple scattering regime is an important question for various physical systems. We present two theoretical models describing those coherence effects in different scattering regimes. The scattering order expansion treatment of light scattering allows us to highlight the role of the first and second scattering orders as well as the interference between the resulting scattered fields. In the multiple scattering regime we show that the radiation pressure force is not a good observable to probe cooperative effects. Furthermore, we discover a surprising phase coherence that hints that collective effects may survive in multiple scattering regime. That could be due to a synchronization between the induced atomic dipoles. In a second part, we study the effect of an algebra deformation on entangled coherent states. Such an approach allows to describe decoherence in perturbed entangled quantum systems. We construct a deformed coherent state and calculate their concurrence. We show that algebra deformation could have a non negligible impact on bipartite entangled coherent states if those later are not maximally entangled.

Cette thèse est consacrée à l'étude des matrices aléatoires et à quelques unes de leurs applications en physique, en particulier en physique statistique et en physique quantique.C'est un travail essentiellement analytique complété par quelques simulations numériques Monte Carlo. Dans un premier temps j'introduis la théorie des matrices aléatoires de façon assez générale : je définis les principaux ensembles de matrices aléatoires (en particulier gaussiens) et décris leurs propriétés fondamentales (distribution des valeurs propres, densité, etc). Dans un second temps je m'intéresse à des systèmes physiques d'interfaces à l'équilibre qui peuvent être modélisés par des marcheurs ``vicieux'', c'est-à-dire des marcheurs aléatoires conditionnés à ne pas se croiser. On peut montrer que la distribution des positions des marcheurs à un temps donné est exactement celle des valeurs propres d'une matrice aléatoire. J'étudie ensuite un problème physique qui relève d'un domaine très différent, celui de l'information quantique, mais qui est également étroitement relié aux matrices aléatoires: celui de l'intrication pour des états aléatoires dans un système quantique bipartite (fait de deux sous-parties) de grande taille. Enfin je m'intéresse à certaines propriétés des matrices aléatoires comme la distribution du nombre de valeurs propres positives ou encore la distribution de la valeur propre maximale (loi de Tracy-Widom près de la moyenne et grandes déviations loin de la moyenne). / This thesis presents a study of random matrices and some applications in physics, in particular in statistical physics and quantum physics. This work is mostly analytic, but I also performed some Monte Carlo numerical simulations. First I introduce random matrix theory: I define the main random matrix ensembles (in particular Gaussian ensembles) and describe their fundamental properties (distribution of the eigenvalues, density...). Then I study a physical system of interfaces at equilibrium that can be modeled by ``vicious walkers'', ie random walkers that can not meet each other.One can show that the distribution of the positions of the walkers at a given time is the same as the distribution of the eigenvalues of a random matrix. I also consider a problem coming from a very different field, the field of quantum information theory, but that is also closely related to random matrices: the distribution of entanglement for random states in a large bipartite quatum system (made of two parts). Finally I study some properties of random matrices such as the distribution of the number of positive eigenvalues or the one of the maximal eigenvalue (Tracy-Widom and large deviations).