L'incertitude est une propriété naturelle des systèmes complexes. Les paramètres de certains modèles peuvent être imprécis; la présence de perturbations aléatoires est une source majeure d'incertitude pouvant avoir un impact important sur les performances du système. Dans cette thèse, nous étudierons les problèmes d’optimisation avec contraintes en probabilités dans les cas suivants : Tout d’abord, nous passons en revue les principaux résultats relatifs aux contraintes en probabilités selon trois perspectives: les problèmes liés à la convexité, les reformulations et les approximations de ces contraintes, et le cas de l’optimisation distributionnellement robuste. Pour les problèmes d’optimisation géométriques, nous étudions les programmes avec contraintes en probabilités jointes. A l’aide d’hypothèses d’indépendance des variables aléatoires elliptiquement distribuées, nous déduisons une reformulation des programmes avec contraintes géométriques rectangulaires jointes. Comme la reformulation n’est pas convexe, nous proposons de nouvelles approximations convexes basées sur la transformation des variables ainsi que des méthodes d’approximation linéaire par morceaux. Nos résultats numériques montrent que nos approximations sont asymptotiquement serrées. Lorsque les distributions de probabilité ne sont pas connues à l’avance, le calcul des bornes peut être très utile. Par conséquent, nous développons quatre bornes supérieures pour les contraintes probabilistes individuelles, et jointes dont les vecteur-lignes de la matrice des contraintes sont indépendantes. Sur la base des inégalités de Chebyshev, Chernoff, Bernstein et de Hoeffding, nous proposons des approximations déterministes. Des conditions suffisantes de convexité. Pour réduire la complexité des calculs, nous reformulons les approximations sous forme de problèmes d'optimisation convexes solvables basés sur des approximations linéaires et tangentielles par morceaux. Enfin, des expériences numériques sont menées afin de montrer la qualité des approximations étudiées sur des données aléatoires. Dans certains systèmes complexes, la distribution des paramètres aléatoires n’est que partiellement connue. Pour traiter les incertitudes dans ces cas, nous proposons un ensemble d'incertitude basé sur des données obtenues à partir de distributions mixtes. L'ensemble d'incertitude est construit dans la perspective d'estimer simultanément des moments d'ordre supérieur. Ensuite, nous proposons une reformulation du problème robuste avec contraintes en probabilités en utilisant des données issues d’échantillonnage. Comme la reformulation n’est pas convexe, nous proposons des approximations convexes serrées basées sur la méthode d’approximation linéaire par morceaux sous certaines conditions. Pour le cas général, nous proposons une approximation DC pour dériver une borne supérieure et une approximation convexe relaxée pour dériver une borne inférieure pour la valeur de la solution optimale du problème initial. Enfin, des expériences numériques sont effectuées pour montrer que les approximations proposées sont efficaces. Nous considérons enfin un jeu stochastique à n joueurs non-coopératif. Lorsque l'ensemble de stratégies de chaque joueur contient un ensemble de contraintes linéaires stochastiques, nous modélisons ces contraintes sous la forme de contraintes en probabilité jointes. Pour chaque joueur, nous formulons les contraintes en probabilité dont les variables aléatoires sont soit normalement distribuées, soit elliptiquement distribuées, soit encore définies dans le cadre de l’optimisation distributionnellement robuste. Sous certaines conditions, nous montrons l’existence d’un équilibre de Nash pour ces jeux stochastiques. / Chance constrained optimization is a natural and widely used approaches to provide profitable and reliable decisions under uncertainty. And the topics around the theory and applications of chance constrained problems are interesting and attractive. However, there are still some important issues requiring non-trivial efforts to solve. In view of this, we will systematically investigate chance constrained problems from the following perspectives. As the basis for chance constrained problems, we first review some main research results about chance constraints in three perspectives: convexity of chance constraints, reformulations and approximations for chance constraints and distributionally robust chance constraints. For stochastic geometric programs, we formulate consider a joint rectangular geometric chance constrained program. With elliptically distributed and pairwise independent assumptions for stochastic parameters, we derive a reformulation of the joint rectangular geometric chance constrained programs. As the reformulation is not convex, we propose new convex approximations based on the variable transformation together with