Zugl.: Leipzig, Univ., Habil.-Schr., 2005

Universiẗat, Habil.-Schr.--Leipzig, 2005.

Ultra-kalte atomare Gase werden in zahlreichen Laboren weltweit untersucht und finden unter anderem Anwendung in Atomuhren und in Atominterferometer. Die Einsatzgebiete erstrecken sich von der Geodäsie über die Metrologie bis hin zu wichtigen Fragestellungen der Fundamentalphysik, wie z.B. Tests des Äquivalenzprinzips. Doch die beispiellose Messgenauigkeit ist durch die irdische Gravitation eingeschränkt. Zum einen verzerrt die Schwerkraft das Fallenpotential und macht damit die Reduktion der atomaren Energie unter einem bestimmten Limit unmöglich. Zum anderen werden die aus einer Falle frei gelassenen Teilchen durch die Erdanziehung beschleunigt und so ist deren Beobachtungszeit begrenzt. Im Rahmen dieser Arbeit werden die Ergebnisse des Projektes QUANTUS (Quantengase Unter Schwerelosigkeit) dargestellt. Auf dem Weg zur Implementierung eines Quantengasexperimentes im Weltraum wurde innerhalb einer deutschlandweiten Zusammenarbeit eine kompakte, portable und mechanisch stabile Apparatur zur Erzeugung und Untersuchung eines Bose-Einstein-Kondensats (BEC) unter Schwerelosigkeit im Fallturm Bremen entwickelt. Sowohl die Abbremsbeschleunigung von bis zu 50 g als auch das begrenzte Volumen der Fallkapsel stellen hohe Ansprüche an die mechanische Stabilität und die Miniaturisierung von optischen und elektronischen Komponenten. Der Aufbau besteht aus einer im ultra-hoch Vakuum geschlossenen magnetischen Mikrofalle (Atomchip) und einem kompakten auf DFB-Dioden basierenden Lasersystem. Mit diesem Aufbau ließ sich das erste BEC unter Schwerelosigkeit realisieren und nach 1 Sekunde freier Expansion zu beobachten. Weder die schwache Krümmung des Fallenpotentials noch die lange Beobachtungszeit würden in einem erdgebundenen Experiment realisierbar. Die erfolgreiche Umsetzung des Projektes eröffnet ein innovatives Forschungsgebiet - degenerierte Quantengase bei ultratiefen Temperaturen im pK-Bereich, mit großen freien Evolutions- und Beobachtungszeiten von mehreren Sekunden. / Recently, cooling, trapping and manipulation of neutral atoms and ions has become an especially active field of quantum physics. The main motivation for the cooling is to reduce motional effects in high precision measurements including spectroscopy, atomic clocks and matter interferometry. The spectrum of applications of these quantum devices cover a broad area from geodesy, through metrology up to addressing the fundamental questions in physics, as for instance testing the Einstein’s equivalence principle. However, the unprecedented precision of the quantum sensors is limited in terrestial laboratories. Freezing atomic motion can be nowadays put to the limit at which gravity becomes a major perturbation in a system. Gravity can significantly affect and disturb the trapping potential. This limits the use of ultra-shallow traps for low energetic particles. Moreover, free particles are accelerated by gravitational force, which substantially limits the observation time. Targeting the long-term goal of studying cold quantum gases on a space platform, we currently focus on the implementation of a Bose-Einstein condensate (BEC) experiment under microgravity conditions at the drop tower in Bremen. Special challenges in the construction of the experimental setup are posed by a low volume of the drop capsule as well as critical decelerations up to 50g during recapture at the bottom of the tower. All mechanical and electronic components were thus been designed with stringent demands on miniaturization and mechanical stability. This work reports on the observation of a BEC released from an ultra-shallow magnetic potential and freely expanding for one second. Both, the low trapping frequency and long expansion time are not achievable in any earthbound laboratory. This unprecedented time of free evolution leads to new possibilities for the study of BEC-coherence. It can also be applied to enhance the sensitivity of inertial quantum sensors based on ultra-cold matter waves.

