<p dir="ltr">In this article, we establish results concerning the nilpotent representation theory of groups. In particular, we utilize a theorem of Stallings to provide a general method that constructs pairs of groups that have isomorphic universal nilpotent quotients. We then prove by counterexample that absolute Galois groups of number fields are not determined by their universal nilpotent quotients. We also show that this is the case for residually nilpotent Kleinian groups and in fact, there exist non-isomorphic pairs that have arbitrarily large nilpotent genus. We additionally provide examples of non-isomorphic curves whose geometric fundamental groups have isomorphic universal nilpotent quotients and the isomorphisms are compatible with the outer Galois actions. </p>

Der Laplace-Operator auf kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten besitzt eine natürliche Verallgemeinerung auf kompakte Riemannsche Orbifolds und das Spektrum des so gewonnenen Operators besteht ausschließlich aus Eigenwerten endlicher Vielfachheit. Die Feststellung, dass das Spektrum Informationen über die Geometrie einer Mannigfaltigkeit (oder, allgemeiner, einer Orbifold) enthält, begründete ein ganzes Teilgebiet der Mathematik. Es ist eine offene Frage der sogenannten Spektralgeometrie, ob eine Mannigfaltigkeit und eine singuläre Orbifold isospektral sein (d.h., dasselbe Spektrum mitsamt den Vielfachheiten der Eigenwerte besitzen) können. Angesichts diverser Obstruktionen zur Existenz eines solchen Beispiels für die bekannten Beispiele isospektraler guter Orbifolds, soll diese Arbeit die Spektralgeometrie schlechter Orbifolds erhellen. Zu diesem Zweck geben wir die ersten Beispiele für isospektrale Metriken auf schlechten Orbifolds an. Diese basieren auf bestimmten gewichteten projektiven Räumen, auf denen wir mittels einer Verallgemeinerung von Schüths Version der Torus-Methode nicht-trivial isospektrale Metriken konstruieren. / The Laplace Operator on compact Riemannian manifolds naturally generalizes to compact Riemannian orbifolds and the spectrum of the resulting operator consists only of eigenvalues with finite multiplicities. The observation that the spectrum contains information about the geometry of a manifold (and, more generally, an orbifold) gave rise to a whole field of mathematics. It is an open question of so-called spectral geometry, whether a manifold and a singular orbifold can be isospectral (i.e., have the same spectrum with the same multiplicities of the eigenvalues). Given the various obstructions to the existence of such an example for the known examples of isospectral good orbifolds, this work is an attempt to shed light on the spectral geometry of bad orbifolds by giving the first examples of isospectral Riemannian metrics on bad orbifolds. In our case these are particular fixed weighted projective spaces equipped with non-trivially isospectral metrics obtained by a generalization of Schüth''s version of the torus method.