piecewise linear approximation methods. Our numerical results show that our approximations are asymptotically tight. When the probability distributions are not known in advance or the reformulation for chance constraints is hard to obtain, bounds on chance constraints can be very useful. Therefore, we develop four upper bounds for individual and joint chance constraints with independent matrix vector rows. Based on the one-side Chebyshev inequality, Chernoff inequality, Bernstein inequality and Hoeffding inequality, we propose deterministic approximations for chance constraints. In addition, various sufficient conditions under which the aforementioned approximations are convex and tractable are derived. To reduce further computational complexity, we reformulate the approximations as tractable convex optimization problems based on piecewise linear and tangent approximations. Finally, based on randomly generated data, numerical experiments are discussed in order to identify the tight deterministic approximations. In some complex systems, the distribution of the random parameters is only known partially. To deal with the complex uncertainties in terms of the distribution and sample data, we propose a data-driven mixture distribution based uncertainty set. The data-driven mixture distribution based uncertainty set is constructed from the perspective of simultaneously estimating higher order moments. Then, with the mixture distribution based uncertainty set, we derive a reformulation of the data-driven robust chance constrained problem. As the reformulation is not a convex program, we propose new and tight convex approximations based on the piecewise linear approximation method under certain conditions. For the general case, we propose a DC approximation to derive an upper bound and a relaxed convex approximation to derive a lower bound for the optimal value of the original problem, respectively. We also establish the theoretical foundation for these approximations. Finally, simulation experiments are carried out to show that the proposed approximations are practical and efficient. We consider a stochastic n-player non-cooperative game. When the strategy set of each player contains a set of stochastic linear constraints, we model the stochastic linear constraints of each player as a joint chance constraint. For each player, we assume that the row vectors of the matrix defining the stochastic constraints are pairwise independent. Then, we formulate the chance constraints with the viewpoints of normal distribution, elliptical distribution and distributionally robustness, respectively. Under certain conditions, we show the existence of a Nash equilibrium for the stochastic game.

Ce manuscrit présente les fondements dynamiques des jeux de population avec un nombre variable de joueurs ainsi que leurs concepts de solutions et de stabilités. Nous introduisons d'abord les dynamiques de jeux avec retard et étudions leurs stabilités. Nous les appliquons aux réseaux filaires et aux réseaux sans fils. Ensuite nous nous intéressons aux aspects de mobilité et aux distributions spatiales des joueurs sur le réseau. Cela nous conduit à une nouvelle classe de dynamique de jeux à stratégies vectorielles avec des contraintes de migrations, appelée dynamique de jeux d'évolution avec migration. Nous dérivons de telles dynamiques pour les réseaux hybrides et appliquons aux problèmes de contrôle de puissance dans les réseaux hétérogènes, choix entre plusieurs technologies et migration entre plusieurs classes d'utilisateurs. Ensuite nous nous focalisons aux jeux stochastiques de population avec plusieurs classes de joueurs dans lesquels chaque joueur possède son propre état et fait face un vecteur qui évolue dans le temps. Des applications à la gestion d'énergie dans les réseaux sont présentées. Finalement, nous étudions une classe de jeux à champ moyen. Lorsque la taille de la population devient très grande, les asymptotiques du système conduisent à des dynamiques appelées dynamiques de jeux à champ moyen. Cette classe de dynamiques contient les dynamiques standard basées sur des révisions de stratégies. Nous utilisons ce modèle pour analyser les problèmes accès aléatoires à des ressources dans un environnement où les utilisateurs et les ressources sont spatialement distribuées. Nous établissons un lien entre les jeux à champ moyen et les jeux différentiels de population dans lesquels chaque joueur a son état individuel et optimise son paiement à long terme pendant son temps de séjour dans le système sous contraintes que le profil de population évolue selon une dynamique de jeux à champ moyen / His manuscript presents dynamic foundations of population games with variable number of players and their solutions and stability concepts. We first introduce delayed evolutionary game dynamics and study their stability. Applications