Die Dynamik anfänglich aus dem Gleichgewicht gebrachter wechselwirkender Quantenvielteilchensysteme wirft aktuell noch spannende Fragen auf. In Bezug auf die Thermalisierung ist z.B. nach wie vor ungeklärt, in welcher Form sie überhaupt stattfindet und in welchen Observablen bzw. auf welcher Zeitskala sie zu beobachten ist. Eine ideale Grundlage zur Erforschung von Relaxationsdynamiken in wechselwirkenden Vielteilchensystemen bieten ultrakalte Quantengase aufgrund ihrer guten Kontrollier- und Variierbarkeit. Ein allgemeiner theoretischer Rahmen, auf dessen Basis solche Prozesse zu untersuchen sind, steht jedoch infolge der großen Anzahl der beteiligten Freiheitsgrade bisher nicht zur Verfügung. Für ultrakalte bosonische Gase stellt die Gross-Pitaevskii-Gleichung eines der wichtigsten theoretischen Werkzeuge dar, eine klassische Feldgleichung für die Kondensatwellenfunktion in Molekularfeldnäherung. Die ihr zugrunde liegende Näherung erlaubt jedoch keine nicht-trivialen Aussagen über den vollen N-Teilchenzustand, dessen Kenntnis für die Untersuchung einer möglichen Relaxationsdynamik unabdingbar ist. Um der theoretischen Beschreibung des vollen bosonischen Feldes einen Schritt näher zu kommen, untersucht die vorliegende Arbeit die Anwendung semiklassischer Methoden auf ultrakalte Bosegase. Diese sind in der Regel dann sehr genau, wenn die beteiligten Wirkungen groß gegenüber dem Planckschen Wirkungsquantum sind. Für bosonische Felder wird dieser Grenzfall durch die Bedingung einer großen Teilchenzahl ersetzt. Die immense Anzahl an Teilchen in den hier behandelten Vielteilchensystemen macht die Anwendung semiklassischer Methoden auf diesem Gebiet also vielversprechend. Als zentrales Modellsystem wird ein anfänglich aus dem Gleichgewicht gebrachtes ultrakaltes bosonisches Doppelmuldensystem betrachtet, das eine hochinteressante Dynamik aufweist, die auf das Wechselspiel der Tunneldynamik einerseits und der Wechselwirkung der Teilchen untereinander andererseits zurückzuführen ist. Als Referenz lassen sich aufgrund der speziellen Fallengeometrie im Rahmen der Zwei-Moden-Näherung die Ergebnisse einer numerisch exakten Untersuchung heranziehen. Durch den Einsatz der namhaften WKB-Quantisierung und des besonders aus der Molekülphysik bekannten Reflexionsprinzips wird hier ein geschlossener analytischer Ausdruck für die sogenannte Populationsdifferenz im Doppelminimum hergeleitet, der ausschließlich von den wenigen relevanten Systemparametern abhängt. Diese mächtige Formel erlaubt es nun zum ersten Mal, in quantitativer Weise die charakteristische Sequenz aus Oszillationen, Kollapsen und Revivals in Abhängigkeit der vorausgesetzten Parameter zu untersuchen. Nach dieser ersten erfolgreichen Anwendung semiklassischer Methoden im Modellsystem wird über die reduzierte Dynamik der Populationsdifferenz hinausgegangen. Mithilfe des semiklassischen Herman-Kluk-Propagators lässt sich selbst der volle N-Teilchenzustand untersuchen. Da es letztlich um die Beschreibung ultrakalter Bosonen in beliebigen Potentialen gehen soll, wird zunächst der Herman-Kluk-Propagator für eine Feldtheorie vorgestellt. Im Doppelmuldensystem zeigt sich dann in der Anwendung die semiklassische Propagation in der Lage, für alle untersuchten Parameterregime gute Übereinstimmung mit den numerisch exakten Ergebnissen zu liefern. Zusätzlich findet ein Abgleich der Resultate mit der Truncated Wigner Approximation statt, auf die im Forschungsgebiet ultrakalter Bosonen häufig zurück gegriffen wird. Diese beschreibt die Zeitentwicklung einer Wignerverteilung unter Aussparung der Quanteninterferenzen. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass die Herman-Kluk-Propagation unter Berücksichtigung der Phasen weit über die Truncated Wigner Approximation hinausgeht: Sie gibt alle wichtigen Charakteristika der Dynamik im Doppelmuldensystem wieder. Um die Semiklassik auf ihre Aussagefähigkeit in Bezug auf eine noch komplexere Dynamik zu untersuchen, wird zum Abschluss das Drei-Topf-System betrachtet, das zusätzlich chaotische Regionen im Phasenraum aufweist. Auch hier zeigt sich, dass die semiklassische Berücksichtigung der Phasen die Truncated Wigner Approximation in den Schatten stellt. Allerdings ergeben sich durch die Instabilität der Trajektorien für stark chaotische Regime numerische Probleme, die es in der Zukunft zu lösen