Nous explicitons la cohomologie d'André-Quillen des algèbres sur une opérade à l'aide de la dualité de Koszul des opérades. Cette cohomologie est représentée par le complexe cotangent. Nous donnons des critères assurant que cette cohomologie s'écrit en termes de foncteur Ext. En particulier, c'est le cas des algèbres sur des opérades cofibrantes, ce qui fournit une nouvelle propriété de stabilité homotopique de ces algèbres. Nous généralisons ensuite la dualité de Koszul des algèbres associatives dans deux directions indépendantes. D'un côté, nous étendons la dualité de Koszul aux opérades non nécessairement augmentées de façon à étudier les algèbres unitaires. La notion de courbure apparaît pour coder le défaut d'augmentation. Nous obtenons ainsi les théories homotopiques et cohomologiques des algèbres associatives unitaires ou des algèbres de Frobenius avec unité et counité. Nous détaillons le cas des algèbres associatives unitaires. D'un autre côté, nous généralisons la dualité de Koszul aux algèbres sur une opérade. Nous montrons pour cela que le complexe cotangent est la bonne généralisation du complexe de Koszul.

FJRW-theory is a recent advancement in singularity theory arising from physics. The FJRW-theory is a graded vector space constructed from a quasihomogeneous weighted polynomial and symmetry group, but it has been conjectured that the theory only depends on the weights of the polynomial and the group. In this thesis, I prove this conjecture using Poincaré polynomials and Koszul complexes. By constructing the Koszul complex of the state space, we have found an expression for the Poincaré polynomial of the state space for a given polynomial and associated group. This Poincaré polynomial is defined over the representation ring of a group in order for us to take G-invariants. It turns out that the construction of the Koszul complex is independent of the choice of polynomial, which proves our conjecture that two different polynomials with the same weights will have isomorphic FJRW rings as long as the associated groups are the same.

xi, 95 p. : ill. A print copy of this thesis is available through the UO Libraries. Search the library catalog for the location and call number. / We investigate some homological properties of graded algebras. If A is an R -algebra, then E (A) := Ext A ( R, R ) is an R-algebra under the cup product and is called the Yoneda algebra. (In most cases, we assume R is a field.) A well-known and widely-studied condition on E(A) is the Koszul property. We study a class of deformations of Koszul algebras that arises from the study of equivariant cohomology and algebraic groups and show that under certain circumstances these deformations are Poincaré-Birkhoff-Witt deformations. Some of our results involve the [Special characters omitted] property, recently introduced by Cassidy and Shelton, which is a generalization of the Koszul property. While a Koszul algebra must be quadratic, a [Special characters omitted] algebra may have its ideal of relations generated in different degrees. We study the structure of the Yoneda algebra corresponding to a monomial [Special characters omitted.] algebra and provide an example of a monomial [Special characters omitted] algebra whose Yoneda algebra is not also [Special characters omitted]. This example illustrates the difficulty of finding a [Special characters omitted] analogue of the classical theory of Koszul duality. It is well-known that Poincaré-Birkhoff-Witt algebras are Koszul. We find a [Special characters omitted] analogue of this theory. If V is a finite-dimensional vector space with an ordered basis, and A := [Special characters omitted] (V)/I is a connected-graded algebra, we can place a filtration F on A as well as E (A). We show there is a bigraded algebra embedding Λ: gr F E (A) [Special characters omitted] E (gr F A ). If I has a Gröbner basis meeting certain conditions and gr F A is [Special characters omitted], then Λ can be used to show that A is also [Special characters omitted]. This dissertation contains both previously published and co-authored materials. / Committee in charge: Brad Shelton, Chairperson, Mathematics; Victor Ostrik, Member, Mathematics; Christopher Phillips, Member, Mathematics; Sergey Yuzvinsky, Member, Mathematics; Van Kolpin, Outside Member, Economics