to both wired and wireless networks are presented. We then introduce mobility and spatial aspects of players distribution into the network dynamics. This leads to a new class of game dynamics with multicomponent strategies and migration constraints called evolutionary game dynamics with migration. We derived such dynamics for hybrid systems such as power control in heterogenous networks, switching between technologies and migration between different classes of users. After that we focus on stochastic population games with multiple classes of players in which each player has its own state and facing to an evolving vector which represents the population profile. We use this model to analyze resource and energy constrained interactions in wireless networks. Finally, we present a class of mean field games. When taking the asymptotics of finite systems, we derive a new class of game dynamics called mean field game dynamics. This class contains the standard evolutionary game dynamics based on revision of pure actions. We apply this model to analyze spatial random access game and dynamic resource competition game with individual states. We establish a link betweenmean field games and differential population games inwhich each player optimizes its long-term objective during its sojourn time in the system subject to the constraint that the population profile evolves according to some mean field game dynamics

On considère des jeux stochastiques joués sur un graphe fini. La première partie s’intéresse aux jeux stochastiques à deux joueurs et information parfaite. Dans de tels jeux, les joueurs choisissent des actions dans ensemble fini, tour à tour, pour une durée infinie, produisant une histoire infinie. Le but du jeu est donné par une fonction d’utilité qui associe un réel à chaque histoire, la fonction est bornée et Borel-mesurable. Le premier joueur veut maximiser l’utilité espérée, et le deuxième joueur veut la minimiser. On démontre que si la fonction d’utilité est à la fois shift-invariant et submixing alors le jeu est semi-positionnel. C’est-à-dire le premier joueur a une stratégie optimale qui est déterministe et sans mémoire. Les deux joueurs ont information parfaite: ils choisissent leurs actions en ayant une connaissance parfaite de toute l’histoire. Dans la deuxième partie, on étudie des jeux de durée fini où le joueur protagoniste a zéro information. C’est-à-dire qu’il ne reçoit aucune information sur le déroulement du jeu, par conséquent sa stratégie est un mot fini sur l’ensemble des actions. Un automates probabiliste peut être considéré comme un tel jeu qui a un seul joueur. Tout d’abord, on compare deux classes d’automates probabilistes pour lesquelles le problème de valeur 1 est décidable: les automates leaktight et les automates simples. On prouve que la classe des automates simples est un sous-ensemble strict de la classe des automates leaktight. Puis, on considère des jeux semi-aveugles, qui sont des jeux à deux joueurs où le maximiseur a zéro information, et le minimiseur est parfaitement informé. On définit la classe des jeux semi-aveugles leaktight et on montre que le problème d’accessibilité maxmin est décidable sur cette classe. / We consider stochastic games that are played on finite graphs. The subject of the first part are two-player stochastic games with perfect information. In such games the two players take turns choosing actions from a finite set, for an infinite duration, resulting in an infinite play. The objective of the game is given by a Borel-measurable and bounded payoff function that maps infinite plays to real numbers. The first player wants to maximize the expected payoff, and the second player has the opposite objective, that of minimizing the expected payoff. We prove that if the payoff function is both shift-invariant and submixing then the game is half-positional. This means that the first player has an optimal strategy that is at the same time pure and memoryless. Both players have perfect information, so the actions are chosen based on the whole history. In the second part we study finite-duration games where the protagonist player has zero information. That is, he gets no feedback from the game and consequently his strategy is a finite word over the set of actions. Probabilistic finite automata can be seen as an example of such a game that has only a single player. First we compare two classes of probabilistic automata: leaktight automata and simple automata, for which the value 1 problem is known to be decidable. We prove that simple automata are a strict subset of leaktight automata. Then we consider half-blind games, which are two player games where the maximizer has zero information and the minimizer is perfectly informed. We define the class of leaktight half-blind games and prove that it has a decidable maxmin reachability problem.