gilt. / The dynamics of initially non equilibrium interacting quantum many body systems is an ongoing and interesting field of research. It is still an open question in which form relaxation occurs in such systems, and in which observables and on which timescales a possible thermalization might appear. A perfect playground for the investigations of relaxation dynamics in interacting many body schemes is provided by ultracold quantum gases, which are easily to be controlled and varied in experiments. However, a general theoretical framework for the investigation of such processes is still missing, due to the huge amount of involved degrees of freedom. One of the main theoretical tools in the field of ultracold bosonic gases represents the famous Gross-Pitaevskii equation, a field equation for the Bose-Einstein condensate wave function in terms of a mean-field approximation. However, the underlying approximation prevents the possibility to draw non-trivial conclusions about the full N-particle state, the information of which is necessary for the analysis of relaxation processes. To gain the theoretical description of the full bosonic field, the present thesis deals with the application of semiclassical methods to ultracold boson gases. Those techniques become in general exact, as long as the involved actions are large compared to Planck's constant. For many body systems it turns out that semiclassics are expected to give good results also for the condition of high particle numbers, which is precisely fulfilled in these schemes, making the semiclassical approaches promising. As an essential model system an initially out of equilibrium ultracold bosonic double-well system is investigated. This configuration provides highly interesting dynamics due to the interplay of the tunneling dynamics on the one hand and the interaction amongst the particles on the other. The special trap geometry makes exact numerical calculations in the framework of the two-mode approximation available, which serve in the following as reference data. By applying the common semiclassical WKB approximation and the reflection principle known from molecule physics, a closed analytical expression for the so-called population imbalance of the bosons in the double-well is derived, depending only on the few relevant system parameters. This mighty formula allows for the first time the quantitative investigation of the characteristic sequence consisting of oscillations, collapse and revivals in dependence on the parameters of the system. Since the semiclassical approaches succeeded for the double-well model so far the so-called Herman-Kluk propagator is adopted, to go beyond the reduced dynamics of the population imbalance. The propagator provides the possibility to treat the full N-particle state theoretically and is introduced for the most general case of a bosonic quantum field. Its application to the double-well system yields for all investigated parameter regimes very good agreement with the numerical exact results. Furthermore the outcomes are compared to the Truncated Wigner approximation, which is frequently used in the research field of ultracold bosons. This approach pictures the time evolution of a Wigner distribution, without taking into account the quantum interferences. In the present thesis it is shown that the Herman-Kluk propagation goes clearly beyond the truncated Wigner approach by considering in addition the quantum phases: The propagator is able to reproduce all of the distinctive features of the double-well dynamics. In order to test the performance of semiclassical methods in matters of even more complex systems, the ultracold bosonic triple-well model is finally considered, which exhibits unlike the double-well scheme chaotic regions in phase space. It turns out that the semiclassical propagation outplays again the truncated Wigner approximation. On the other hand the instability of the highly chaotic trajectories causes numerical problems, which have to be solved in the future.

My dissertation treats the physics of ultracold gases, in particular of Bose-Einstein condensates with long-ranged interactions induced by admixing a small fraction of a Rydberg state to the atomic ground state. The resulting interaction leads to the emergence of supersolid states and to the self-trapping of a Bose-Einstein condensate.

