The topic of this thesis is the numerical simulation of transversely isotropic 3D structures and laminates by means of the adaptive finite element method. To achieve this goal, the theoretical background of elastic deformation problems, transverse isotropy, plate theory, and the classical laminate theory is recapitulated. The classical laminate theory implies a combination of the membrane problem and the plate problem with additional coupling terms. The focus of this work is the adjustment of two integral parts of the adaptive FE algorithm according to the classical laminate theory. One of these parts is the solution of the FE system; a good preconditioner is needed in order to use the conjugate gradient method efficiently. It is shown via a spectral equivalence bound that the combination of existing preconditioners for the membrane and plate problems poses a capable preconditioner for the combined laminate problem. The other part is the error estimation process; the error estimator determines where the current mesh has to be refined for the next step. Existing results on residual error estimators for the elasticity problem, the biharmonic problem, and the plate problem are combined and extended to obtain a posteriori local residual error indicators for the classical laminate theory problem. The effectiveness of both results is demonstrated by numerical examples.

Les données provenant de l'échantillonnage fin d'un processus continu (champ aléatoire) peuvent être représentées sous forme d'images. Un test statistique permettant de détecter une différence entre deux images peut être vu comme un ensemble de tests où chaque pixel est comparé au pixel correspondant de l'autre image. On utilise alors une méthode de contrôle de l'erreur de type I au niveau de l'ensemble de tests, comme la correction de Bonferroni ou le contrôle du taux de faux-positifs (FDR). Des méthodes d'analyse de données ont été développées en imagerie médicale, principalement par Keith Worsley, utilisant la géométrie des champs aléatoires afin de construire un test statistique global sur une image entière. Il s'agit d'utiliser l'espérance de la caractéristique d'Euler de l'ensemble d'excursion du champ aléatoire sous-jacent à l'échantillon au-delà d'un seuil donné, pour déterminer la probabilité que le champ aléatoire dépasse ce même seuil sous l'hypothèse nulle (inférence topologique). Nous exposons quelques notions portant sur les champs aléatoires, en particulier l'isotropie (la fonction de covariance entre deux points du champ dépend seulement de la distance qui les sépare). Nous discutons de deux méthodes pour l'analyse des champs anisotropes. La première consiste à déformer le champ puis à utiliser les volumes intrinsèques et les compacités de la caractéristique d'Euler. La seconde utilise plutôt les courbures de Lipschitz-Killing. Nous faisons ensuite une étude de niveau et de puissance de l'inférence topologique en comparaison avec la correction de Bonferroni. Finalement, nous utilisons l'inférence topologique pour décrire l'évolution du changement climatique sur le territoire du Québec entre 1991 et 2100, en utilisant des données de température simulées et publiées par l'Équipe Simulations climatiques d'Ouranos selon le modèle régional canadien du climat. / Data coming from a fine sampling of a continuous process (random field) can be represented as images. A statistical test aiming at detecting a difference between two images can be seen as a group of tests in which each pixel is compared to the corresponding pixel in the other image. We then use a method to control the type I error over all the tests, such as the Bonferroni correction or the control of the false discovery rate (FDR). Methods of data analysis have been developped in the field of medical imaging, mainly by Keith Worsley, using the geometry of random fields in order to build a global statistical test over the whole image. The expected Euler characteristic of the excursion set of the random field underlying the sample over a given threshold is used in order to determine the probability that the random field exceeds this same threshold under the null hypothesis (topological inference). We present some notions relevant to random fields, in particular isotropy (the covariance function between two given points of a field depends only on the distance between them). We discuss two methods for the analysis of non\-isotropic random fields. The first one consists in deforming the field and then using the intrinsic volumes and the Euler characteristic densities. The second one uses the Lipschitz-Killing curvatures. We then perform a study of sensitivity and power of the topological inference technique comparing it to the Bonferonni correction. Finally, we use topological inference in order to describe the evolution of climate change over Quebec territory between 1991 and 2100 using temperature data simulated and published by the Climate Simulation Team at Ouranos, with the Canadian Regional Climate Model CRCM4.2.