Les jeux stochastiques à somme nulle possèdent une structure récursive qui s'exprime dans leur opérateur de programmation dynamique, appelé opérateur de Shapley. Ce dernier permet d'étudier le comportement asymptotique de la moyenne des paiements par unité de temps. En particulier, le paiement moyen existe et ne dépend pas de l'état initial si l'équation ergodique - une équation non-linéaire aux valeurs propres faisant intervenir l'opérateur de Shapley - admet une solution. Comprendre sous quelles conditions cette équation admet une solution est un problème central de la théorie de Perron-Frobenius non-linéaire, et constitue le principal thème d'étude de cette thèse. Diverses classes connues d'opérateur de Shapley peuvent être caractérisées par des propriétés basées entièrement sur la relation d'ordre ou la structure métrique de l'espace. Nous étendons tout d'abord cette caractérisation aux opérateurs de Shapley "sans paiements", qui proviennent de jeux sans paiements instantanés. Pour cela, nous établissons une expression sous forme minimax des fonctions homogènes de degré un et non-expansives par rapport à une norme faible de Minkowski. Nous nous intéressons ensuite au problème de savoir si l'équation ergodique a une solution pour toute perturbation additive des paiements, problème qui étend la notion d'ergodicité des chaînes de Markov. Quand les paiements sont bornés, cette propriété d'"ergodicité" est caractérisée par l'unicité, à une constante additive près, du point fixe d'un opérateur de Shapley sans paiement. Nous donnons une solution combinatoire s'exprimant au moyen d'hypergraphes à ce problème, ainsi qu'à des problèmes voisins d'existence de points fixes. Puis, nous en déduisons des résultats de complexité. En utilisant la théorie des opérateurs accrétifs, nous généralisons ensuite la condition d'hypergraphes à tous types d'opérateurs de Shapley, y compris ceux provenant de jeux dont les paiements ne sont pas bornés. Dans un troisième temps, nous considérons le problème de l'unicité, à une constante additive près, du vecteur propre. Nous montrons d'abord que l'unicité a lieu pour une perturbation générique des paiements. Puis, dans le cadre des jeux à information parfaite avec un nombre fini d'actions, nous précisons la nature géométrique de l'ensemble des perturbations où se produit l'unicité. Nous en déduisons un schéma de perturbations qui permet de résoudre les instances dégénérées pour l'itération sur les politiques. / Zero-sum stochastic games have a recursive structure encompassed in their dynamic programming operator, so-called Shapley operator. The latter is a useful tool to study the asymptotic behavior of the average payoff per time unit. Particularly, the mean payoff exists and is independent of the initial state as soon as the ergodic equation - a nonlinear eigenvalue equation involving the Shapley operator - has a solution. The solvability of the latter equation in finite dimension is a central question in nonlinear Perron-Frobenius theory, and the main focus of the present thesis. Several known classes of Shapley operators can be characterized by properties based entirely on the order structure or the metric structure of the space. We first extend this characterization to "payment-free" Shapley operators, that is, operators arising from games without stage payments. This is derived from a general minimax formula for functions homogeneous of degree one and nonexpansive with respect to a given weak Minkowski norm. Next, we address the problem of the solvability of the ergodic equation for all additive perturbations of the payment function. This problem extends the notion of ergodicity for finite Markov chains. With bounded payment function, this "ergodicity" property is characterized by the uniqueness, up to the addition by a constant, of the fixed point of a payment-free Shapley operator. We give a combinatorial solution in terms of hypergraphs to this problem, as well as other related problems of fixed-point existence, and we infer complexity results. Then, we use the theory of accretive operators to generalize the hypergraph condition to all Shapley operators, including ones for which the payment function is not bounded. Finally, we consider the problem of uniqueness, up to the addition by a constant, of the nonlinear eigenvector. We first show that uniqueness holds for a generic additive perturbation of the payments. Then, in the framework of perfect information and finite action spaces, we provide an additional geometric description of the perturbations for which uniqueness occurs. As an application, we obtain a perturbation scheme allowing one to solve degenerate instances of stochastic games by policy iteration.