Die vorliegende Arbeit behandelt den Einfluss eines Defekt-induzierten, intrinsischen, statischen Unordnungspotentials innerhalb einer planaren, ZnObasierten Mikrokavität (MK) auf die lokale Dichteverteilung eines darin erzeugten, dynamischen Exziton-Polariton Bose-Einstein-Kondensats (BEK). Dies ist von Interesse, da die derzeitigen, z.B. GaN- oder ZnO-basierten MK, welche die Erzeugung von Exziton-Polariton BEKs bei Raumtemperatur ermöglichen und daher für zukünftige Anwendungen in realen Bauelementen geeignet erscheinen, durch eine hohe Defektdichte gekennzeichnet sind. Mit Hilfe eines eigens dafür aufgebauten Michelson-Interferometers wurde die Kohärenzzeit des Exziton-Polariton BEKs ermittelt, welche die Lebenszeit der einzelnen, unkondensierten Polaritonen um einen Faktor 140 übersteigt. Somit konnte das untersuchte, quantenmechanische System als zeitlich koh ärentes Kondensat identifiziert werden, da die Kohärenz während des stetigen Zerfalls und der Neubildung der einzelnen Polaritonen erhalten bleibt. Weiterhin wurden durch Unordnung hervorgerufene Dichtefluktuationen innerhalb des Polariton-Kondensats untersucht, welche in Form von Intensitäts- Fluktuationen in der Fernfeldverteilung der BEK-Emission beobachtet wurden. Dazu wurde der experimentelle Datensatz einer anregungsleistungsabhängigen Photolumineszenzuntersuchung analysiert. Dabei wurde festgestellt, dass die beobachteten Intensitätsfluktuationen über einen großen Anregungsleistungsbereich stabil bleiben, und zwar bis zum 20-fachen Wert der Schwellenleistung, welche für die Erzeugung des Polariton-BEKs nötig ist. Dies deutet auf eine gleichbleibende, durch Unordnung hervorgerufene, lokale Dichtevariation des BEKs trotz steigender Gesamtteilchendichte hin, was im starken Widerspruch zum theoretisch vorausgesagtem und experimentell gefundenem Verhalten von Kondensaten im thermischen Gleichgewicht steht. Die hier vorliegenden experimentellen Befunde konnten anhand eines Vergleichs mit numerischen Simulationen, basierend auf einem neu entwickelten theoretischem Modell, auf das Zusammenspiel des vorliegenden Unordnungspotentials und des Nicht-Gleichgewichtscharakters der untersuchten Exziton-Polariton Kondensate zurückgeführt werden. Dies verursacht dichteunabhängige Phasenfluktuationen innerhalb des Kondensats, welche die beobachteten Fluktuationen in der Fernfeldverteilung der Emission hervorrufen.:1 Introduction 1 2 Physical Basics 9 2.1 Distributed Bragg Reflectors (DBRs) . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Microcavities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Light-Matter-Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.1 Weak Coupling Regime (WCR) . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.2 Strong Coupling Regime (SCR) . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Bose-Einstein Condensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.1 Mean-Field Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.2 Review of Research on Disorder Effects on Polariton Condensates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Coherence Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.1 Ideal Light Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.2 Real Light Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5.3 Wiener-Khinchin Theorem (WKT) . . . . . . . . . . . . 36 I Experimental Observations 39 3 The ZnO-based Microcavity - Review of the known Properties 41 3.1 Sample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.1 Fabrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.2 Microstructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Bose-Einstein Condensation of Exciton-Polaritons . . . . . . . . 45 3.3 Conclusion and remaining Problems . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4 Coherence Spectroscopy 53 4.1 Micro-Photoluminescence Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 i 4.1.1 Excitation Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.2 Detection Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2 Michelson Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2.1 Experimental Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2.2 Determination of First Order Correlation Function . . . . 62 4.3 Performance of the Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5 Experimental Characterization of Bose-Einstein Condensates 69 5.1 Threshold Power Density for Polariton Condensation . . . . . . 70 5.2 Determination of Coherence Time . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3 Inhomogeneous Emission Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.3.1 Analysis of individual Energy Branches . . . . . . . . . . 85 5.3.2 Origin of disorder potential . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.4 Summary of Experimental Results . