Der Laplace-Operator auf kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten besitzt eine natürliche Verallgemeinerung auf kompakte Riemannsche Orbifolds und das Spektrum des so gewonnenen Operators besteht ausschließlich aus Eigenwerten endlicher Vielfachheit. Die Feststellung, dass das Spektrum Informationen über die Geometrie einer Mannigfaltigkeit (oder, allgemeiner, einer Orbifold) enthält, begründete ein ganzes Teilgebiet der Mathematik. Es ist eine offene Frage der sogenannten Spektralgeometrie, ob eine Mannigfaltigkeit und eine singuläre Orbifold isospektral sein (d.h., dasselbe Spektrum mitsamt den Vielfachheiten der Eigenwerte besitzen) können. Angesichts diverser Obstruktionen zur Existenz eines solchen Beispiels für die bekannten Beispiele isospektraler guter Orbifolds, soll diese Arbeit die Spektralgeometrie schlechter Orbifolds erhellen. Zu diesem Zweck geben wir die ersten Beispiele für isospektrale Metriken auf schlechten Orbifolds an. Diese basieren auf bestimmten gewichteten projektiven Räumen, auf denen wir mittels einer Verallgemeinerung von Schüths Version der Torus-Methode nicht-trivial isospektrale Metriken konstruieren. / The Laplace Operator on compact Riemannian manifolds naturally generalizes to compact Riemannian orbifolds and the spectrum of the resulting operator consists only of eigenvalues with finite multiplicities. The observation that the spectrum contains information about the geometry of a manifold (and, more generally, an orbifold) gave rise to a whole field of mathematics. It is an open question of so-called spectral geometry, whether a manifold and a singular orbifold can be isospectral (i.e., have the same spectrum with the same multiplicities of the eigenvalues). Given the various obstructions to the existence of such an example for the known examples of isospectral good orbifolds, this work is an attempt to shed light on the spectral geometry of bad orbifolds by giving the first examples of isospectral Riemannian metrics on bad orbifolds. In our case these are particular fixed weighted projective spaces equipped with non-trivially isospectral metrics obtained by a generalization of Schüth''s version of the torus method.

Wir untersuchen und berechnen Welleninvarianten von Schrödinger-Operatoren, die auf Schnitte von Hermiteschen Geradenbündeln über flachen Tori gerader Dimension wirken. Die Schrödinger-Operatoren werden aus einem translationsinvarianten Zusammenhang des Bündels sowie einem Potential, d.h. einer glatten Funktion auf dem Torus, konstruiert. Wir beschränken uns auf Bündel mit nichtentarteter Chern-Klasse und untersuchen, in welchem Umfang das Spektrum eines Schrödinger-Operators mit gegebenem Potential den Zusammenhang bestimmt. Wir berechnen die ersten fünf Welleninvarianten explizit mittels des Computeralgebrasystems Mathematica. Für einfache Potentiale erhalten wir eine vollständige Charakterisierung der Isospektralität der translationsinvarianten Zusammenhänge. Weiterhin werden allgemeine Eigenschaften der Welleninvarianten bewiesen, welche allgemeinere Aussagen über die Existenz nichtisospektraler Zusammenhänge implizieren. Andererseits ergeben sich Erkenntnisse über die Grenzen der spektralen Information, die in endlich vielen Welleninvarianten enthalten ist. Negative spektrale Ergebnisse, d.h. Unterschiede in den Zusammenhängen, die nicht durch das Spektrum bestimmt werden, werden durch die Konstruktion von Transplantationen zwischen den Schrödinger-Operatoren zweier Zusammenhänge bei gleichem Potential bewiesen. / We study and compute wave invariants of Schrödinger operators acting on sections of Hermitian line bundles over even-dimensional flat tori. The Schrödinger operators are constructed from translation-invariant connections on the bundle and a potential, a smooth function on the torus. Restricting to bundles with nondegenerate Chern class we study the extent to which the spectrum of the Schrödinger operator of a given potential determines the connection. The first five wave invariants are computed explicitly using the computer algebra software Mathematica. For simple potentials we find a full characterization of the isospectrality of the translation-invariant connections. We also prove general properties of the wave invariants, which imply a more general existence of nonisospectral connections but which also show limitations of the spectral information contained within finitely many wave invariants. Negative spectral results, i.e. differences in connections not determined by spectra, are obtained by constructing transplantations between the Schrödinger operators of two connections with a fixed potential.

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit Spektralinvarianten von Polygonen und geschlossenen Orbiflächen konstanter Gaußkrümmung. Unsere Methode ist es jeweils den Wärmeleitungskern und die asymptotische Entwicklung der Wärmespur zu untersuchen. Als erstes untersuchen wir hyperbolische Polygone, d.h. relativ kompakte Gebiete in der hyperbolischen Ebene mit stückweise geodätischem Rand. Wir berechnen die asymptotische Entwicklung der Wärmespur bezüglich des Dirichlet-Laplace Operators eines beliebigen hyperbolischen Polygons, und wir erhalten explizite Formeln für alle Wärmeinvarianten. Analoge Resultate für euklidische und sphärische Polygone waren vorher bekannt. Wir vereinheitlichen diese Resultate und leiten die Wärmeinvarianten für beliebige Polygone her, d.h. für relativ kompakte Gebiete mit stückweise geodätischem Rand in einer vollständigen Riemann'schen Mannigfaltigkeit konstanter Gaußkrümmung. Es stellt sich heraus, dass die Wärmeinvarianten viele Informationen über ein Polygon liefern, falls die Krümmung nicht verschwindet. Zum Beispiel sind dann die Multimenge aller echten Winkel (d.h. derjenigen Winkel die ungleich Pi sind) und die Euler-Charakteristik eines Polygons Spektralinvarianten. Außerdem berechnen wir die asymptotische Entwicklung der Wärmespur von geschlossenen Riemann'schen Orbiflächen konstanter Krümmung und erhalten explizite Formeln für alle Wärmeinvarianten. Falls die Krümmung nicht verschwindet, so kann man interessante Informationen aus den Wärmeinvarianten über die Topologie und die singuläre Menge einer Orbifläche ermitteln. / In this thesis we deal with spectral invariants for polygons and closed orbisurfaces of constant Gaussian curvature. In each case our method is to study the heat kernel and the asymptotic expansion of the heat trace. First, we investigate hyperbolic polygons, i.e. relatively compact domains in the hyperbolic plane with piecewise geodesic boundary. We compute the asymptotic expansion of the heat trace associated to the Dirichlet Laplacian of any hyperbolic polygon, and we obtain explicit formulas for all heat invariants. Analogous results for Euclidean and spherical polygons were known before. We unify these results and deduce the heat invariants for arbitrary polygons, i.e. for relatively compact domains with piecewise geodesic boundary contained in a complete Riemannian manifold of constant Gaussian curvature. It turns out that the heat invariants provide much information about a polygon, if the curvature does not vanish. For example, then the multiset of all real angles (i.e. those which are not equal to pi) and the Euler characteristic of a polygon are spectral invariants. Furthermore, we compute the asymptotic expansion of the heat trace for any closed Riemannian orbisurface of constant curvature, and obtain explicit formulas for all heat invariants. If the curvature does not vanish, then it is possible to detect interesting information about the topology and the singular set of an orbisurface from the heat invariants.