Neste trabalho estudamos algumas características das álgebras de Koszul, como por exemplo, a maneira como elas se relacionam com suas respectivas álgebras de Yoneda. Descrevemos a álgebra de Yoneda de uma álgebra monomial e como aplicação construímos uma família de álgebras: as chamadas homologicamente auto-duais. Uma álgebra de Koszul pode ser definida a partir da existência de resoluções lineares dos módulos simples. Por isso faz-se necessário a dedicação de parte de nossa atenção ao estudo destas resoluções. Além disso, achamos interessante estudar métodos para a construção de resoluções projetivas de módulos sobre quocientes de álgebras de caminhos. Para tal construção usamos essencialmente a teoria de bases de Gröbner não comutativas. Finalmente, para o caso de módulos lineares sobre álgebras de Koszul, veremos que é possível modicar essa construção de modo que a resolução resultante seja linear. / In this work we study some features of Koszul algebras as, for example, the way that they are related with their Yoneda algebras. We describe the Yoneda algebra of a monomial algebra and as an application we construct a family of algebras: the so called homologically self-dual algebras. A Koszul algebra can be dened as an algebra for which there are linear resolutions of their simple modules. Because of this we dedicate part of our attention to the study of projective resolutions. The study of methods for the construction of projectives resolutions of modules over quotients of path algebras, has an of interest its own. For the study of projective resolutions we used the theory of noncommutative, Gröbner bases. Finally, for the case of linear modules over Koszul algebras, we will see that it is possible to modify the general construction described here, so that the resulting resolution is linear.

Neste trabalho estudamos algumas características das álgebras de Koszul, como por exemplo, a maneira como elas se relacionam com suas respectivas álgebras de Yoneda. Descrevemos a álgebra de Yoneda de uma álgebra monomial e como aplicação construímos uma família de álgebras: as chamadas homologicamente auto-duais. Uma álgebra de Koszul pode ser definida a partir da existência de resoluções lineares dos módulos simples. Por isso faz-se necessário a dedicação de parte de nossa atenção ao estudo destas resoluções. Além disso, achamos interessante estudar métodos para a construção de resoluções projetivas de módulos sobre quocientes de álgebras de caminhos. Para tal construção usamos essencialmente a teoria de bases de Gröbner não comutativas. Finalmente, para o caso de módulos lineares sobre álgebras de Koszul, veremos que é possível modicar essa construção de modo que a resolução resultante seja linear. / In this work we study some features of Koszul algebras as, for example, the way that they are related with their Yoneda algebras. We describe the Yoneda algebra of a monomial algebra and as an application we construct a family of algebras: the so called homologically self-dual algebras. A Koszul algebra can be dened as an algebra for which there are linear resolutions of their simple modules. Because of this we dedicate part of our attention to the study of projective resolutions. The study of methods for the construction of projectives resolutions of modules over quotients of path algebras, has an of interest its own. For the study of projective resolutions we used the theory of noncommutative, Gröbner bases. Finally, for the case of linear modules over Koszul algebras, we will see that it is possible to modify the general construction described here, so that the resulting resolution is linear.