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 II Theoretical Predictions 105 6 Disorder Effects on an equilibrium BEC 109 7 Overview of the Theoretical Analysis of quasi-equilibrium and non-equilibrium BEC 113 7.1 Model for extended Gross-Pitaevskii equation including Gain and Loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.2 Disorder Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8 Numerical Simulations 125 8.1 Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 8.2 Choice of Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.3 Results for both Scenarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.4 Comparison with Experimental Data . . . . . . . . . . . . . . . 132 9 Summary of Part II 139 III Summary and Outlook 141 A Appendix 149 A.1 Alignment Procedure for the Michelson Interferometer . . . . . 149 A.2 Performance of the Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 A.2.1 Methods and Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 A.2.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 A.2.3 Impact of Experimental Artifacts . . . . . . . . . . . . . 175 A.3 Impact of Noise on the evaluated Visibility . . . . . . . . . . . . 182 A.4 FFT Analysis of Far-Field BEC Emission Pattern . . . . . . . . 185 Acknowledgement 203 Curriculum vitae 205 declaration 206 List of own and contributed articles 207

Die Dynamik anfänglich aus dem Gleichgewicht gebrachter wechselwirkender Quantenvielteilchensysteme wirft aktuell noch spannende Fragen auf. In Bezug auf die Thermalisierung ist z.B. nach wie vor ungeklärt, in welcher Form sie überhaupt stattfindet und in welchen Observablen bzw. auf welcher Zeitskala sie zu beobachten ist. Eine ideale Grundlage zur Erforschung von Relaxationsdynamiken in wechselwirkenden Vielteilchensystemen bieten ultrakalte Quantengase aufgrund ihrer guten Kontrollier- und Variierbarkeit. Ein allgemeiner theoretischer Rahmen, auf dessen Basis solche Prozesse zu untersuchen sind, steht jedoch infolge der großen Anzahl der beteiligten Freiheitsgrade bisher nicht zur Verfügung. Für ultrakalte bosonische Gase stellt die Gross-Pitaevskii-Gleichung eines der wichtigsten theoretischen Werkzeuge dar, eine klassische Feldgleichung für die Kondensatwellenfunktion in Molekularfeldnäherung. Die ihr zugrunde liegende Näherung erlaubt jedoch keine nicht-trivialen Aussagen über den vollen N-Teilchenzustand, dessen Kenntnis für die Untersuchung einer möglichen Relaxationsdynamik unabdingbar ist. Um der theoretischen Beschreibung des vollen bosonischen Feldes einen Schritt näher zu kommen, untersucht die vorliegende Arbeit die Anwendung semiklassischer Methoden auf ultrakalte Bosegase. Diese sind in der Regel dann sehr genau, wenn die beteiligten Wirkungen groß gegenüber dem Planckschen Wirkungsquantum sind. Für bosonische Felder wird dieser Grenzfall durch die Bedingung einer großen Teilchenzahl ersetzt. Die immense Anzahl an Teilchen in den hier behandelten Vielteilchensystemen macht die Anwendung semiklassischer Methoden auf diesem Gebiet also vielversprechend. Als zentrales Modellsystem wird ein anfänglich aus dem Gleichgewicht gebrachtes ultrakaltes bosonisches Doppelmuldensystem betrachtet, das eine hochinteressante Dynamik aufweist, die auf das Wechselspiel der Tunneldynamik einerseits und der Wechselwirkung der Teilchen untereinander andererseits zurückzuführen ist. Als Referenz lassen sich aufgrund der speziellen Fallengeometrie im Rahmen der Zwei-Moden-Näherung die Ergebnisse einer numerisch exakten Untersuchung heranziehen. Durch den Einsatz der namhaften WKB-Quantisierung und des besonders aus der Molekülphysik bekannten Reflexionsprinzips wird hier ein geschlossener analytischer Ausdruck für die sogenannte Populationsdifferenz im Doppelminimum hergeleitet, der ausschließlich von den wenigen relevanten Systemparametern abhängt. Diese mächtige Formel erlaubt es nun zum ersten Mal, in quantitativer Weise die charakteristische Sequenz aus Oszillationen, Kollapsen und Revivals in Abhängigkeit der vorausgesetzten Parameter zu untersuchen. Nach dieser ersten erfolgreichen Anwendung semiklassischer Methoden im Modellsystem wird über die reduzierte Dynamik der Populationsdifferenz hinausgegangen. Mithilfe des semiklassischen Herman-Kluk-Propagators lässt sich selbst der volle N-Teilchenzustand untersuchen. Da es letztlich um die Beschreibung ultrakalter Bosonen in beliebigen Potentialen gehen soll, wird zunächst der Herman-Kluk-Propagator für eine Feldtheorie vorgestellt. Im Doppelmuldensystem zeigt sich dann in der Anwendung die semiklassische Propagation in der Lage, für alle untersuchten Parameterregime gute Übereinstimmung mit den numerisch exakten Ergebnissen zu liefern. Zusätzlich findet ein Abgleich der Resultate mit der Truncated Wigner Approximation statt, auf die im Forschungsgebiet ultrakalter Bosonen häufig zurück gegriffen wird. Diese beschreibt die Zeitentwicklung einer Wignerverteilung unter Aussparung der Quanteninterferenzen. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass die Herman-Kluk-Propagation unter Berücksichtigung der Phasen weit über die Truncated Wigner Approximation hinausgeht: Sie gibt alle wichtigen Charakteristika der Dynamik im Doppelmuldensystem wieder. Um die Semiklassik auf ihre Aussagefähigkeit in Bezug auf eine noch komplexere Dynamik zu untersuchen, wird zum Abschluss das Drei-Topf-System betrachtet, das zusätzlich chaotische Regionen im Phasenraum aufweist. Auch hier zeigt sich, dass die semiklassische Berücksichtigung der Phasen die Truncated Wigner Approximation in den Schatten stellt. Allerdings ergeben sich durch die Instabilität der Trajektorien für stark chaotische Regime numerische Probleme, die es in der Zukunft zu lösen gilt. / The dynamics of initially non equilibrium interacting quantum many body systems is an ongoing and interesting field of research. It is still an open question in which form relaxation occurs in such systems, and in which observables and on which timescales a possible thermalization might appear. A perfect playground for the investigations of relaxation dynamics in interacting many body schemes is provided by ultracold quantum gases, which are easily to be controlled and varied in experiments. However, a general theoretical framework for the investigation of such processes is still missing, due to the huge amount of involved degrees of freedom. One of the main theoretical tools in the field of ultracold bosonic gases represents the famous Gross-Pitaevskii equation, a field equation for the Bose-Einstein condensate wave function in terms of a mean-field approximation. However, the underlying approximation prevents the possibility to draw non-trivial conclusions about the full N-particle state, the information of which is necessary for the analysis of relaxation processes. To gain the theoretical description of the full bosonic field, the present thesis deals with the application of semiclassical methods to ultracold boson gases. Those techniques become in general exact, as long as the involved actions are large compared to Planck's constant. For many body systems it turns out that semiclassics are expected to give good results also for the condition of high particle numbers, which is precisely fulfilled in these schemes, making the semiclassical approaches promising. As an essential model system an initially out of equilibrium ultracold bosonic double-well system is investigated. This configuration provides highly interesting dynamics due to the interplay of the tunneling dynamics on the one hand and the interaction amongst the particles on the other. The special trap geometry makes exact numerical calculations in the framework of the two-mode approximation available, which serve in the following as reference data. By applying the common semiclassical WKB approximation and the reflection principle known from molecule physics, a closed analytical expression for the so-called population imbalance of the bosons in the double-well is derived, depending only on the few relevant system parameters. This mighty formula allows for the first time the quantitative investigation of the characteristic sequence consisting of oscillations, collapse and revivals in dependence on the parameters of the system. Since the semiclassical approaches succeeded for the double-well model so far the so-called Herman-Kluk propagator is adopted, to go beyond the reduced dynamics of the population imbalance. The propagator provides the possibility to treat the full N-particle state theoretically and is introduced for the most general case of a bosonic quantum field. Its application to the double-well system yields for all investigated parameter regimes very good agreement with the numerical exact results. Furthermore the outcomes are compared to the Truncated Wigner approximation, which is frequently used in the research field of ultracold bosons. This approach pictures the time evolution of a Wigner distribution, without taking into account the quantum interferences. In the present thesis it is shown that the Herman-Kluk propagation goes clearly beyond the truncated Wigner approach by considering in addition the quantum phases: The propagator is able to reproduce all of the distinctive features of the double-well dynamics. In order to test the performance of semiclassical methods in matters of even more complex systems, the ultracold bosonic triple-well model is finally considered, which exhibits unlike the double-well scheme chaotic regions in phase space. It turns out that the semiclassical propagation outplays again the truncated Wigner approximation. On the other hand the instability of the highly chaotic trajectories causes numerical problems, which have to be solved in the future.