Quels sont les principes fondateurs de l'auto-organisation des sociétés humaines ? Produits d'une évolution culturelle rapide, qui a pris le pas sur l'évolution biologique, celles-ci réclament une approche par des formalismes radicalement différents de ceux utilisés généralement dans l'étude des autres sociétés animales.<br /><br /><br />Concrètement, la modélisation des rapports entre individus et collectif considère le plus souvent des agents qui peuvent être représentés sous la forme d'une hiérarchie de règles, chacune se plaçant en position méta par rapport aux règles du niveau inférieur. Celles-ci peuvent s'interpréter, selon les niveaux, comme des règles de comportement, des règles de décision, des règles de transmission culturelle ou génétique.<br /><br />L'émergence de régularités au niveau collectif peut alors s'interpréter comme la sélection d'une distribution particulière sur l'ensemble des règles et métarègles définissant les agents. Dès lors, le problème de l'auto-organisation dans les systèmes économiques et sociaux se reformule autour de la question suivante : « Peut-on endogénéiser les distributions des métarègles de comportement de manière à ce qu'elles soient le produit des dynamiques collectives qu'elles définissent ? ».<br /><br />Nous montrons dans cette thèse que la prise en compte, dans les modèles formels, de la spécificité de l'imitation humaine permet de répondre positivement à cette question, un point essentiel étant qu'une règle d'imitation peut être sa propre métarègle. Nous proposons ainsi un cadre formel pour l'étude de sociétés d'agents mimétiques auto-organisées, les jeux métamimétiques ; le concept d'équilibre correspondant est alors l'état contrefactuellement stable : aucun agent ne peut s'imaginer mieux qu'il n'est en se mettant contrefactuellement à la place de l'un de ses voisins. Nous étudions ensuite les propriétés de ces jeux en prenant comme champs d'application le problème de l'émergence de la coopération dans un dilemme de prisonnier spatialisé. Nous montrons au passage, que cette approche permet d'échapper au dilemme.<br /><br /><br />Plus généralement, nous nous plaçons dans le cadre de la théorie des jeux stochastiques et nous explicitons le rôle structurant des perturbations dans ce type de système dynamique, les structures spatio-temporelles émergentes étant le produit du couplage entre la dynamique endogène des systèmes métamimétiques et la structure interne des perturbations. En rupture avec l'approche traditionnelle, ceci nous amène à interpréter l'hétérogénéité auto-organisée des systèmes sociaux humains comme une différenciation par un processus de co-évolution d'une multiplicité de critères possibles, plutôt que par un processus d'optimisation global d'un critère unique.

Quels sont les principes fondateurs de l'auto-organisation des sociétés humaines ? Produits d'une évolution culturelle rapide, qui a pris le pas sur l'évolution biologique, celles-ci réclament une approche par des formalismes radicalement différents de ceux utilisés généralement dans l'étude des autres sociétés animales. Concrètement, la modélisation des rapports entre individus et collectif considère le plus souvent des agents qui peuvent être représentés sous la forme d'une hiérarchie de règles, chacune se plaçant en position méta par rapport aux règles du niveau inférieur. Celles-ci peuvent s'interpréter, selon les niveaux, comme des règles de comportement, des règles de décision, des règles de transmission culturelle ou génétique. L'émergence de régularités au niveau collectif peut alors s'interpréter comme la sélection d'une distribution particulière sur l'ensemble des règles et métarègles définissant les agents. Dès lors, le problème de l'auto-organisation dans les systèmes économiques et sociaux se reformule autour de la question suivante : « Peut-on endogénéiser les distributions des métarègles de comportement de manière à ce qu'elles soient le produit des dynamiques collectives qu'elles définissent ? ». Nous montrons dans cette thèse que la prise en compte, dans les modèles formels, de la spécificité de l'imitation humaine permet de répondre positivement à cette question, un point essentiel étant qu'une règle d'imitation peut être sa propre métarègle. Nous proposons ainsi un cadre formel pour l'étude de sociétés d'agents mimétiques auto-organisées, les jeux métamimétiques ; le concept d'équilibre correspondant est alors l'état contrefactuellement stable : aucun agent ne peut s'imaginer mieux qu'il n'est en se mettant contrefactuellement à la place de l'un de ses voisins. Nous étudions ensuite les propriétés de ces jeux en prenant comme champs d'application le problème de l'émergence de la coopération dans un dilemme de prisonnier spatialisé. Nous montrons au passage, que cette approche permet d'échapper au dilemme. Plus généralement, nous nous plaçons dans le cadre de la théorie des jeux stochastiques et nous explicitons le rôle structurant des perturbations dans ce type de système dynamique, les structures spatio-temporelles émergentes étant le produit du couplage entre la dynamique endogène des systèmes métamimétiques et la structure interne des perturbations. En rupture avec l'approche traditionnelle, ceci nous amène à interpréter l'hétérogénéité auto-organisée des systèmes sociaux humains comme une différenciation par un processus de co-évolution d'une multiplicité de critères possibles, plutôt que par un processus d'optimisation global d'un critère unique.