The topic of this thesis is the numerical simulation of transversely isotropic 3D structures and laminates by means of the adaptive finite element method. To achieve this goal, the theoretical background of elastic deformation problems, transverse isotropy, plate theory, and the classical laminate theory is recapitulated. The classical laminate theory implies a combination of the membrane problem and the plate problem with additional coupling terms. The focus of this work is the adjustment of two integral parts of the adaptive FE algorithm according to the classical laminate theory. One of these parts is the solution of the FE system; a good preconditioner is needed in order to use the conjugate gradient method efficiently. It is shown via a spectral equivalence bound that the combination of existing preconditioners for the membrane and plate problems poses a capable preconditioner for the combined laminate problem. The other part is the error estimation process; the error estimator determines where the current mesh has to be refined for the next step. Existing results on residual error estimators for the elasticity problem, the biharmonic problem, and the plate problem are combined and extended to obtain a posteriori local residual error indicators for the classical laminate theory problem. The effectiveness of both results is demonstrated by numerical examples.:1 Introduction 1.1 Motivation 1.2 Organisation of this work 1.3 Notation and basic definitions 2 Basic theory of 3D simulation 2.1 Differential geometry 2.1.1 Initial and deformed domain 2.1.2 Strain tensor 2.2 Energy functional 2.2.1 Linearly elastic material law 2.2.2 Equilibrium of forces 2.2.3 Large deformations 2.2.4 Small deformations 2.3 Voigt notation and elasticity matrix 3 Transversely isotropic material law 3.1 Elasticity tensor 3.2 Conversion of the material constants 3.3 Elasticity matrix 3.4 Eigenvalues 3.5 State of plane strain 3.6 State of plane stress 4 Plate theory and classical laminate theory 4.1 The Kirchhoff–Love hypothesis 4.2 Constitutive law and bilinear form of the laminated plate 4.3 Definition of resultants 4.4 Boundary conditions 4.5 From the equilibrium conditions to the weak formulation 4.5.1 Membrane equilibrium 4.5.2 Plate equilibrium 4.5.3 Combined weak formulation 4.5.4 The CLT problem in Voigt notation 5 Discretisation 5.1 Short introduction to FEM 5.2 Adaptive FEM 5.3 Finite elements for 3D elasticity problems 5.4 Finite elements for plates 5.4 Finite elements for plates 5.4.1 BFS rectangles 5.4.2 rHCT triangles 5.5 CLT elements 5.5.1 Rectangles 5.5.2 Triangles 6 Solver and preconditioner 6.1 The preconditioned conjugate gradient method 6.2 Hierarchical basis and BPX preconditioners 6.3 Preconditioning of CLT problems 6.3.1 General laminates 6.3.2 Some special cases and examples 7 A posteriori residual error estimation 7.1 Residual error estimator for 3D elements 7.2 Residual error estimator for plate and CLT elements 7.2.1 Auxiliary definitions and assumptions on the mesh 7.2.2 Interpolation operators 7.2.3 Important inequalities 7.2.4 Cut-off functions 7.2.5 Definition of the error 7.2.6 Reliability inequality 7.2.7 Efficiency inequality 8 Some details of the implementation 8.1 The adaptive FE package SPC-PM 8.2 Remarks on some added features 8.2.1 Capability of the current code 8.2.2 Cuntze’s failure mode concept 8.3 Coordinate transformation of higher-order derivatives 8.3.1 Mapping of coordinates 8.3.2 Transformation of derivatives of up to the third-order 8.3.3 Recursive construction of transformation matrices 8.3.4 Simplification for axis-parallel rectangles 9 Numerical examples 9.1 A three-dimensional example from eniPROD 9.2 Example problems for laminates 9.2.1 Rectangular plate under in-plane load 9.2.2 Rectangular plate under vertical load 9.2.3 L-shaped plate with inhomogeneous natural boundary conditions 10 Conclusion and outlook Bibliography Acknowledgements List of main symbols Theses

Dans cette étude, les structures en maçonnerie armée des produits creux ont été étudiées. Les armatures sont noyées dans les joints horizontaux. Une campagne expérimentale est mise au point dans le but d'identifier le comportement des composants de la maçonnerie armée. Un essai original a été effectué sur un ensemble de blocs creux inclinés par rapport à la sollicitation pour déterminer les caractéristiques de cisaillement. Le comportement des joints de mortier est identifié en compression et en cisaillement. Un critère de frottement non linéaire est proposé pour l'interface bloc-joint, qui rend compte correctement des informations expérimentales La troisième partie est consacrée à la modélisation. Nous considérons la maçonnerie armée comme un matériau à deux composants : les joints de mortier (armés ou non armés) d'une part , et les éléments creux considérés comme homogènes d'autre part. Un élément de contact spécifique a été développé, il possède une rigidité élastique dans le plan du joint. Les éléments de maçonnerie ont été modélisés comme un matériau orthotrope équivalent. Des équations mathématiques décrivant le comportement de chaque matériau ont été développées. La non linéarité apparente du comportement des éléments de maçonnerie est traitée dans le cadre du formalisme de l'élastoplasticité. Enfin, une validation du modèle est menée en confrontant les résultats expérimentaux avec ceux du calcul numérique. Les résultats obtenus concordent qualitativement et quantitativement de manière satisfaisante avec l'expérimentation, le modèle peut donc être utilisé comme un outil de prédiction et d'estimation des charges ultimes supportées par les structures.