Orientador: Marcos Benevenuto Jardim / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-20T05:02:36Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Prata_DanielaMoura_D.pdf: 839425 bytes, checksum: 24b3dac76766d8c843d040b951a4376a (MD5) Previous issue date: 2012 / Resumo: Neste trabalho relacionamos algumas classes de fibrados vetoriais...Observação: O resumo, na íntegra, poderá ser visualizado no texto completo da tese digital / Abstract: In this work we relate some classes of vector bundles on...Note: The complete abstract is available with the full electronic document / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Nous introduisons les notions de forêts préordonnées et préordonnées en tas, généralisant les constructions des forêts ordonnées et ordonnées en tas. On démontre que les algèbres des forêts préordonnées et préordonnées en tas sont des algèbres de Hopf pour le coproduit de coupes et on construit un morphisme d'algèbres de Hopf dans l'algèbre des mots tassés. Ensuite, nous définissons un autre coproduit sur les forêts préordonnées donné par la contraction d'arêtes et nous donnons une description combinatoire de morphismes définis sur des algèbres de Hopf de forêts et à valeurs dans les algèbres de Hopf de battages et de battages contractants. Par ailleurs, nous introduisons la notion d'algèbre bigreffe, généralisant les notions d'algèbres de greffes à gauche et à droite. Nous décrivons l'algèbre bigreffe libre engendrée par un générateur et nous munissons cette algèbre d'une structure d'algèbre de Hopf et d'un couplage. Nous étudions ensuite le dual de Koszul de l'operade bigreffe et nous donnons une description combinatoire de l'algèbre bigreffe dual engendrée par un générateur. A l'aide d'une méthode de réécriture, nous prouvons que l'opérade bigreffe est Koszul. Nous définissons la notion de bialgèbre bigreffe infinitésimale et nous prouvons un analogue des théorèmes de Poincaré-Birkhoff-Witt et de Cartier-Milnor-Moore pour les bialgèbres bigreffe infinitésimales connexes. Pour finir, à partir de deux opérateurs de greffes, nous construisons des algèbres de Hopf d'arbres enracinés et ordonnés $ mathbf{B}^{i} $, $ i in mathbb{N}^{ast} $, $ mathbf{B}^{infty} $ et $ mathbf{B} $ vérifiant les relations d'inclusions $ mathbf{B}^{1} subseteq hdots mathbf{B}^{i} subseteq mathbf{B}^{i+1} subseteq hdots subseteq mathbf{B}^{infty} subseteq mathbf{B} $. On munit $ mathbf{B} $ d'une structure de bialgèbre dupliciale dendriforme et on en déduit que $ mathbf{B} $ est colibre et auto-duale. Nous démontrons que $ mathbf{B} $ est engendrée comme algèbre bigreffe par un générateur. / We introduce the notions of preordered and heap-preordered forests, generalizing the construction of ordered and heap-ordered forests. We prove that the algebras of preordered and heap-preordered forests are Hopf for the cut coproduct, and we construct a Hopf morphism to the Hopf algebra of packed words. In addition, we define another coproduct on the preordered forests given by the contraction of edges, and we give a combinatorial description of morphims defined on Hopf algebras of forests with values in the Hopf algebras of shuffes or quasi-shuffles. Moreover, we introduce the notion of bigraft algebra, generalizing the notions of left and right graft algebras. We describe the free bigraft algebra generated by one generator and we endow this algebra with a Hopf algebra structure, and a pairing. Next, we study the Koszul dual of the bigraft operad and we give a combinatorial description of the free dual bigraft algebra generated by one generator. With the help of a rewriting method, we prove that the bigraft operad is Koszul. We define the notion of infinitesimal bigraft bialgebra and we prove an analogue of Poincaré-Birkhoff-Witt and Cartier-Milnor-Moore theorems for connected infinitesimal bigraft bialgebras. Finally, with two grafting operators, we construct Hopf algebras of rooted and ordered trees $ mathbf{B}^{i} $, $ i in mathbb{N}^{ast} $, $ mathbf{B}^{infty} $ and $ mathbf{B} $ satisfying the inclusion relations $ mathbf{B}^{1} subseteq hdots mathbf{B}^{i} subseteq mathbf{B}^{i+1} subseteq hdots subseteq mathbf{B}^{infty} subseteq mathbf{B} $. We endow $ mathbf{B} $ with a structure of duplicial dendriform bialgebra and we deduce that $ mathbf{B} $ is cofree and self-dual. We prove that $ mathbf{B} $ is generated as bigraft algebra by one generator.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux propriétés homotopiques des algèbres sur une opérade, desopérades elles-mêmes et des opérades colorées, dans le monde des complexes de chaînes. Nousintroduisons une nouvelle adjonction bar-cobar entre les opérades unitaires et les coopéradesconilpotentes courbées. Ceci nous permet de munir ces dernières d'une structure de modèles induite parla structure projective des opérades le long de cette adjonction, qui devient alors une équivalence deQuillen. Ce résultat permet de passer, sans perte d'information homotopique, dans le monde descoopérades qui est plus puissant : on peut y décrire, par exemple, les objets fibrants-cofibrants en termesd'opérades à homotopie près. Nous appliquons ensuite la même stratégie aux algèbres sur une opérade.Pour cela, on munit la catégorie des cogèbres sur la coopérade duale de Koszul d'une structure demodèles induite par celle de la catégorie des algèbres d'origine le long de leur adjonction bar-cobar, quidevient une équivalence de Quillen. Cela nous permet de décrire explicitement pour la première fois despropriétés homotopique des algèbres sur une opérade non nécessairement augmentée. Dans unedernière partie, nous introduisons la notion d'opérade colorée à homotopie près que nous arrivons àcomparer aux infinies-opérades de Moerdijk--Weiss au moyen d'un foncteur : le nerf dendroidal. Nousmontrons qu'il étend des constructions dues à Lurie et à Faonte et nous étudions ses propriétéshomotopiques. En particulier, sa restriction aux opérades colorées est un foncteur de Quillen à droite.Tout ceci permet de relier explicitement deux mondes des opérades supérieures / This thesis deals with the homotopical properties of algebras over an operad, of operads themselves andof colored operads, in the framework of chain complexes. We introduce a new bar-cobar adjunctionbetween unital operads and curved conilpotent cooperads. This allows us to endow the latter with aDépôt de thèseDonnées complémentairesmodel structure induced by the projective model structure on operads along this adjunction, which thenbecomes a Quillen-equivalence. This result allows us to study the homotopy theory of operads in theworld of cooperads which is more powerful: for instance, fibrant-cofibrant objects can be described interms of operads up to homotopy. We then apply the same strategy to algebras over an operad. Morespecifically, we endow the category of coalgebras over the Koszul dual cooperad with a model structureinduced by that of the category of algebras along their bar-cobar adjunction, which becomes a Quillenequivalence.This allows us to describe explicitly for the first time some homotopy properties of algebrasover a not necessarily augmented operad. In the last part, we introduce the notion of homotopy coloredoperad that we compare to Moerdijk--Weiss' infinity-operads by means of a functor: the dendroidalnerve. We show that it extends existing constructions due to Lurie and Faonte and we study itshomotopical properties. In particular, we show that its restriction to colored operads is a right Quillenfunctor. All this allows us to connect explicitly two different worlds of higher operads