Les problèmes abordés et les résultats obtenus dans cette thèse se divisent en deux parties. La première concerne l'étude de la valeur asymptotique de jeux dépendant de la fréquence (jeux-FD). Nous introduisons un jeu différentiel associé au jeu-FD dont la valeur se ramène à une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman-lsaacs. En affrontant un problème d'irrégularité à l'origine, nous prouvons l’existence de la valeur du jeu différentiel sur [0.1 ] et ceci nous permet de prouver que la valeur du jeu FD converge vers la valeur du jeu continu qui débute à l'état initial 0. Dans la deuxième partie, l'objectif fondamental est la décomposition de l'espace des jeux finis en sous espaces des jeux adéquats et plus faciles à étudier vu que leurs équilibres sont distingués. Cette partie est divisée en deux chapitres. Dans le premier chapitre, nous établissons une décomposition canonique de tout jeu arbitraire fini en trois composantes et nous caractérisons les équilibres approximatifs d'un jeu donné par les équilibres uniformément mixtes et en stratégies dominantes lesquels apparaissent sur ses composantes. Dans le deuxième chapitre, nous introduisons sur l'espace des jeux finis une famille de produits scalaires et nous définissons la classe des jeux harmoniques relativement au produit scalaire choisi dans cette famille. Inspiré par la décomposition de Helmholtz-Hodge appliquée aux jeux par Candogan et al. (2011), nous établissons une décomposition orthogonale de l'espace des jeux finis, par rapport au produit scalaire choisi, en les sous espaces des jeux potentiels, des jeux harmoniques et des jeux non­stratégiques c nous généralisons les résultats de Candogan et al. (2011). / The problems addressed and results obtained in this thesis are divided in two parts. The first part concerns the study of the asymptotic value of frequency-dependent games (FD-games). We introduce a differential game associated to the FD-game whose value leads to a Hamilton-Jacob-Bellman-lsaacs equation. Although an irregularity occurs at the origin, we prove existence of the value in the differential game played over [0.1 ], which allows to prove that the value of the FD-game, as the number of stages tend to infinity, converges to the value of the continuous-time game with initial state 0. ln the second part, the objective is the decomposition of the space of finite games in subspaces of suitable games which admit disguised equilibria and more tractable analysis. This part is divided in two chapters. In the first chapter, we establish a canonical decomposition of an arbitrary game into three components and we characterize the approximate equilibria of a given game in terms of the uniform equilibrium and the equilibrium in dominant strategies that appear in its components. In the second part, we introduce a family of inner products in the space of finite games and we define the class of harmonic games relatively to the chosen inner product. Inspired of the Helmholtz-Hodge decomposition applied to games by Candogan et al (2011 ), we establish an orthogonal decomposition of the space of finite games with respect to the chosen inner product, in the subspaces of potential harmonic and non-strategic games and we further generalize several results of Candogan et al (2011).