The ground state of a quantum system is the minimizer of the total energy of that system. The aim of this thesis is to present and numerically solve the Gross-Pitaevskii eigenvalue problem (GPE) as a physical model for the formation of ground states of dilute Bose gases at ultra-low temperatures in a disordered potential. The first part of the report introduces the quantum mechanical phenomenon that arises at ground states of the Bose gases; the Anderson localization, and presents the nonlinear eigenvalue problem and the finite element method (FEM) used to discretize the GPE. The numerical method used to solve the eigenvalue problem for the smallest eigenvalue is called the inverse power iteration method, which is presented and explained. In the second part of the report, the smallest eigenvalue of a linear Schrödinger equation is compared with the numerically computed smallest eigenvalue (ground state) in order to evaluate the accuracy of a linear numerical scheme constructed as first step for numerically solving the non-linear problem. In the next part of the report, the numerical methods are implemented to solve for the eigenvalue and eigenfunction of the (non-linear) GPE at ground state (smallest eigenvalue). The mathematical expression for the quantum energy and smallest eigenvalue of the non-linear system are presented in the report. The methods used to solve the GPE are the FEM and inverse power iteration method and different instances of the Anderson localization are produced. The study shows that the error of the smallest eigenvalue approximation for the linear case without disorder is satisfying when using FEM and Power iteration method. The accuracy of the approximation obtained for the linear case without disorder is satisfying, even for a low numbers of iterations. The methods require many more iterations for solving the GPE with a strong disorder. On the other hand, pronounced instances of Anderson localizations are produced in a certain scaling regime. The study shows that the GPE indeed works well as a physical model for the Anderson localization. / Syftet med denna avhandling är att undersöka hur väl Gross-Pitaevskii egenvärdesekvation (GPE) passar som en fysisk modell för bildandet av stationära elektronstater i utspädda Bose-gaser vid extremt låga temperaturer. Fenomenet som skall undersökas heter Anderson lokalisering och uppstår när potentialfältets styrka och störning i systemet är tillräckligt hög. Undersökningen görs i denna avhandling genom att numeriskt lösa GPE samt illustrera olika utfall av Anderson lokaliseringen vid olika numeriska värden. Den första delen av rapporten introducerar det icke-linjära matematiska uttrycket för GPE samt de numeriska metoderna som används för att lösa problemet numerisk: finita elementmetoden (FEM) samt egenvärdesalgoritmen som heter inversiiteration. Finita elementmetoden används för att diskretisera variationsproblemet av GPE och ta fram en enkel algebraisk ekvation. Egenvärdesalgoritmen tillämpas på den algebraiska ekvation för att iterativt beräkna egenfunktionen som motsvarar det minsta egenvärdet. Det minsta egenvärdet av en fullt definierad (linjär) Schrödinger ekvation löses i rapportens andra del. Den linjära ekvationen löses för att ta fram en förenklad numerisk algoritm att utgå ifrån innan den icke-linjära algoritmen tas fram. För att försäkra sig att den linjära algoritmen stämmer bra jämförs det exakta egenvärdet för problemet med ett numeriskt framtaget värde. Undersökningen av den linjära algoritmen visar att vi får en bra uppskattning av egenvärdet - även vid få iterationer. Vidare konstrueras den ickelinjära algoritmen baserat på den linjära. Ekvationen löses och undersökes. Egenfunktionen som motsvarar minsta egenvärdet framtas och beskriver kvantsystemet i lägsta energitillståndet, så kallade grundtillståndet. Undersökningen av GPE visar att de numeriska metoderna kräver många fler iterationer innan en tillräckligt bra uppskattning av egenvärdet fås. Å andra sidan fås markanta Anderson lokaliseringar för ett skalningsområde som beskrivs av styrkan av potentialfältet i relation till dess störning. Slutsatsen är att Gross-Pitaevskii egenvärdesekvation passar bra som en fysisk modell för detta kvantsystem.