Les travaux récents de Bezrukavnikov, Mirkovic et Rumynin obtiennent une bonne théorie de la localisation des Ug-modules en caractéristique positive (où g est l'algèbre de Lie d'un groupe algébrique semi-simple connexe et simplement connexe), qui donne lieu à des équivalences de catégories dérivées entre des catégories de g-modules et des catégories de faisceaux cohérents sur la variété de Springer. Dans cette thèse, on applique et étend certains résultats de cette theorie. Dans le chapitre II, on donne une construction géométrique d'une action du groupe de tresses affine étendu apparaissant dans la théorie de la localisation. Le chapitre III contient les résultats principaux de la thèse : on y développe une version appropriée d'une « dualité de Koszul linéaire », qui permet de démontrer que certains blocs de Ug peuvent être munis d'une graduation de Koszul, si la caractéristique du corps est suffisamment grande. Ceci généralise des résultats antérieurs de Andersen, Jantzen et Soergel. Dans le chapitre IV, en collaboration avec Mirkovic, on reprend la « dualité de Koszul linéaire », sous une forme un peu différente, valable dans un cadre plus général. Enfin, le chapitre I (en collaboration avec Roman Bezrukavnikov) donne des calculs explicites dans le cas de SL(3) qui ont été le point de départ de ce travail.

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