Die spontane Brechung der chiralen Symmetrie ist ein faszinierendes Phenomän der QCD mit fundamentalen phänomenologischen Implikationen. Die Brechung der chiral Symmetrie ist beispielsweise verantwortlich für die niedrige Masse der Pionen, welche die effektiven Goldstone Boson der spontan gebrochene Symmetrie sind. Die spontane Brechung der chiral Symmetrie und die chirale Anomalie sind niedrig Energie-Phenomäne der QCD, weshalb nichtperturbative Methoden nötig sind um sie zu studieren. In der vorliegenden Arbeit verwenden wir die Gitterregularisierung der QCD, um das chirale Kondensat, den Ordnungsparameter der spontanen Brechung der chiralen Symmetrie zu bestimen. Dazu wendeten wir die Definition der in dieser Arbeit studierten Observablen über Dichteketten an, die eine theoretisch wohldefinierte Bahndlung der Observablen zulässt. Für die praktische Berechnung wurde die kürzlich entwickelte Methode der spektralen Projektoren angewandt. In dieser Weise berchnen wir den Kontinuumlimes des chiralen Kondensates, das im chiralen Limes gewonnen, sowohl für N_f=2 als auch für N_f=2+1+1 Flavour von so genannten twisted mass Fermionen. Des Weiteren untersuchen wir das chirale Verhalten der topologischen Suszeptibilität. Wir verwenden hier wieder die Methode der spektralen Projektoren, anstelle aufwendigerer Verfahren, die chirale Symmetrie erhalten, aber zu numerisch sehr aufwändigen Simulationen führen. Schließ lich kommentieren wir die sich aus den starken Autokorrelationen ergebenden Schwierigkeiten dieser Rechnung. Abschließ end stellen wir die Kontinuumlimes-Ergebnisse der topologischen Suszeptibilität in der rein gluonischen Theorie vor, die es uns erlauben, die Witten-Veneziano-Formel zu testen. Unseren Untersuchung zufolge ist diese Formel gut erfüllt. Diese Tatsache stützt die Gültigkeit der Formel, die die topologischen Fluktuationen der Eichfelder mit der unerwartet groß en Masse des eta'' Mesons in Verbindung setzt. / The spontaneous breaking of chiral symmetry is a fascinating phenomenon of QCD whose mechanism is still not well understood and it has fundamental phenomenological implications. It is, for instance, responsible for the low mass of the pions which are effectively Goldstone bosons of the spontaneously broken symmetry. Since these phenomena belong to the low energy regime of QCD, non-perturbative techniques have to be applied in order to study them. In this work we use the twisted mass lattice QCD regularization to compute the chiral condensate, the order parameter of spontaneous chiral symmetry breaking. To this end we apply the recently introduced method of spectral projectors which allows us to perform calculations in large volumes due to its inherently low computational cost. This approach, moreover, enables a direct calculation of the chiral condensate based on a theoretically clean definition of the observable via density chains. We thus present a continuum limit determination of the chirally extrapolated condensate for N_f=2 and N_f=2+1+1 flavours of twisted mass fermions at maximal twist. In addition we study the chiral behavior of the topological susceptibility, a measure of the topological fluctuations of the gauge fields. We again apply the spectral projector method for this calculation. We comment on the difficulties which appear in the calculation of this observable due to the large autocorrelations involved. Finally we present the continuum limit result of the topological susceptibility in the pure gluonic theory which allows us to perform a test of the Witten-Veneziano relation. We found that this relation is well satisfied. Our results support the validity of the Witten-Veneziano formula which relates the topological fluctuations of the gauge fields with the unexpectedly large value of the eta''

My dissertation treats the physics of ultracold gases, in particular of Bose-Einstein condensates with long-ranged interactions induced by admixing a small fraction of a Rydberg state to the atomic ground state. The resulting interaction leads to the emergence of supersolid states and to the self-trapping of a Bose-Einstein condensate.